2. 연역논증 1)정언논리 ③주연
*유튜브 해설 : https://www.youtube.com/watch?v=aDHN5guNpJ0
지난 포스팅에서는 정언명제 간의 논리적 관계에 대해 살펴봤습니다. 이들 논리적 관계에는 함축, 모순, 반대, 소반대가 있었죠. 또한 이를 도식화한 대당사각형을 통해 직접추리를 하는 방법도 두어차례 연습해봤습니다. 여기서 말하는 직접추리란 한 명제로부터 다른 명제에 대한 정보를 직접적으로 추론하는 과정을 뜻하죠. 그런데 사실 직접추리를 하는 방법에는 대당사각형만 있는 것이 아닙니다. 환위, 환질, 이환이라는 또다른 방법들이 존재하죠. 하지만 이 세 가지 개념을 제대로 이해하기 위해서는 그 전에 꼭 짚고 넘어가야 할 개념이 하나 있습니다. 바로 주연이라는 개념입니다. 따라서 이번 포스팅의 목표는 딱 한 가지, 주연에 대해서 제대로 이해하는 것입니다. 한 번 이해가 되고 나면 너무 당연한 개념이지만, 이해가 되기까지는 조금 시간이 걸릴수도 있으므로 인내심을 가지고 찬찬히 읽어보시길 바랍니다. 이제 시작하겠습니다.
주연의 정의는 어떤 개념에 해당하는 집합의 모든 원소가 명제 안에서 빠짐없이 언급되었다는 것을 뜻합니다. 하지만 아마 이 말은 전혀 와닿질 않죠. 그렇다면 다음의 명제를 살펴보겠습니다.
위 명제에서 주어에 속하는 개념은 케잌, 술어는 음식이죠. 이를 도식화하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
(기억하시겠지만, 논리학에서는 까맣게 색칠함으로써 '없다'는 사실을 나타내죠.)
이를 통해 우리는 케잌에 속하는 S집합이 모두 2번 영역에만 존재한다는 사실, 즉 케잌을 이루고 있는 치즈케잌, 초코무스, 레들벨벳 등의 원소가 모두 P 집합에 해당한다는 사실을 알 수 있습니다. 다시 정리하면 주어진 명제는 주어를 이루고 있는 모든 원소들을 빠짐없이 언급한다는 것입니다. 따라서 이 명제 속에서 '주어는 주연되고 있다' 라고 이야기할 수 있습니다.
혹시 아직 이해가 잘 안 가신다면 이번에는 술어를 살펴보겠습니다. 음식을 이루는 원소에는 케잌 뿐만 아니라 햄버거, 피자, 치킨 등등 헤아릴 수 없이 많죠. 하지만 주어진 명제는 이러한 음식의 모든 원소들을 빠짐없이 언급하고 있나요? 그렇지 않죠. 음식의 일부 원소, 즉 케잌이라는 단 하나의 원소만을 언급했을 뿐입니다. 즉 주어진 명제에서 '술어는 부주연되어 있다' 라고 이야기 합니다. 이를 일반화하여 'A 명제에서 주어는 주연되고, 술어는 부주연된다' 라는 사실을 알 수 있습니다.
아직 이해가 안 가셔도 괜찮습니다. 이번에는 E 명제를 살펴보겠습니다. 원리는 똑같습니다
이를 도식화하면 다음과 같습니다.
이를 통해 우리는 콜라인 동시에 오렌지 주스일 수는 없다라는 사실, 즉 2번 영역은 공집합이라는 사실을 알 수 있습니다. 그렇다면 S 집합과 P 집합을 이루는 원소들을 살펴보겠습니다. S 집합에는 대략 코카콜라, 펩시 같은 것들이 있고, P 집합에는 아임리얼, 델몬트 등이 있습니다. 주어진 명제는 S 집합을 이루는 모든 원소들에 대해 빠짐없이 언급하고 있나요? 당연히 그렇죠. 코카콜라, 펩시, 그 외 수많은 콜라 종류들이 모두 P 집합이 아니라는 사실을 언급하고 있습니다. P 집합의 경우는 어떤가요? 아임리얼, 델몬트 외 수많은 오렌지 주스에 대한 설명을 언급하고 있나요? 당연히 그렇습니다. 수많은 오렌지쥬스들이 모두 S에 속하지 않는다는 사실을 알 수 있죠. 따라서 E 명제의 경우는 주어도 주연되고, 술어도 주연되었다고 정리할 수 있습니다. 이제 조금 이해가 되셨나요?
이번엔 I 명제를 살펴보겠습니다.
이를 도식화하면 다음과 같습니다.
이를 통해 우리는 S 집합에 속하는 원소 중 적어도 하나 이상이 2번 영역, 즉 P 집합에 속한다는 사실을 알 수 있죠. 그럼 이번에도 주연 여부를 따져보겠습니다. 주어진 명제는 S 집합의 모든 원소들, 즉 모든 남자들에 대해 빠짐없이 언급하고 있나요? 그렇지 않습니다. 남자들 중 아주 일부의 남자에 대해서만 설명하고 있죠. 따라서 I 명제에서 주어는 부주연되고 있습니다. 그렇다면 술어의 경우는 어떤가요? 마찬가지로 모든 학생에 대하여 아주 일부의 경우만 언급하고 있죠. 따라서 I 명제에서는 주어와 술어가 모두 부주연되고 있습니다.
이제 마지막으로 O 명제를 살펴보겠습니다.
이를 도식화하면 다음과 같습니다.
이를 통해 우리는 P 집합에 해당하지 않는 1번 영역에 최소 하나 이상의 원소가 존재한다는 사실, 다시말해 학생 집합에 속하지 않는 남자가 최소 하나 이상 존재한다는 사실을 알 수 있죠. 그렇다면 주연 여부는 어떤가요? 주어진 명제는 모든 남자에 대해 설명하지 않고 일부의 남자에 대해서만 언급을 하고 있죠. 따라서 주어는 부주연되고 있습니다. 그런데 술어의 경우는 조금 헷갈립니다. 주어진 명제만 봤을 때는 술어 집합에 포함되는 학생들이 모두 남자인 것도 아니고, 그렇다고 전부 남자가 아니라는 것도 아니죠. 따라서 얼핏보기에는 술어가 주연되고 있지 않는 것처럼 느껴집니다. 하지만 분명히 술어는 주연되고 있습니다. 왤까요. 그 힌트는 바로 1번 영역에서 찾을 수 있습니다. 만약 예를 들어 1번 영역에 속하는 한 원소, 즉 학생이 아닌 한 남자의 이름이 철수라고 해보겠습니다. 이때 우리가 확실히 알 수 있는 한 가지는 P집합에 속하는 모든 학생들이 결코 철수가 아니라는 사실이죠. 물론 동명이인일 수는 있겠지만 1번에 속하는 철수와는 다른 학생일 것입니다. 따라서 O 명제에서 주어는 부주연, 술어는 주연되고 있는 것이죠.
이렇게 해서 네가지 정언명제들의 주연 여부를 살펴봤습니다. 이를 더 간단히 정리해보고 포스팅을 마치겠습니다. 먼저 주어의 주연여부는 사실 매우 간단합니다. A명제와 E 명제는 그 명제가 모든 주어에 대해서 얘기하고 있죠. 반면 I명제와 O 명제는 어떤 주어, 즉 주어의 일부에 대해서만 언급하고 있습니다. 따라서 이들의 주연여부는 다음과 같습니다.
모든으로 시작하는 A와 E 명제의 주어는 주연되고, I명제와 O명제는 그렇지 않은 것이죠.
다음으로 술어를 살펴보겠습니다. 긍정명제인 A명제와 I명제에서는 P 집합에서는 3번 영역에 대한 진술이 이뤄지지 않고 있습니다. 따라서 두 명제 모두 술어가 부주연되고 있고요. 반면 부정명제인 E명제와 O명제에서는 P집합의 모든 원소들의 정보가 제시되므로 주연되고 있습니다.
이로써 정언명제의 주연 개념을 간단히 살펴봤습니다. 절대 어려운 개념은 아니므로 이해가 안 되신다면 직접 종이에 그려 보시면서 몇 번 반복해 보시면 완벽하게 이해할 수 있을 겁니다.
다음 포스팅에서는 주연을 토대로 환위, 환질, 이환 등에 대해 살펴보도록 하겠습니다. 읽어주셔서 감사합니다.
*부족한 글을 읽어주셔서 감사합니다. 혹시 재미있으셨다면, 심심하실 적에 유튜브도 한 번 놀러와주세요^^
https://www.youtube.com/channel/UCT6CEgi8KQN2MCIvCLMl-bQ
