수학과 음악으로 이해하는 구조주의 by 김민형 교수
세계적인 수학자는 왜 구조주의를 주목하나
흥미로워서 기록!
한 줄 요약한다면, (가독성을 위해 두 줄)
- 바흐는 신기한 요술을 많이 부렸는데,
- 그것이 어쩌면 바흐 머리속에서는 수학의 군(Group) 이 동작한게 아니었을까... 라는 이야기
1. Group과 Isomorphic
1-1. 20세에 결투로 사망한 천재 수학자 갈루아가 정의한 Group이라는 개념을 이해하자.
1-2. Group의 조건은 아래와 같다.
a. 항등원이 있음
b. 역원이 있음
c. 결합 법칙이 성립함
Group을 만들어보는 사이트 - http://integral-domain.org/lwilliams/Applets/CayleyTables.html
1-3. 그리하여, 스도쿠를 만들면(모든 열과 행에 원소가 하나씩만으로 모두 나열된 형태) 그룹의 a, b 조건까지는 만족할 수 있으나,
c 조건까지 만족하는 Group을 만드는 것은 쉬운 일은 아니다.
예를 들어, 원소가 8개인 Group은 5개밖에 존재하지 않는다.
그중 Group D8 은 아래와 같이 생겼다.
이 그룹에 대해 일단은 무슨 의미인지 이해하려 하지 말고, 우선 구조적으로 'Group' 이 성립한다는 것까지만 이해한 상태로 D8을 기억해둔다.
예를 하나 더 보자면, C4와 C4'는 아래와 같이 생겼는데, 사실상 잘 보면 c와 d 가 역할이 바뀌었을 뿐이라 둘은 isomorphic (동형)이라고 볼 수 있다.
즉, C4와 C4'는 구조가 같다고 볼 수 있다.
2. Bach의 Variation, Canon
2-1. 바흐는, 멜로디와 박자를 천재적으로 사용해서 놀라운 음악을 만들었다.
아래 음악을 보면 우리가 '돌림노래'로 잘 알고 있는 형태인데, 시간의 차이를 두고 겹쳐 불러도 아름다운 화음이 만들어진다.
https://www.youtube.com/watch?v=Pa2_oWshsRM
이것도 한 예, 너무나 잘 어울려 뭔가 변하고 있는지 잘 느껴지지도 않음.
https://www.youtube.com/watch?v=if6jlJahGNQ
또 다른 예.
https://www.youtube.com/watch?v=8CbKrvCLwIo
2-2. 바흐의 캐논 한 마디를 따와서 위와 같은 특징을 시각적 표현으로 잘 보여주는 예.
시간과 공간의 변화를 주어 멜로디를 쌓아간다.
거꾸로 돌리기도 하고 위에서 아래로 쌓기도 하고 아래에서 위로 쌓기도 하고 시간의 변화를 주어 쌓기도 한다.
https://www.wqxr.org/story/hidden-mesmerizing-logic-bach-canons/
바흐의 캐논 한 단을 가져와 좀 더 강렬하게 그 놀라움을 시각적으로 보여주는 예.
위 아티클에 해당 영상만 한 번 더 첨부한다.
2-3. Canon 이란 변주를 합성해 낸 구조란 것을 일단 기억해 두자.
2-4. 세상의 모든 것은 '수'라는 생각의 역사는 오래되었다.
특히나 음악은 특성에 있어 더 관계가 깊기도 하고.
음악과 수학의 관계에 대해 적극적 막을 열은 이는 Zarlino
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gioseffo_Zarlino
3. 그룹을 만드는 또 다른 접근
그룹, 변주곡을 거쳐 다시 아까 기억해둔 Group D8을 소환한다.
그리고 다르게 접근해 보자.
정사각형은 '대칭'의 특성이 있는 도형이다.
회전을 해도 대칭이고, 기준 축으로 반전시켜도 대칭이다. 아래와 같이 정의해보자.
I. 움직이지 않는 그 상태 그대로, 즉 항등 변환, 항등원
R. R1 = 90도 회전, R2 = 180도, R3 = 270도 회전이라고 하고
T. T1 = 좌우 반전, T2 = 대각선 반전, T3 = 상하 반전이라고 해보자.
그렇다면 R2xR2는 180도로 두 번이니 I. 즉 원래 대로 돌아온다.
R1xT1 은 90도 바꾸고 좌우 반전하면 T2. 즉 대각선 반전이 된다.
이 변환들을 a~g라고 명명하자.
그리고 기억해둔 Group D8에 대입해보면, 성립한다.
Group D8 은 정사각형의 대칭에 대한 그룹과 isomorphic , 동형이다. 구조가 같다.
조건을 맞추기 어려웠던 결합 법칙이, 이 세상에 실제 하는 '정사각형의 대칭'이라는 현상에 있어서는 쉽게 풀린다. 정사각형의 대칭에 있어서는 결합 법칙이 당연하니까.
4. 음악, 수학, 그리고 바흐에게 던지는 질문
그렇다면.
혹시 바흐의 천재적인 변주곡이,
어쩌면 Group의 특성-변주와 합성을 해도 그 Group 내의 원소로 수렴하는-을 활용한 것은 아니었을까.
(잘어울리고 아름다운 원소들로 그룹을 구성해두면 어떤 합성을 해도 그들일 테니)
바흐는 그의 음악적 직관력을 이용해서,
음과 박자들을 마치, 이 세계의 존재하는 정사각형의 '대칭' 특성처럼 원소화 해서,
Group을 찾아내고,
그 Group 속의 원소들의 연산을 통해 Canon 들을 만들어 낸 것은 아니었을까.
4. 참고
* 함께 강의를 들은 아름다운 사람들이 모아준 참고자료들...
4-1. 강의는 트레바리의 이벤트로 다녀왔음, 발표자가 누구신지도 모르고 우연(?)한 초대로 어리버리 갔는데 잼있었다!
https://trevari.co.kr/events/show?eventID=daadbc35-f303-4c3b-a829-70df45caa641
4-2. 정이면체군
https://dimenchoi.tistory.com/11
4-3. 구조주의적 사고방식
https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3571300&cid=59056&categoryId=59056
4-4. 클로드 레비스트로스
4-5. 괴델 에셔 바흐 GEB
http://www.kyobobook.co.kr/product/detailViewKor.laf?barcode=9788972916383
4-6. 괴델의 증명
http://www.kyobobook.co.kr/product/detailViewKor.laf?barcode=9788961390347
4-7. 수학이 필요한 순간
http://mobile.kyobobook.co.kr/showcase/book/KOR/9791186560785
