충동적(impulsive, short bursting) 감정과 행동 또는 순간의 충격.
impulse 함수의 수학적 정의는 hypothetical 하지만, 두 극한의 결합은, 우주 본성의 아름다운 조화다.
우주에서 가장 작은 숫자 (event duration: time)와 우주에서 가장 큰 숫자 (bursting amplitude)의 product(積)은 상수 (constant)를 갖는다는 定義가 바로 Dirac의 초월적(transcendental) 델타 함수다.
두 극한 조건 (time & amplitude)은 현상계에서 독립적인 관찰이 불가능한 hypothetical 조건이지만, 함수의 에너지 (크기와 지속기간의 적분치: 1차원 함수의 면적)는 관찰이 가능하단 의미다.
또 다른 수학적 관찰은, 이 함수 특유의 완벽한 주파수 압축성이다.
일상용어로 풀어 말한다면,
"단 한 번의 아주 짧은 순간 발생한 사건의 결과가 무한의 영향력(omni-consequence for everything)을 지닐 때, 그 사건은 모든 과거와 미래 사건의 상대적 존재성(frequency)을 내포 (inclusive)한다."
오직 한 가지 필연의 (singularity event) Gaussian 확률밀도(pdf)가 Dirac delta function으로 수렴된다.
임펄스의 초월적 의미는 causality가 무너지는 우주의 本性으로 보고 싶다.
우주의 시작이 빅뱅이란 하나의 impulse 사건에 singularity를 묶은 것이 대단히 수학적 모델인 이유다.
임펄스 응용의 핵심은, 주파수 영역에서의 선형적 uniformity다 (Fourier & Cauchy). 시스템의 주파수 특성을 시간 영역에서 아주 짧은 순간이지만 거대한 임팩트의 agitation으로 근사치 추정이 가능하다는 이론이다.
예를 들어, boxer의 맷집을 가상적 시스템으로 보자. Boxer가 다양한 종류의 펀치를 얻어맞고도 버틸 수 있는 내성의 총체적 한계를 측정코자 한다면..? 무한 크기의 펀치를 거의 반응 키 어려울 만큼 빠르게 때려 보는 것이다. 여기서 duration이 조금만 길어도 시스템은 tolerance를 잃는다 (~사망) 디락의 임펄스 펀치는 boxer의 tolerance안에서 존재한다. 왜? 적분량 (에너지)이 유한한 "1"이기 때문이다.
하여 선형화 된 전자시스템이나 신호는 바로 이 impulse response로 그 특성이 정의되어 유용하게 쓰인다.
엔지니어는 이 impulse 함수를 현실적 근사치로 구현하는 작업을 한다.
엔지니어링, "the art of approximation."
첫 Duality 포스팅서 언급했던 generality 피라미드의 꼭대기에 외롭게 존재한다:
예술> 철학> 수학> 통계학> 공학
용도에 맞는 근사치는 수학자에게 cheating이지만, 엔지니어에겐 아름다운 masterpiece고, benefit은 문명 진보의 기술적 foundation이다.
디지털 시대의 backbone, discrete time system은 사건의 상대적 존재성이 circular periodic 하다는 현상을 찾아 낸다 (Shannon & Nyquist)
이 관찰은 혁명이었다.
Dirac의 델타 함수가 digital domain에서 현실로 실현 가능한 Kronecker 델타 함수로 표현된 것이다.
크로네커의 함수는 관찰이 가능한 amplitude와 interval을 갖고, 결과의 積은 unity다. Dirac의 극한 개념은 discrete time system의 무한 주기성이 흡수해 버린 것이다. 마치 운명처럼...
서울행 긴 비행시간이 무료해 만연한 글을 쓰다가 착륙 후, 이제야 올린다. 이용한 Delta 항공사의 이름이 단상의 시작이었다.
