현수교의 곡선 뒤에 숨은 수학

현수교의 곡선은 사실은 포물선

우리가 여행을 가거나 드라이브를 할 때 만나는 거대한 다리들은 강이나 바다 위를 가로지르는 케이블의 우아한 곡선 덕분에 참 아름답게 느껴집니다. 지난 주말에도 파주에서 인천 송도로 바람을 쐬러 갔습니다. 영종대교를 건너며 그 규모와 바다 위에서 바라보는 풍경에 감탄하며 드라이브를 즐겼지요. 그중에서도 영종대교의 주탑 사이를 부드럽게 잇는 케이블의 곡선은 마치 거대한 예술 작품처럼 너무나 아름다웠어요. 문득 궁금해졌습니다. 여기에도 수학이 숨어있을 테니 말이지요.

이 아름다운 곡선 뒤에는 치밀한 수학적 계산과 공학적 반전이 숨어 있습니다. 가장 먼저 짚어볼 흥미로운 사실은 현수교의 줄이 이름처럼 현수선(Catenary)이 아니라 포물선(Parabola)이라는 점입니다.

사실 수학사적으로도 이 곡선의 정체는 큰 논쟁거리였습니다. 과거 갈릴레오 갈릴레이는 양 끝이 고정된 줄이 늘어진 모양을 보고 포물선이라고 주장했지만 훗날 요한 베르누이와 라이프니츠 같은 수학자들이 하이퍼볼릭 코사인 함수(일상에서 매일 마주하는 전선주 사이 전선이 늘어뜨려져 있는 모습)를 이용해 현수선이라는 완전히 새로운 곡선임을 증명해 냈습니다.

현수선은 아무런 하중 없이 자기 무게만으로 늘어졌을 때 만드는 곡선으로 전선이나 목걸이 줄이 만드는 곡선입니다. 반면 포물선은 줄 아래에 수평으로 일정한 하중이 매달려 있을 때 만들어지는 곡선인데 우리가 학교에서 배운 이차 함수의 그래프와 같습니다.