고입검정고시 수학을 지도하다가

관찰과 질문이 가능하려면 시간을 충분히 줘야 한다

Aug 9. 2017

수학이라는 과목은 대부분 학생들에게 큰 부담이지만 매력적인 과목임에 틀림없다.

한치의 어긋남도 허용하지 않는 명명백백의 미학이 느껴지기도 한다.

대환이가 고입검정고시를 준비하면서 모의고사를 치른 후 틀린 문제를 스스로 검토하면서 오답을 이해하는데, 도저히 이해하지 못하는 문제는 내게 가져온다. 그런 문제를 하나 들여다보자. 왜 아이들에게 수학이 늘 문제가 되는가?

위 문제는 다음의 문제와 같다.

느닷없다. 단순한 그림과 짧은 명제이지만 학교 공부를 떠난 지 오래된 어른이든 현재 중학생이든 얼마나 이 문제를 이해할 수 있을까? 극소수만 가능하다고 본다. 일단 풀어는 보자.

노란색 두 각의 크기가 같다는 것이다. 그걸 어떻게 알 수 있지?

여기서 문제가 발생한다. ①번에서 원의 접선은 반지름과 수직이라는 것을 어떻게 알 수 있는가?

또한 ②번에서 중심각은 원주각의 두 배라는 것은 무슨 소리인가? 중심각이 원주각의 두 배라는 증명은 중2 과정에서 나오는데, 거의 소개되지 않는다. 몇몇 인터넷 강의 동영상을 확인했더니, 강사는 "중심각이 원주각의 두 배입니다"를 언급만 할 뿐 그 이유에 대하여 설명하지 않았다. 그것까지 말하기에 시간이 없는 것이다.

그래서 중학교 최상위권 학생들에게 확인하니까 "중심각=2 ×원주각"을 알고 있으나 증명이 가능한 학생을 만나지 못했다. 그냥 외운단다. 위 ①번은 "당연한 것 아닌가요? 공리잖아요"라고 말한다. 공리 아니다. 접선과 반지름은 왜 수직으로 만나지?라고 질문하지 않는다. 아주 오래전부터.

닮은꼴 삼각형의 변의 길이는 비례한다는 특성을 가지고 증명했다.

증명된 명제에 의거 원래 문제를 해결하면,

답은 6cm이다. 하지만 제대로 이해하기는 쉽지 않다. 그냥 이 문제를 통째로 외우라고 주문하는 경우가 대부분이다. 실제로 외워두면 학교 시험에서 위력을 발휘한다. 외운 식을 동원하면 수학이 아니라 갑자기 산수로 둔갑하기 때문이다.

이 문제를 해결하려면 적어도 다음의 문제 해결에 어려움이 없어야 할 것이다.

이 정리도 그냥 외우라고 주문한다. 워낙 자주 나오는 유형이기 때문이다. 위 그림을 외우는 것은 어렵지 않다. 쉽게 외워서 시험문제에 정답을 말한다. 사고력 발전에 아무런 도움이 되지 않는다.

마찬가지다. 중심각이 동일 원주에 대한 원주각의 두 배라는 걸 어떻게 이해해야 하는가? 이해는 무슨 이해, 보통 학교와 학원은 그냥 외우라고 강요한다.

삼각형 COB와 삼각형 AOD가 닮음꼴이라는 것을 확인하고 각 변의 비례식을 이용하면(비례식에서 내항의 곱은 외항의 곱과 같다) 문제가 원하는 증명이 가능하다.

여전히 중심각과 원주각의 관계를 캐는 문제는 해결되지 않는다.

그냥 외우고, 또는 의문(질문) 없이 넘어가면 안 된다. 꼭 "왜 그렇지?"를 말해야 한다.

다른 경우도 있다.

어떤가? 위 문제들을 그림 없이 말로 출제하고 말(글)로 해결할 수 있을까?

불가능하다. 텍스트로 표현할 수 없고 이미지로 나타내어야 하는 분야가 있다.

아이들에게 글이나 말로 풀어 설명하기 앞서 그림으로 보여주고 이해하게 했어야 한다.

한국의 아이들은 그런 경험을 갖지 못한다. 그리고, 오리고, 작도하고, 스케치하는 학생의 작업과 칠판에 그림을 그려서 서로 소통하는 교사의 작업 모두 쉽지 않다. 왜냐하면 이미지에 익숙하지 않은 문화 때문이다. 그림보다 글을 우위에 두는 전통적 가치관도 영향을 미친 것으로 보인다.

그보다 더 큰 이유는 과중한 국가단위 수학 교육과정 때문이다. 교과서는 기하 부분을 2학기에 배치한다. 수업일수가 1학기보다 2학기가 짧은 상태에서 충분히 관찰, 예상, 실험할 시간이 없다. 초등 2학년에 처음 배우는 분수도 주로 원을 등분하는 그림을 소개하지만 아이들이 충분히 소화할 시간 여유가 없다.

대부분 아이들에게 수학 시간은 그야말로 주마간산이다. 고교 과정까지 그러다가 학교 졸업 후 수학과 영원히 멀어진다.

해결책은? 유아 및 아동기에는 시간적 여유를 두고 충분히 관찰하고 조작활동을 해야 한다. 중등단계에서는 끊임없이 질문하고, 질문이 해결되지 않으면 다음 단계로 진행하지 말아야 한다. 학교는 그렇게 하지 않(못하)기 때문에 낙오자를 만들어낸다. 낙오자를 만들기 위한 의도적인 교육과정이라는 것은 의심의 여지가 없다.