Normal 분포의 활용 2

생명 보험료는 얼마나 내야 할까?

2023년 우리나라 통계청에서 발표한 자료에 의하면 2023년 40세인 남자의 기대여명(평균잔여수명)은 41.6세, 여자의 기대수명은 47.2세라고 한다. 또한, 남자 40세의 경우 80세 이상 생존할 확률은 64.9%이고 여자의 경우 82.9%라고 한다.

만약 40세인 남자가 생명보험을 가입한다고 하면 보험료를 합리적으로 계산하는 방법은 무엇일까?

간단하게 생각한다면 가입자의 예상 기대 여명이 길수록 보험료는 비싸야 하고, 기대 여명이 짧을수록 보험료를 싸야 할 것이다. 따라서, 보험 가입자의 미래 기대 여명에 대한 정보를 알면 합리적인 보험료를 산정할 수 있다. 이때 활용하는 것이 바로 정상(Normal) 분포다.

정상(Noraml) 분포 확률 구하는 공식

복잡해 보이는 정상 분포 공식은 결국 μ와 σ의 변화에 따라 달라진다는 것을 알 수 있다.

이 두 가지가 바로 평균과 표준편차다. (숫자 2와, 원주율 파이, 오일러 상수 e는 모두 고정값이다.)

아쉽게도 통계청 자료에는 평균은 있지만 표준편차는 확인할 수 없었다. 따라서, 위 공식과 주어진 정보를 활용하여 표준편차를 확인하니 아래의 표와 같았다.

2023년 40세의 기대여명과 표준편차

이제 정상분포를 활용하기 위해 필요한 모든 정보를 알았으니, 확인하고 싶은 2023년 40세인 대한민국 성인의 잔여 수명에 대해 확률을 확인할 수 있다.

1. 2023년 40세인 남자가 85세 이상 생존할 확률은? 20.8%로 예상된다.

2. 2023년 40세인 여자가 90세 이상 생존할 확률은? 35.59%로 예상된다.

결국, 보험 가입자가 보험 혜택을 몇 년까지 받을 것인지를 결정하면, 생존 확률을 확인하여 보험료를 합리적으로 계산할 수 있는 것이다.

2023년 40세인 남녀의 기대여명의 분포를 비교해 보면, 확실히 여자가 남자보다 장수한다는 것을 확인할 수 있다.(파란색 : 남자, 빨간색 : 여자)