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Jan 09. 2022
헤름홀츠 (Hermann von Helmholtz)
파동 방정식과 변수 분리
얼마 전 저널 reference 작업 중 헤르츠를 검색하다 한 시간을 태우며 빠져든 인물이다.
Imperial Germany (The Second Reich) 19세기 말의 생리학, 심리학, 물리학, 수학, 철학을 섭렵한 독일판 다빈치다. 그의 미학적 견해를 독일적으로 본다면, 다빈치의 예술성과 평행하게 볼 수도 있을 것 같다.
헤름홀츠의 많은 업적과 후진 중, 나의 분야와 관계가 있어 알게 된 건 일부에 불과하지만, 과학자로서 인문과 미학에 접근을 이룬 인물들은 언제나 흥미롭다.
전기전자분야의 엔지니어라면 헬름홀츠의 이름은 익숙하다. 그의 이름이 붙은 방정식 때문이다. 그는 하이델베르크 시절 약 3년간 잠시 전자파의 파동에 관심을 가진다.
이 기간에 전자기파의 radiation 설을 증명하여, 영국의 맥스웰과 더불어 오늘날 무선통신 응용에 가장 중요한 공헌을 한다.
자연과학에서 "단순화 모델링"은 원래의 복잡성을 극복하고 더 깊은 이해의 문들을 열게 한다.
헤름홀츠 방정식도 단순한 2차 편미분 방정식으로, 파동의 radiative propagation을 수학적으로 표현하는데 유용했을 뿐이다. 이 방정식이 解(solution)를 가지려면, homogeneous 해야 한다. 즉 두 독립변수가 분리될 수 있어야 한다.
파동 방정식의 경우로 보면, 두 독립변수는 바로 시간과 공간의 변수이며, 이들이 수학적으로 분리되는 것이다. 현실적으로 불가능한 조건이지만, 인간의 머릿속에서 이 상황은 언제나 일어난다.
먼 곳에 있는 사랑하는 사람을 지금 당장 마주 보며 타이타닉호에서 북극성의 밤하늘을 볼 수 있는 게, 인간의 생각하는 힘이다.
음파든, 전파든, 빛이든, 時空에서 존재한다. 변수 분리 후, 단순화된 2차 미분방정식은, 시간 변수에 대해선 sinusoidal 함수로, 공간 변수에 대해서는 boundary conditiion으로 분리된 해답을 얻는다.
오늘날 초단파 안테나나 도파관, 전자레인지의 shield 등의 설계는 바로 그 시간 모델 해답의 주파수와 공간 모델 해답의 boundary condition의 공헌이 크다.
2차 대전의 레이다 기술, 그 이후 위성통신, 모바일 통신, 모두 이 두 변수의 분리로 얻은 해법의 기여를 언급해도 과언은 아니다.
사실 헬름홀츠 방정식의 수학적 formalism은 그가 베를린 대학에서 가리킨 박사과정 학생, 하인리히 헤르츠의 작품이다. 그가 스승의 업적을 기려 자신의 지도교수 이름을 붙인 것이다. 헤르츠는 그 이후 많은 업적을 이루어 오늘날 주파수의 단위로 그의 이름 헤르츠(Hz)를 쓴다.
헤름홀츠의 경험론은 동시대의 인문적 포스트모던 미즘에 비하면 애너키스트적인 반동일 수도 있다. 그러나 그의 음향에 대한 탐구와 음악에 대한 사랑으로 시작된 美學과 철학, 그 이후의 전자기파 파동 방정식의 발견은, 오늘날의 이해로도 여전히 놀랍다.
