2의 제곱근과 종이의 절약

복사용지에 숨겨진 2의 제곱근, 종이의 과소비는 벌목을 필요로 한다

닮은꼴인 복사용지

   컴퓨터의 발달로 모든 고전적인 인쇄기계는 사라지고 컴퓨터가 내장된 프린터로 대체되었다. 컴퓨터의 생활화로 출력된 종이 대신 화면을 통해 볼 수 있고 또한 그 파일을 저장할 수 있게 되었다. 화면이 종이를 대신할 수 있다는 기대감에 종이의 소비가 줄어들 것으로 기대했다. 그러나 화면 속의 글씨보다는 종이 위에 인쇄된 글씨가 보기 편해 출력을 또 하기도 한다. 중요한 자료의 보관을 위해서는 디지털 저장뿐 아니라 고전적인 인쇄물로 저장하는 습관도 아직 갖고 있다. 

   컴퓨터의 발달은 인쇄하는 비용을 획기적으로 줄였다. 그 결과 책이나 홍보물 등 종이를 주재료로 사용하는 수많은 상품들이 값싸게 만들어져 오히려 종이의 소비를 더욱 늘렸다. 잠시라도 주변을 살펴보면 버려지는 종이들이 엄청 많다는 것을 쉽게 볼 수 있다. 종이는 그냥 하늘에서 떨어지거나 땅에서 줍는 것이 아니다. 종이를 만들기 위해서는 엄청나게 넓은 나무농장을 만들어야 하고, 대량의 나무를 벌목하고, 이를 정제하는 과정에 매우 많은 화학물질이 발생한다. 종이의 소비는 바로 환경에 매우 나쁜 영향을 끼친다. 

   요즘은 어느 나라를 가든지 일반적으로 같은 규격의 종이를 사용한다. 그것은 A와 B로 시작하는 종이로 거의 모든 컴퓨터에 딸린 프린터 또는 복사기에서 사용된다. 이중 A4는 일반적으로 가장 많이 사용하는 용지이다. 그러나 미국에서 가장 많이 사용하는 용지는 레터지(letter)라는 것으로 A4와 그 규격이 조금 다르다. 필자가 미국에서 유학하고 있을 때였다. 프린터로 출력하면 규격이 잘 안 맞았다. 컴퓨터 화면에서 보는 것하고 출력된 것하고 차이가 있는 것이다. 인쇄물을 출력하기 위해 프린터를 분명히 출력 용지 A4에 맞춰 놓았다. 그런데 나오는 출력물을 보면 뭔가 한쪽으로 치우쳐 있다. 그 이유를 전혀 몰라 프린터가 잘못된 것 같아 물어보아도 그들도 잘 몰랐다. 결국 스스로 깨달았는데 미국에서 주로 사용하는 종이는 우리처럼 A4 용지가 아니고 레터지였다. A4 용지를 넣어야 되는데 레터지를 넣어 출력 형태가 달라진 것이다. 

   미국은 세계인이 주로 사용하는 것을 잘 사용하지 않는다. 종이도 그렇지만 가장 큰 예가 계량에 사용되는 미터법(metric system)이다. 나라마다 계량이 다르면 지금처럼 국가 간의 자유로운 유통에서 얼마나 불편하겠는가? 그래서인지 전 세계는 공통으로 사용하는 계량을 미터법으로 정했다. 우리나라도 1963년에 미터법 외에는 쓰지 못하도록 법으로 정했다. 그러나 미국은 영국과 함께 과거부터 사용해오던 야드-파운드법(yard-pound system)을 고치지 않고 아직도 그대로 사용한다. 그래서 전 세계의 제조업체들은 지역에 따라 두 가지 형태로 표기된 상품을 제조해야 하고 또한 많은 분야에서는 늘 두 가지 형태로 표시해야 한다. 그 두 나라를 방문하는 수많은 사람들도 불편하고, 마찬가지로 다른 나라를 방문하는 그 두 나라의 시민들도 불편함을 감수해야 한다. 그럼에도 그 두 나라는 지금도 미터법을 사용하고 있지 않다. 자기 것이 최고라는 강대국의 오만인가? 

   국제적으로 사용되는 A와 B 종이에는 일정한 특징이 있다. 그것은 비록 크기가 다를지라도 모양이 같다는 것이다. 모양이 같다는 것은 닮은꼴로 적당한 비율로 축소하고 확대하면 서로 다른 규격의 종이로 출력할 수 있는 아주 좋은 점이 있다. 그것은 종이의 쓸데없는 낭비를 막아줄 수 있다. 그 결과 오늘날 컴퓨터와 복사기에서 자료의 축소와 확대를 자유롭게 조작할 수 있다. 이렇게 편리하게 할 수 있게 기여한 수가 있으니 바로 무리수인 2의 제곱근 2^(1/2)이다. 무리수란 a/b와 같이 분모와 분자가 정수인 분수로 표현할 수 없는 수이다. 물론 분모에서 0은 제외된다.

   2^(1/2)? 그렇다. 이 수의 크기는 밑변과 높이가 1인 직각삼각형의 빗변의 길이와 같다. 그런데 이 수를 찾아낸 고대 그리스의 피타고라스 학파는 “직각삼각형의 빗변의 길이의 제곱은 밑변의 제곱과 높이의 제곱의 합과 같다.”는 피타고라스 정리를 최초로 증명하는 엄청난 업적을 이루고도 이 수로 인해 망하게 되었다. 2^(1/2)는 피타고라스가 숭배하는 수인 유리수를 넘어서는 그때까지도 알려지지 않은 수인 무리수였다. 분수로 전혀 나타낼 수 없는 수이다.

복사용지에 숨겨진 2^(1/2)

   우리가 주로 사용하는 컴퓨터 용지나 또는 복사용지는 A4나 B4 또는 B5를 많이 사용한다. 그중 가장 많이 사용하는 A4의 긴 변의 길이와 짧은 변의 길이를 재고, 다시 긴 변의 중간을 중심으로 반으로 접은 후 나온 사각형의 긴 변의 길이와 짧은 변의 길이를 재면 다음 표와 같다. 

복사용지 A4의 긴 변의 길이 대 짧은 변의 길이의 비

   한편 복사용지가 아닌 일반용지의 길이를 복사용지와 같은 방법으로 쟀더니 아래 표와 같았다.

일반용지의 긴 변의 길이 대 짧은 변의 길이의 비

   모든 직사각형의 종이를 접는 방향을 반대로 하여 반의 반으로 두 번 접으면 위 표에서 직접 살펴본 것처럼 원래의 모양과 항상 같다. 즉 원래의 종이와 두 번 접힌 종이는 닮은꼴이다. 왜냐하면 아래 그림에서 긴 변을 a, 짧은 변을 b라고 하자. 한 번 접으면 접힌 사각형의 변의 길이가 a/2와 b가 된다. 다른 방향으로 또 한 번 접으면 그 길이가 각각 a/2와 b/2가 된다. 원래의 사각형과 두 번 접힌 사각형의 두 변의 비를 보면 

a : b=a/2 : b/2가 되어 두 사각형의 각 변의 비가 같아 닮은꼴이 된다.

첫 번째와 세 번째 사각형은 닮은꼴이다

   그러나 한 번 접었을 때는 위 표에서 직접 살펴본 것처럼 가로와 세로의 비가 복사용지는 같으나 일반용지는 다르고, 또한 위 그림에서 보듯이 첫 번째와 두 번째 사각형은 그 모양이 닮지 않았음을 볼 수 있다. 직사각형에서 닮은꼴이 유지되려면 두 변의 길이의 비는 특정한 수가 되어야 한다. 그 경우만 닮은꼴이고 그 외는 모양이 다르다.

   가로와 세로의 비가 서로 같은 두 직사각형은 닮은꼴로 한 사각형을 적당히 확대하거나 축소하면 다른 사각형을 만들 수 있다. 그러나 일반용지처럼 그 비가 다르면 닮은꼴이 아니어서 확대하거나 축소하면 한쪽이 크게 되어 필요에 따라서는 그 부분을 잘라내야 하므로 종이가 낭비된다. 따라서 직사각형을 반으로 접어도 모양이 변하지 않게 하면 확대하거나 축소할 때 종이의 낭비를 막을 수 있다.

   복사용지에서 긴 변의 길이 대 짧은 변의 길이의 비를 실제 측량하면 항상 1.414에 매우 가깝다. 이 수는 2^(1/2)의 근삿값으로 볼 수 있는 매우 가까운 수이다. 결론부터 말하면 종이의 가로 대 세로의 비가 2^(1/2)가 되도록 제작하면 반으로 접어도 그 모양이 변하지 않아 확대와 축소를 통해 서로 다른 규격의 종이로 변환을 자유롭게 할 수 있다. 따라서 2^(1/2)라는 수는 규격이 서로 달라 잘못 잘라져 나가는 종이의 낭비가 없도록 하는 아주 환경적인 수이다. 

     

닮은꼴을 만들어 주는 2^(1/2)

   2^(1/2)가 왜 반으로 접었을 때 닮은꼴을 만들어 주는지 알아보자. 다음 그림과 같이 직사각형의 긴 부분을 반으로 접어도 원래의 직사각형과 모양이 똑같은 직사각형이 된다고 하자.

   편의상 직사각형의 두 변 중 짧은 변인 세로의 길이를 1이라 하고 긴 변인 가로의 길이를 x라 하면 x는 2보다 작다. 왜냐하면, 만일 x가 2보다 크면 x/2>1이므로 가로를 반으로 접은 직사각형의 긴 변의 길이 대 짧은 변의 길이의 비는 x/2:1이므로 원래의 직사각형의 비 x:1과는 분명 서로 다르다. 그러므로 접은 모양이 같으려면 직사각형의 긴 부분의 길이는 작은 부분의 길이의 2배보다는 작아야 한다. 즉 x<2이다. 따라서 긴 부분을 반으로 접은 직사각형의 긴 변의 길이 대 짧은 변의 길이의 비는 1:x/2이다. 

   한 번 접힌 사각형이 원래의 직사각형과 같은 모양이라는 뜻은 닮은꼴로 두 비가 서로 같다는 것이다. 따라서 다음 식이 성립한다. 

x;1=1:x/2

이 비례식은 등호를 중심으로 안쪽 항과 바깥쪽 항의 곱이 항상 같으므로 (x^2)/2=1을 만족한다. 따라서 x^2=2이고, 음수를 생략하면 x=2^(1/2)가 된다. 즉 직사각형의 긴 부분을 반으로 접어도 원래의 직사각형과 모양이 똑같으려면 직사각형의 긴 변의 길이 대 짧은 변의 길이의 비는 2^(1/2):1가 되어야 한다는 뜻이다. 직사각형의 두 변의 비가 2^(1/2)가 아니면 한 번 접힌 경우는 원래의 용지와 다르다. 그래서 2^(1/2)는 닮은꼴로 만들어 주는 수이다. 2^(1/2)를 소수로 표현하면 1.414213562373095…가 된다.

복사용지의 제작

   우리가 주로 사용하는 복사용지는 A4이다. 실측을 통해 알아본 것처럼 이 A4 용지의 규격은 210×297(밀리미터)이다. 긴 변의 길이 대 짧은 변의 길이의 비는

297/210 = 약 1.414286

로 2^(1/2)와 거의 같다. 즉, 긴 변의 길이 대 짧은 변의 길이의 비는 거의 2^(1/2):1로 A4 용지는 반으로 접으면 원래의 모양과 같게 나오도록 제작된 것이다. 

   종이를 경제적으로 사용하려면 그 크기는 어떤 비율로 되어야 할까? 종이는 공장에서 전지라고 부르는 큰 규격의 종이를 절반으로 자르고, 이를 또다시 절반으로 자르는 과정을 반복하여 만들어진다. 전지를 반으로 자른 것이 반절지, 가로 세로로 각각 이등분하여 나온 종이를 4절지라 하며, 4절지를 반으로 자른 것을 8절지, 8절지를 반으로 자른 것을 16절지라 한다. 즉, n절지는 전지를 똑같은 크기로 n 등분한 종이로 n절지 n개를 합하면 전지가 된다.

전지, 반절지, 3절지, 4절지, 8절지, 16절지

   만일 종이의 크기가 320×200(밀리미터)이면 긴 변의 길이 대 짧은 변의 길이의 비가 1.6이나, 이등분하면 200×160(밀리미터)이 되어 그 비가 1.25가 된다. 종이를 정사각형으로 하면 그 비는 1이나, 그것을 이등분하면 2가 된다. 이렇듯 반으로 접을 때마다 종이의 모양이 달라지면 종이를 실생활에서 사용하게 될 때 일부를 잘라내게 되어 아까운 종이를 낭비할 수 있게 된다. 

   독일공업규격위원회(Deutsche Industrie Normen)에서는 큰 종이를 잘라 작은 종이를 만드는 과정에서 종이의 낭비를 최소로 줄일 수 있도록 인쇄, 컴퓨터, 편지, 책 등에 이용되는 종이의 형태와 크기를 정했다. 앞서 설명했듯이 종이를 절반씩 나누어 가는 과정에서 그 모양이 변하지 않게 하는 것이다. 그렇게 하려면 종이의 가로대 세로의 비는 2^(1/2)가 되어야 한다.

   전지인 A0 용지의 두 변의 길이를 실제로 재보면 각각 1189와 841밀리미터로 그 비는 약 1.4138로 2^(1/2)에 가까우며 넓이는 1189x841=999949 평방밀리미터로 1평방미터나 다름없다. 즉, A0 용지는 넓이가 1평방미터이고 가로 대 세로의 비가 2^(1/2)가 되도록 제작된 종이이다. 반대로 넓이가 1평방미터이고 가로 대 세로의 비가 2^(1/2)가 되는 종이의 작은 변인 세로의 길이를 x라고 하면 긴 변인 가로의 길이는 2^(1/2)x가 된다. 따라서 면적 1은 가로와 세로의 곱이므로 2^(1/2)x^2=1이다. x=2^(-1/4)이므로 세로는 0.84090이고, 가로는 세로에 2^(1/2)를 곱한 2^(-1/4)로 1.1892가 된다. 즉 가로와 세로의 길이는 각각 1189와 841밀리미터이다.

   이렇게 만들어진 A0 종이를 절반으로 자른 종이를 A1, 다시 A1을 절반으로 자른 종이를 A2라 한다. 같은 방법으로 A3, A4, A5를 만든다. 즉, A4는 A0를 네 번 반복하여 절반으로 자른 종이로 A0 용지를 16(=2^4) 등분한 16절지이다. A 용지를 다음 그림과 같이 모두 포개 놓으면 그 닮은 모양을 알 수 있다.

A형 종이의 비교

A형 종이의 닮은꼴 비교

   A0는 그 넓이가 1평방미터이고 가로 대 세로의 비가 2^(1/2)가 되도록 만든 종이인 반면, B0는 가로 대 세로의 비는 똑같이 2^(1/2)이나 넓이는 1.5평방미터가 되도록 좀 더 크게 만든 것이다. 그래서 B0의 경우 2^(1/2)x^2 = 3/2이 되어 이것을 풀면 세로는 1.0299이고, 가로는 세로에 2^(1/2)를 곱한 1.45648이 된다. 즉 B0 용지의 가로와 세로의 길이는 각각 1456와 1030밀리미터이다. 이 역시 절반으로 나누는 과정에서 B1, B2, B3, B4, B5가 만들어진다. 

   아래 표는 ISO 종이 규격이며 동시에 KS 규격이다. ISO 종이 규격은 유럽지역에서 가장 공통적으로 쓰이고 있는 표준 규격이며 미국은 A4 대신에 주로 레터지를 사용하며 레터지의 규격은 216×279(밀리미터) 또는 8.5'×11'(인치)이다. 물론 레터지는 반으로 접으면 같은 모양이 나오지 않는다.

ISO 종이 규격(mm)

눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용한 2^(1/2)의 작도

   2^(1/2)는 한 변의 길이가 1인 직각이등변삼각형의 빗변의 길이이다. 이 사실을 이용하면 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 이용하여 주어진 선분의 2^(1/2)배 되는 선분을 그릴 수 있다. 

   눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용하여 주어진 선분을 두 배로 연장하고 연장선 위에 그 지점을 표시한다. 두 배로 늘어난 선분의 양 끝점에서 주어진 선분보다 큰 길이의 반지름을 갖는 호를 그린다. 호가 교차하는 양쪽 점을 이으면 이 선은 연장선의 수직 이등분선이 된다. 교점에서 컴퍼스를 이용하여 주어진 선분의 길이와 같은 곳에 표시를 한다. 이 점과 주어진 선분의 시작점을 연결한 선분의 길이는 2^(1/2)가 된다. 컴퍼스를 이용하여 빗변의 길이를 아래 연장선으로 옮기면 그 길이가 2^(1/2)이다.

종이의 제작과 그 피해

   지금 사용하고 있는 종이가 발명되기 전에도 사람들은 기록을 남겼다. 가장 오래된 유물로는 고대 이집트에서 자라는 파피루스라는 식물의 줄기 속을 뽑아 얇고 긴 띠를 만들어 이것을 겹쳐 말려서 이 위에 기록을 남겼다. 현재 터키의 영토인 소아시아 북서부 미시아 지역에서는 동물의 가죽을 엷게 펴서 글쓰기에 수월한 피지(皮紙)라는 것을 만들었다. 보통 송아지나 염소 또는 양의 가죽으로 만든 피지에 기록을 남겼다. 파피루스는 둘둘 말을 수 있고 피지는 책처럼 묶을 수가 있었다.[맨디 하기스]

   중국의 후한(後漢) 시대인 105년에 채륜이 오늘날과 같은 종이를 제작하는 기술을 알아냈다. 그것은 나무를 원료로 해서 만든 것이다. 그러나 둔황에서 전한(前漢) 시대인 기원전 65년에 제작된 종이가 발견된 것으로 보아 누군가 채륜보다 앞서 종이를 제작했음을 짐작할 수 있다. 채륜은 단지 그 기술을 더 발전시킨 사람이 아닐까?

   그 후 종이의 기술은 사마르칸트(현재 우즈베키스탄)로 전파되었고, 이어 유럽으로 전파되었다. 산업혁명의 시기인 1803년 펄프에서 종이까지 전 과정이 한 번에 이루어지는 기계가 발명되었고, 1864년 영국에서 화학약품을 이용해 나무를 펄프로 만드는 기술까지 개발되어 이로써 나무의 벌목으로부터 완성된 종이까지 기계를 이용하여 모두 만들어지게 되어 제지산업은 획기적으로 발전하게 되었다.

   종이를 생산하는 과정을 살펴보면 처음에 나무를 벌목하고 이를 제재소로 운반한다. 여기서 나무껍질을 제거하고 줄기를 조각내어 삶아서 펄프를 만든다. 펄프의 색깔이 맑지 못하니 표백한 후 종이를 만든다. 젖은 종이를 말리고 절단하면 종이가 완성된다. 이를 운송하여 소비자가 사용한다. 사용되고 나온 폐지는 재활용을 하거나 매립함으로써 마감된다.

   전 세계 산업계에서 사용하는 원목의 42%는 종이의 원료가 되어 매년 3만 평방킬로미터의 숲이 사라지고 있다. 전 세계의 하루 종이 소비량은 100만 톤으로 매일 1200만 그루의 나무가 소멸되고 있다. 종이 1톤을 생산하는 데 나무를 포함하여 연료와 물 등 각종 자원이 98톤이나 필요하며, 폐지 1톤을 매립하는 데 3평방미터가 필요해 매년 런던보다 넓은 10억 평방미터의 토지가 필요하다고 한다.

   종이 1톤을 생산하고 매립하는 데 이산화탄소 6.3톤을 배출하여 전 세계의 이동 수단들이 내는 양보다 많고 식량 생산으로 발생하는 양과 비슷하다. 복사지 한 장과 40와트 백열등이 한 시간 동안 배출하는 탄소 양은 같으며, 한 사람이 1년 동안 소비하는 종이에서 배출된 탄소의 양은 대서양을 비행기로 왕복할 때 발생되는 양과 같다고 한다. 한 사람의 인생을 80년으로 볼 때 평생 사용하는 종이의 소비에 30년생 나무 237그루가 필요하다. 이처럼 종이를 사용한다는 것은 엄청 많은 나무를 벌목해야 한다는 것과 같다.

   종이에 필요한 엄청난 양의 나무를 공급하기 위해서는 거대한 나무농장이 필요하다. 나무농장에는 넓은 땅에 오로지 종이를 만들 수 있는 나무만 심어 전염병이 돌면 일시에 전멸하는 위험도 있다. 따라서 병충해 관리로 주변 지역에 해를 끼칠 뿐 아니라 그 지역에서 자생하는 동식물에게도 큰 해를 끼쳐 생물이 다양하게 존재할 수 없게 되어 지역 생태계가 파괴된다. 

   종이는 아주 질긴 식물성 섬유로 이루어져 펄프로 되돌리기 수월하여 재활용할 수 있다. 재생펄프는 처음 생산된 펄프보다 더 깨끗하고 안전하고 효율적이나 경제적인 이유로 매립하게 된다. 그러나 종이를 매립하는 것은 환경에 악영향을 준다. 왜냐하면 종이가 썩으면 메탄이 방출되어 이산화탄소보다 23배 강력한 온실가스를 배출하기 때문이다.

   결국은 생태계의 보전을 위해서도 종이의 소비를 줄여한다. 원시림 상태의 숲이 우리 사람들에게 유용할까 아니면 베드로 대성전 같은 인간이 만든 유적이 유용할까? 우리가 만든 것은 없어도 살지만 숲이 사라지면 인류 역시 사라지게 된다. 우리 스스로 생활하면서 필요한 휴지, 포장지, 카탈로그 등의 소비를 최대한 줄이도록 노력해야 생태계가 지속 가능해진다.

인류 최고의 걸작품인 인도‧아라비아 숫자

   영국의 철학자 러셀(B. Russell)은 다음과 같이 말했다.

   “한 쌍의 꿩과 이틀이라는 날짜가 둘 다 2라는 수의 구체적인 예임을 우리가 깨닫게 되기까지는 너무도 길고 긴 세월이 흘러야 했다.” 

무슨 말인가? 꿩과 날짜는 완전히 그 개념이 다른 단어이다. 그러나 그 둘을 수식하는 한 쌍과 이틀이라는 말에는 둘이라는 의미가 들어있다. 이를 현재 우리가 주로 사용하는 기호로 사용하면 2가 된다. 이와 같은 기호를 우리는 수라고 한다. 

   인류가 사용한 수에 대한 가장 오래된 기록은 남아프리카 스와질란드에서 발굴된 기원전 3만 5천 년경의 비비의 종아리 뼈에 남아 있는 29개의 선명한 금이라 한다. 체코슬로바키아의 베스트니츠 마을에서 발견된 기원전 3만 년경으로 추측되는 늑대 뼈에는 다섯 개씩 묶인 금이 새겨져 있다고 한다.

   이처럼 인간이 모여 사는 곳에는 셀 수 있는 수단이 필요했다. 따라서 인류의 문명이 시작한 곳에는 수를 표시하는 것이 반드시 있었다. 고대문명을 이룬 이집트, 메소포타미아 그리고 중국에서는 나름대로 수를 표기했다. 수를 나타내는 여러 기호 중에서 오늘날 아라비아 숫자라고 알려져 있는 기호 ‘0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9’를 이용한 십진법의 발명은 인류가 발명한 그 모든 것 중에서 최고의 걸작품이라고 할 수 있다. 이 숫자가 없었다면 얼마나 계산하기가 불편했을까? 오늘날 우리가 누리는 문명은 바로 편리하게 셈을 할 수 있는 이 기호 덕분이 아닐까? 우리나라와 중국에서 사용한 숫자 일(一), 이(二), 삼(三), 사(四), ... 와 로마에서 사용한 숫자 I, II, III, IV, .... 를 갖고 계산을 비교해 보라. 아라비아 숫자 없이는 현재 인류가 누리는 문명은 꿈도 꿀 수 없는 일이었을 것이다. 아라비아 숫자로 수를 나타내는 것이 매우 편리했음에도 불구하고 이 숫자는 1300년까지도 유럽에서 종교적인 이유로 공식 사용이 금지되었다. 성직자가 아닌 일반인이 알면 성직자의 권위에 금이 가서 아닐까? 유럽에서는 1800년이 되어서야 아라비아 수가 보급되었다.

   10개의 기호 ‘0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9’의 조합으로 이루어지는 십진법은 원래 상인의 나라였던 인도에서 그 쓰임새로 인해 만들어졌으나 아라비아로 건너가 다듬어지고 다시 유럽으로 건너가 널리 알려졌다. 이러한 역사성 때문에 이 기호를 ‘인도‧아라비아 숫자(Hindu-Arabic figure)’라고 부른다.

   아라비아 숫자를 이용하여 수가 어떻게 확장됐는지 알아보자. 기본이 되는 수를 1이라 하고 1에 1을 더하여 생기는 수를 2,  2에 1을 더하여 생기는 수를 3이라 하자, 이와 같이 반복적으로 1을 더하여 생기는 모든 수     를 자연수라고 한다. 자연수의 특징은 자연수끼리는 서로 더하면 그 결과도 자연수가 된다는 것이다. 이것을 덧셈에 대하여 닫혀있다고 한다. 이 자연수만 갖고도 인류는 큰 어려움이 없이 사용했다. 그러나 자연수를 갖고는 큰 수에서 작은 수를 빼는 것은 표현할 수 있으나 작은 수에서 큰 수를 빼는 것은 어떻게 나타낼 수가 없었다. 다시 말하면 자연수는 자신이 갖고 있는 재산의 양을 나타낼 수는 있어도 자신이 진 빚은 나타낼 수 없었다. 

   상업을 활발히 한 인도인은 ‘0’과 음수의 개념을 처음으로 확립하였다. 그러나 ‘0’의 개념을 도입하고도 인류가 ‘0’을 수로 인정할 때까지는 오랜 세월이 걸렸다. 직선 위에 원점 0을 정하고 그 왼쪽을 음수로 표기하고, 오른쪽을 양수로 나타내는 수직선이 도입되어서야 음수와 0의 개념은 급속히 보급되었다. 아무것도 없는 상태를 ‘0’으로 하고, 작은 수에서 큰 수를 뺀 것을 큰 수에서 작은 수를 뺀 자연수 앞에 기호 ‘    ’를 붙였다. 이와 같은 수를 음의 자연수로 한다. 그러면 자연수와 음의 자연수 그리고 0을 포함한 모든 수를 정수라고 부른다. 자연수로부터 확장된 정수의 특징은 정수끼리 더하는 것은 물론 빼는 경우도 그 결과는 다시 정수가 된다는 것이다. 즉 정수는 뺄셈에 대하여도 닫혀있다는 것이다. 

   그러나 문명이 발전하면서 부분을 표시할 필요가 생겨졌다. 그러나 정수는 부분을 나타낼 수 없었다. 그래서 분수라는 개념이 생겼고, 이 수를 유리수라고 정의하였다. 즉 유리수는 정수와 정수의 비 a/b를 말한다. 정수에서 확장된 유리수의 특징은 유리수끼리는 서로 더하거나 빼거나 나누어도 그 결과는 다시 유리수가 된다는 것이다. 즉 유리수는 나눗셈에 대하여도 닫혀있다. 곱셈에 관하여는 모든 수가 다 닫혀있음으로 유리수는 모든 사칙연산에 의하여 닫혀있다. 그러나 정수는 나눗셈에 대하여 닫혀있지 않고, 자연수는 뺄셈에 대해서도 닫혀있지 않다. 오직 유리수만이 사칙연산 모두에 대하여 닫혀있다.

   피타고라스는 우주의 모든 현상은 수의 관계 속에서 표현할 수 있다고 믿어 ‘만물은 수이다’라고 주장했다. 이때 수라는 것은 오늘날의 개념으로 유리수를 말한다. 그는 옛날부터 전해져 내려오는 “직각삼각형의 빗변의 길이의 제곱은 밑변의 제곱에 높이의 제곱을 더한 것과 같다.”는 피타고라스 정리를 증명하고 “이것은 나 혼자만의 힘으로 된 것이 아니고 오로지 신의 도움으로 가능했다”라고 기뻐하며 황소 100마리를 잡아 신에게 공물로 바쳤다고 한다. 피타고라스의 업적은 최초로 피타고라스 정리를 논리적으로 증명한 것이다. 얼마나 어려웠으면 오랫동안 이 정리를 증명 못했을까? 이제는 너무도 쉽게 이 정리를 증명할 수 있다. 중학교 수학 정도의 지식만 알면 된다. 즉, 정사각형의 면적은 가로 곱하기 세로이고, 직각삼각형의 면적은 밑변 곱하기 높이 나누기 2, 그리고 (a+b)^2 =a^2 +2ab +b^2라는 것만 알면 증명할 수 있다. 

   한 변의 길이가 a+b인 정사각형은 다음 그림과 같이 직각삼각형과 정사각형으로 나눌 수 있다. 따라서 큰 정사각형의 면적은 네 개의 똑같은 직각삼각형과 안에 있는 작은 정사각형의 면적의 합과 같다.

큰 정사각형의 면적은 (a+b)^2이고 작은 정사각형의 면적의 c^2, 그리고 각 직각삼각형의 면적은 ab/2이다. 직각삼각형이 4개이므로 (a+b)^2 =c^2 +2ab가 성립한다. (a+b)^2 =a^2 +2ab +b^2이므로 a^2+b^2 =c^2가 성립한다. 와우! 이렇게 쉬울 수가?

   그런데 문제가 발생한다. 정사각형의 대각선의 길이 또는 밑변과 높이가 같은 직각삼각형의 빗변의 길이도 피타고라스는 당연히 그들이 숭상하는 수, 즉 유리수라고 보았다. 왜냐하면 당시 수라는 것은 지금의 유리수밖에 없었으니까. 그래서 이 수가 유리수임을 증명하려고 했다. 그러나 증명할 수가 없었다. 그러다가 이 수는 유리수일 수 없다는 것을 알아내었다. 즉 새로운 수의 탄생이다. 자기들이 숭배하는 수와 다른 수를 발견한 것이다. 이를 알아낸 히파수스는 피타고라스에게 보고했겠지. 그러면 위대한 것을 찾았다며 상을 내렸을까? 아니다. 그때나 지금이나 새로운 사상을 알리는 것보다는 기득권을 유지하기 위해 비밀을 감추는 것이 최고였을 것이다. 예를 들어볼까? 만일 기독교에서 예수가 완전히 죽은 후 부활한 것이 아니라, 거의 죽은 상태에서 가까스로 회생했다는 것이 역사적 사실이고 그 누구도 반박할 수 없는 충분한 증거가 발견되어 이를 기독교 최고 수장에게 보고했다고 하자. 그러면 그는 그 증거를 발견한 사람에게 상을 내릴까? 아니면 감추려 할까? 

   이 정도로 자기들이 절대적으로 믿은 수가 아닌 다른 수가 발견된 것은 엄청난 충격이었을 것이다. 이를 발견한 히파수스는 지중해에 수장되어 아직도 못 나오고 있다고 한다. 그러나 비밀은 밝혀지게 마련! 피타고라스학파는 붕괴되었다. 자기들이 최고라고 믿던 수가 더 이상 아니라고 하니까! 피타고라스 정리를 처음으로 증명하는 업적을 남기고도 피타고라스학파는 사라졌고 이름만 남았다.

   히파수스를 지중해에 가라앉게 하고 피타고라스학파를 사라지게 한 그 수가 유리수가 아님을 이제 보여 보자. 하나의 사실만 알면 아주 쉽게 증명할 수 있다. 그 사실은 ‘A이면 B이다’라는 말과 ‘B가 아니면 A가 아니다’라는 두 말은 같다는 것만 알고 있으면 된다. 두 변의 길이가 같은 직각삼각형의 한 변의 길이를 1이라고 하면 빗변을 나타내는 그 수는 지금의 시각으로 보면 2^(1/2)이다. 

   2^(1/2)를 유리수라고 하자. 그러면 2^(1/2)는 더 이상 약분되지 않는 분수로 표현할 수 있다. 이러한 분수를 기약분수라 한다. 즉

2^(1/2)=b/a

가 되는 수 a와 b가 존재하되 a와 b는 공통된 약수가 없다. 양변을 제곱하고 정리하면 2a^2=b^2이 되어 b^2은 a^2의 두 배가 되어 짝수가 된다. 그러면 b도 짝수이다. 왜냐하면 b가 홀수이면 제곱해도 홀수이기 때문이다. 따라서 b=2k가 되는 수 k가 존재한다. 그러므로

2a^2 =(2k)^2 =4k^2

이 되어 2k^2=a^2이다. 위와 같은 이유로 a^2은 짝수이고 더불어 a도 짝수이다. 결과적으로 a와 b가 모두 짝수가 되어 공통된 약수 2가 존재한다. 이것은 기약분수라는 것에 모순이 된다. 그러므로 2^(1/2)는 유리수가 아니다. 

   다시 말하면 유리수이면 기약분수가 되어야 하는 데, 기약분수가 안 되므로 유리수가 아니라는 뜻이다. 이처럼 유리수가 아닌 수를 무리수라고 한다. 따라서 무리수는 정수의 비로 표현할 수 없다. 즉 분수로 표기될 수 없는 이 수를 우리는 무리수라고 한다. 

   모든 유리수, 즉 분수는 소수로 표현할 수 있고 자릿수가 유한개인 소수 역시 분수로 표기할 수 있다. 그러나 자릿수가 무한인 무한소수는 분수로 표현되지 않을 수도 있다. 무한소수 중 순환하는 마디가 있는 소수는 분수로 표현할 수 있어 유리수가 된다. 예를 들어 0.333…, 0.1212… 등은 모두 분수로 표현할 수 있어 유리수이다. 왜냐하면 x=0.333…라고 하자. 그러면 10x=3.333…이다. 10x에서 x를 빼면 9x=3이 된다. 따라서 x=1/3이다. 같은 방법으로 0.1212…는 100을 곱해서 빼면 0.1212… = 4/33이 된다.

   순환하는 마디가 없는 소수는 분수로 표현할 수 없다. 따라서 순환하는 마디가 없이 무한히 나타나는 소수는 무리수이다. 예를 들어 원주율 π, 자연로그의 밑수로 쓰이는 e, 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이 2^(1/2) 등은 순환 마디가 없는 소수로 무리수이다. 

   유리수와 무리수는 서로 공통적으로 갖고 있는 것이 하나도 없는 완전히 분리된 수이다. 유리수는 사칙연산에 대하여 닫혀있지만 무리수는 그 자체로는 덧셈 외 어느 사칙 연산하고도 닫혀있지 않다. 왜냐하면 무리수인 2^(1/2)에 2^(1/2)를 곱하거나 나누거나 빼면 유리수가 되기 때문이다. 그러나 이 무리수를 유리수와 함께 다루면 모든 사칙연산에 대하여 닫혀있게 된다. 유리수와 무리수를 합하여 유리수를 확장한 수를 실수라고 한다. 이들 수의 관계를 집합의 기호를 쓰면 다음 관계가 성립한다.

자연수 ⊂ 정수 ⊂ 유리수 ⊂ 실수, 유리수∩무리수=∅, 유리수∪무리수= 실수

여기서 ⊂은 포함된다는 부분집합, ∩은 공통으로 갖고 있는 교집합, ∪은 합한 합집합, 그리고 ∅은 갖고 있는 것이 아무것도 없는 공집합을 뜻한다.

   무한 개념이 도입되면서 유리수의 극한이 반드시 유리수로 수렴하는 것은 아니라는 것을 알게 되었다. 예를 들어 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...와 같은 유리수는 갈수록 점점 더 그 앞항과의 격차가 점점 줄어들며 어딘가로 수렴한다. 그러나 이 수렴하는 값인 극한은 2^(1/2)로 유리수가 아니다. 즉 유리수로 이루어진 수열이 수렴할 때 그 극한이 반드시 유리수가 되는 것은 아니라는 것이다. 그러나 유리수를 실수로 확장하면 실수의 극한은 반드시 실수로 수렴한다. 이것을 실수의 완비성이라 한다. 즉 그 안의 수로 이루어진 수열의 극한도 그 안에 존재할 때 완비성이라 한다. 완비성은 오직 실수에만 있는 특징이다.

   실수의 제곱은 항상 양수가 된다. 그러나 수학과 과학이 점점 발전하면서 제곱해서 음수가 되는 수를 생각하게 되었다. 그래서 제곱해서 -1이 되는 그 수를 우리는 i라고 정의하고 그 수를 허수라 하였다. 즉

 i=(-1)^(1/2)로 표시한다. 허수의 아버지는 카르다노(Cardano)라고 한다. 그 이유는 그가 이차방정식의 해법을 구하면서 처음으로 허수를 이용하였기 때문이다. 실수를 더욱 확장하여 실수와 허수의 결합 x+iy와 같은 꼴의 수를 만들 수 있다. 이 수 x+iy를 복소수라 부른다. 이 복소수를 통해서 비로소 다음과 같은 대수학의 기본정리가 성립된다. 

“n차 방정식은 복소수 위에서 반드시 n개의 해를 갖는다.”

시사 및 읽을거리

헬레나 노르베리 호지, 『오래된 미래 : 라다크로부터 배운다』, 중앙북스, 2015

장 지오노, 『나무를 심은 사람』, 두레, 2012

맨디 하기스, 『종이로 사라지는 숲 이야기』, 상상의 숲, 2009