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by 야옹이버스 Jan 11. 2020

수학과 음악으로 이해하는 구조주의 by 김민형 교수

세계적인 수학자는 왜 구조주의를 주목하나

흥미로워서 기록!


한 줄 요약한다면, (가독성을 위해 두 줄)

- 바흐는 신기한 요술을 많이 부렸는데,

- 그것이 어쩌면 바흐 머리속에서는 수학의 군(Group) 이 동작한게 아니었을까... 라는 이야기



1. Group과 Isomorphic


1-1. 20세에 결투로 사망한 천재 수학자 갈루아가 정의한 Group이라는 개념을 이해하자.

갈루아 - https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%90%EB%B0%94%EB%A6%AC%EC%8A%A4%ED%8A%B8_%EA%B0%88%EB%A3%A8%EC%95%84


1-2. Group의 조건은 아래와 같다.

    a. 항등원이 있음

    b. 역원이 있음

    c. 결합 법칙이 성립함


Group을 만들어보는 사이트 - http://integral-domain.org/lwilliams/Applets/CayleyTables.html


1-3. 그리하여, 스도쿠를 만들면(모든 열과 행에 원소가 하나씩만으로 모두 나열된 형태) 그룹의 a, b 조건까지는 만족할 수 있으나,

c 조건까지 만족하는 Group을 만드는 것은 쉬운 일은 아니다.

예를 들어, 원소가 8개인 Group은 5개밖에 존재하지 않는다.


그중 Group D8 은 아래와 같이 생겼다.

이 그룹에 대해 일단은 무슨 의미인지 이해하려 하지 말고, 우선 구조적으로 'Group' 이 성립한다는 것까지만 이해한 상태로 D8을 기억해둔다.


예를 하나 더 보자면, C4와 C4'는 아래와 같이 생겼는데, 사실상 잘 보면 c와 d 가 역할이 바뀌었을 뿐이라 둘은 isomorphic (동형)이라고 볼 수 있다.

즉, C4와 C4'는 구조가 같다고 볼 수 있다.




2. Bach의 Variation, Canon


2-1. 바흐는, 멜로디와 박자를 천재적으로 사용해서 놀라운 음악을 만들었다.

아래 음악을 보면 우리가 '돌림노래'로 잘 알고 있는 형태인데, 시간의 차이를 두고 겹쳐 불러도 아름다운 화음이 만들어진다.

https://www.youtube.com/watch?v=Pa2_oWshsRM


이것도 한 예, 너무나 잘 어울려 뭔가 변하고 있는지 잘 느껴지지도 않음.

https://www.youtube.com/watch?v=if6jlJahGNQ


또 다른 예.

https://www.youtube.com/watch?v=8CbKrvCLwIo


2-2. 바흐의 캐논 한 마디를 따와서 위와 같은 특징을 시각적 표현으로 잘 보여주는 예.

시간과 공간의 변화를 주어 멜로디를 쌓아간다.

거꾸로 돌리기도 하고 위에서 아래로 쌓기도 하고 아래에서 위로 쌓기도 하고 시간의 변화를 주어 쌓기도 한다.

https://www.wqxr.org/story/hidden-mesmerizing-logic-bach-canons/


바흐의 캐논 한 단을 가져와 좀 더 강렬하게 그 놀라움을 시각적으로 보여주는 예.

http://www.openculture.com/2013/02/the_genius_of_js_bachs_crab_canon_visualized_on_a_mobius_strip.html

위 아티클에 해당 영상만 한 번 더 첨부한다.

https://youtu.be/xUHQ2ybTejU


2-3. Canon 이란 변주를 합성해 낸 구조란 것을 일단 기억해 두자.


2-4. 세상의 모든 것은 '수'라는 생각의 역사는 오래되었다.

특히나 음악은 특성에 있어 더 관계가 깊기도 하고.


음악과 수학의 관계에 대해 적극적 막을 열은 이는 Zarlino

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gioseffo_Zarlino



3. 그룹을 만드는 또 다른 접근


그룹, 변주곡을 거쳐 다시 아까 기억해둔 Group D8을 소환한다.

그리고 다르게 접근해 보자.


정사각형은 '대칭'의 특성이 있는 도형이다.

회전을 해도 대칭이고, 기준 축으로 반전시켜도 대칭이다. 아래와 같이 정의해보자.


    I. 움직이지 않는 그 상태 그대로, 즉 항등 변환, 항등원

    R. R1 = 90도 회전,  R2 = 180도, R3 = 270도 회전이라고 하고

    T. T1 = 좌우 반전, T2 = 대각선 반전, T3 = 상하 반전이라고 해보자.


그렇다면 R2xR2는 180도로 두 번이니 I. 즉 원래 대로 돌아온다.

R1xT1 은 90도 바꾸고 좌우 반전하면 T2. 즉 대각선 반전이 된다.

이 변환들을 a~g라고 명명하자.


그리고 기억해둔 Group D8에 대입해보면, 성립한다.

Group D8 은 정사각형의 대칭에 대한 그룹과 isomorphic , 동형이다. 구조가 같다.

조건을 맞추기 어려웠던 결합 법칙이, 이 세상에 실제 하는 '정사각형의 대칭'이라는 현상에 있어서는 쉽게 풀린다. 정사각형의 대칭에 있어서는 결합 법칙이 당연하니까.



4. 음악, 수학, 그리고 바흐에게 던지는 질문


그렇다면.

혹시 바흐의 천재적인 변주곡이,

어쩌면 Group의 특성-변주와 합성을 해도 그 Group 내의 원소로 수렴하는-을 활용한 것은 아니었을까.

(잘어울리고 아름다운 원소들로 그룹을 구성해두면 어떤 합성을 해도 그들일 테니)


바흐는 그의 음악적 직관력을 이용해서,

음과 박자들을 마치, 이 세계의 존재하는 정사각형의 '대칭' 특성처럼 원소화 해서,

Group을 찾아내고,

그 Group 속의 원소들의 연산을 통해 Canon 들을 만들어 낸 것은 아니었을까.





4. 참고


* 함께 강의를 들은 아름다운 사람들이 모아준 참고자료들...


4-1. 강의는 트레바리의 이벤트로 다녀왔음, 발표자가 누구신지도 모르고 우연(?)한 초대로 어리버리 갔는데 잼있었다!

https://trevari.co.kr/events/show?eventID=daadbc35-f303-4c3b-a829-70df45caa641


4-2. 정이면체군

https://dimenchoi.tistory.com/11


4-3. 구조주의적 사고방식

https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3571300&cid=59056&categoryId=59056


4-4. 클로드 레비스트로스

https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%81%B4%EB%A1%9C%EB%93%9C_%EB%A0%88%EB%B9%84%EC%8A%A4%ED%8A%B8%EB%A1%9C%EC%8A%A4


4-5. 괴델 에셔 바흐 GEB

http://www.kyobobook.co.kr/product/detailViewKor.laf?barcode=9788972916383


4-6. 괴델의 증명

http://www.kyobobook.co.kr/product/detailViewKor.laf?barcode=9788961390347


4-7. 수학이 필요한 순간

http://mobile.kyobobook.co.kr/showcase/book/KOR/9791186560785

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