2.연역논증 2)명제논리
⑧타당성 평가
*유튜브 해설 :https://www.youtube.com/watch?v=6FwWb3b2dbk
드디어 명제논리의 마지막 포스팅입니다. 이전 포스팅들을 통해 우리는 타당한 형식의 논증 여덟 가지와 논리적 동치의 대표 유형 열 가지를 배웠죠. 이번 포스팅에선 이를 토대로 실제 연역논증의 타당성을 평가하는 연습을 해보도록 하겠습니다. 그럼 바로 시작하겠습니다.
논리학에서 말하는 타당한 논증이란 전제가 참일 때 결론도 반드시 참인 논증을 가리킵니다. 가령 다음과 같은 논증이 그에 해당합니다.
전제1과 전제2가 모두 참이라면 결론은 거짓일 가능성이 없습니다. 논리학에선 이 같은 논증을 타당하다고 설명합니다. 그렇다면 반대로 부당한 논증은 무엇일까요? 전제가 참일 때 결론이 거짓일 가능성이 있는 논증이겠죠. 이를테면 다음의 논증을 예로 들 수 있습니다.
위 논증에서 주어진 전제가 참이라면 후건 부정의 법칙을 통해 ~A라는 결론을 얻을 수 있죠. 그런데 정작 결론부에서는 A라는 명제가 나와있으므로 전제를 통해 도출한 ~A와 상충되고 있습니다. 즉 전제가 참일 때 결론은 거짓일 수밖에 없으므로 주어진 논증은 부당한 논증이라 할 수 있습니다. 그럼 이제 이러한 타당성의 정의를 따라 보다 복잡한 연역논증의 타당성을 평가해보는 연습을 해보도록 하겠습니다.
첫번째 문제입니다. 아래 논증은 타당한 논증일까요?
하나씩 살펴보겠습니다. 먼저 전제1은 A→(A&B)와 논리적 동치입니다. 그리고 전제2는 수출 법칙에 따라 (A∙B) → C 라는 명제와 논리적 동치입니다. 따라서 A→(A&B)→C가 연쇄적으로 이어지므로 주어진 논증은 타당한 논증입니다.
그럼 바로 이어서 두 번째 문제를 풀어보겠습니다. 1번문제보다는 살짝 복잡해보일 수 있지만 풀이 방법은 동일합니다.
(헷갈리시면 아래 첨부해둔 이미지를 참고하시면서 읽으세요~!)
먼저 주어진 전제들을 살짝 분석해보면 단순명제로 나타난 것은 전제3에 해당하는 ~C밖에 없죠. 따라서 C가 포함된 전제1을 ~C의 형태로 만들어주는 것이 보다 편리할 것으로 보입니다. 고로 전제1에 대우법칙을 적용해보겠습니다. 또한 이 대우명제의 전건과 후건에 드 모르간의 정리를 적용하면 그 결과 우리는 ~C의 형태로 드러난 명제를 도출할 수 있습니다. 이를 전제4에 적어넣겠습니다. 그렇다면 전제3과 전제4에 전건 긍정의 법칙을 적용하면 ~A∙~B를 도출할 수 있겠죠. 그런데 ~A∙~B가 참이라는 것은 단순화 논법에 의하여 ~A가 참이라는 이야기와 동일한 의미입니다. 따라서 ~A를 전제2에 적용하면 또 다시 전건긍정의 법칙에 의하여 E→~E를 도출할 수 있는 거죠. 그리고 최종적으로 E→~E에 조건명제 변형을 적용하면 ~E∨~E를 도출할 수 있습니다. 이는 항진법칙에 의하여 ~E와 논리적 동치를 이루죠. 이로써 주어진 논증은 타당한 논증이라 할 수 있습니다.
이처럼 아무리 명제들이 복잡하게 얽혀있다 하더라도 그동안 배운 내용만 잘 적용할 수 있다면 무리 없이 문제를 해결하실 수 있을 겁니다. 다만 여러분들이 준비하는 LEET나 PSAT 등의 시험은 이처럼 친절하게 논리식을 정리해줄리는 없겠죠. 따라서 마지막 문제로는 LEET 기출문제를 살펴보며 포스팅을 마치려 합니다. 주어진 문제는 2011년도 LEET 추리논증 22번 문제를 살짝 변형한 것인데요. 저작권 문제로 인하여 문제를 살짝 바꾸었으니 이 문제를 풀어보신 후 원본 문제를 풀어보시는 것도 좋을 것 같습니다.
그럼 다 푸셨을 줄로 알고 풀이를 시작해보겠습니다.
먼저 1번 문장은 간단한 조건문입니다. 지각을 한 것이 전건, 그리고 걸어왔거나 자전거를 탄 경우가 선언 기호로 결합되어 후건에 위치하는 형태입니다. 이어서 2번 문장은 걸어온 것이 전건이고 신발이 더러워지는 것과 다리가 붓는 것이 후건에 위치합니다. 3번 문장도 2번과 마찬가지 형태죠. 이번엔 자전거를 탄 것이 전건이고 쉬지 않고 페달질을 한 것과 적어도 한 번 언덕을 만났다는 것이 후건에 해당합니다. 다음으로 4번 문장은 페달질 한 것이 전건, 다리가 부은 것이 후건이며, 5번 문장은 언덕을 만난 것이 전건, 신발이 더러워진 것이 후건인 조건문입니다. 이때 문제에서 묻는 것은 ‘철수가 지각하지 않았다’라는 결론이 타당하기 위해 필요한 전체를 채워넣으라는 거죠. 그러하면 주어진 전제들을 정리해보도록 하겠습니다.
먼저 전제 1,2,3에 가언적 삼단논법을 적용하면 다음의 명제를 도출할 수 있습니다.
그런데 페달과 언덕은 각각 전제4와 전제5에 따라 다리와 신발로 치환 가능합니다. 교환법칙에 따라 둘의 자리를 바꿔주겠습니다.
또한 이는 항진법칙에 따라 둘 중 하나만 써줘도 되겠죠. 따라서 전제를 정리하면 다음과 같은 형태의 명제를 도출할 수 있습니다.
이때 문제가 원하는 결론은 ‘지각을 하지 않았다’이므로 도출된 명제에 대우 법칙을 적용하고 여기에 드 모르간의 정리를 이용하면 다음과 같이 옮길 수 있겠죠.
즉 우리에게 필요한 전제는 신발이 더러워지지 않았거나, 혹은 다리가 붓지 않았다는 명제입니다. 그러므로 선택지를 확인해보시면 답은 5번이라는 사실을 금방 찾으실 수 있을 겁니다. 이 내용을 모두 이해하셨다면 2011년 LEET 추리논증 22번 문제를 검색하셔서 한 번 풀어보시길 추천드립니다.
아무튼 이로써 명제논리를 이용해 연역논증의 타당성을 평가해보았습니다. 열심히 복습하셔서 준비하시는 시험 모두 최선의 결과를 이뤄내시길 바라겠습니다.
그동안 명제 논리 시리즈를 읽어주신 모든 분들에게 감사드립니다.
*부족한 글을 읽어주셔서 감사합니다. 혹시 재미있으셨다면, 심심하실 때 유튜브도 가끔 놀러와주세요^^
https://www.youtube.com/channel/UCT6CEgi8KQN2MCIvCLMl-bQ
