2.연역논증 2)명제논리
⑥쌍조건명제
*유튜브 해설 : https://www.youtube.com/watch?v=XGpvcpahGdE
지난 포스팅에서는 조건 명제에 대해 살펴봤습니다. 조건 명제의 의미는 '전건이 참이고 후건이 거짓인 경우 조건문은 거짓이다' 라는 뜻이었죠. 이번 포스팅에서는 학생들이 간혹 조건 명제와 헷갈리곤 하는 쌍조건명제에 대해 살펴보려 합니다. 내용도 어렵지 않고 길이도 짧으므로 가볍게 읽으실 수 있을 겁니다. 그럼 바로 시작하겠습니다.
쌍조건명제의 의미는 매우 직관적입니다. 말 그대로 조건명제가 쌍을 이루고 있다는 거죠.
이를테면 A와 B 두 명제가 주어졌을 때 A이면 B인 동시에, B이면 A인 관계도 성립하는 명제를 가리킵니다. 따라서 쌍조건명제의 기호는 다음과 같은 양쪽화살표로 나타낼 수 있습니다.
해석하자면 조건명제가 양쪽으로 작용한다는 뜻을 담고 있는 거죠. 그렇다면 보다 깊은 이해를 위해 예를 들어보겠습니다.
비가 오는 날이면 꼭 그 때에만 철수의 허리가 아프다.
편의상 비가 오는 것을 A, 철수의 허리가 아프다는 것을 B라 하겠습니다. 이때 주어진 명제는 과연 어떨 때 참일까요? 답은 크게 두 가지 경우로 나누어 살펴볼 수 있습니다.
첫째로 비가 실제로 내리는 경우엔 철수의 허리가 아프다는 말도 사실이어야 주어진 명제가 참일 것이고요, 둘째로 비가 오지 않을 땐 철수의 허리도 아프지 않아야 참이라 할 수 있습니다. 그런데 특이한 점은 반대로도 해석할 수 있다는 것입니다. 즉 철수의 허리가 아프다면, 그 날은 비가 오는 날일 것이고, 반대로 철수의 허리가 아프지 않다면, 그 날은 비가 오지 않는다는 사실을 알 수 있죠. 이러한 해석이 가능한 이유는 주어진 명제가 'A이면 B'일 뿐만 아니라 'A일 때만 B'라는 내용을 담고 있기 때문입니다.
이리하여 쌍조건명제란 A이면 B인 동시에 B이면 A인 관계가 성립하는 명제라 할 수 있는 거죠. 그렇다면 이제 우리는 이를 토대로 쌍조건명제의 진리표를 간단히 완성할 수 있습니다.
위 진리표에서 A가 참이라는 것은 비가 오는 경우를 가리키고요, A가 거짓이라는 것은 비가 오지 않는 경우를 가리킵니다. 먼저 비가 오는 경우엔 철수의 허리가 아프면 참, 아프지 않으면 거짓입니다. 반면 비가 오지 않는 경우엔 철수의 허리도 아프지 않아야 참, 아프면 오히려 거짓이라 할 수 있죠. 물론 이러한 결과는 아래와 같이 (A→B)∙(B→A)라는 명제의 진리표와도 똑같은 결과를 갖습니다.
그런데 진리표를 잘 보시면 쌍조건명제의 중요한 특징을 발견할 수 있습니다.
쌍조건명제가 참인 경우에 A와 B는 둘 다 참이거나, 혹은 둘 다 거짓이라는 사실이죠. 즉 쌍조건기호로 결합된 두 명제는 언제나 같은 진리치를 가지는 동치 관계라는 특징이 있습니다. 이를 논리학에선 '≡' 기호로 표기하며 보다 정확하게는 단순 동치라 부릅니다.
지금까지 살펴본 내용을 되짚어보면 이렇습니다.
쌍조건명제란 (A→B)∙(B→A) 관계가 성립하는 명제이며, 이러한 관계에서 A, B는 둘 다 참이거나, 둘 다 거짓인 관계, 즉 언제나 같은 진리치를 가지는 단순 동치 관계라는 것. 따라서 여러분은 쌍조건명제를 위와 같은 세 종류의 표현으로 모두 나타낼 수 있어야 합니다.
그렇다면 한 가지 중요한 내용을 살펴보고 포스팅을 마치도록 하겠습니다. 방금 전에 우리는 쌍조건기호로 연결된 두 명제 A, B가 단순 동치 관계라는 사실을 배웠죠. 이때 우리가 유의할 점은 단순동치라는 것은 단지 두 명제의 진리치만 같다는 점을 의미할 뿐이라는 사실입니다. 이해를 위해 앞서 살펴본 명제를 다시 보겠습니다.
주어진 명제는 A, B 두 명제가 쌍조건 기호로 결합된 형태였죠.
하지만 보다시피 두 명제가 담고 있는 의미는 전혀 다릅니다. A는 날씨에 관한 이야기고, B는 철수의 허리에 대한 이야기죠. 즉 A와 B가 단순동치라는 사실은 단지 두 명제의 진리치만 같다는 사실을 나타낼 뿐이며, 두 명제의 의미는 아무런 연관이 없다는 것입니다. 이해가 잘 안 되신다면 반대의 예를 보겠습니다.
'비가 내린다' 라는 명제를 A라 할 때 '비가 안 내리지 않는다'는 부정이 두 번 들어간 A의 형태로 나타내질 수 있죠. 즉 두 명제는 같은 진리치를 가지는 단순 동치일 뿐만 아니라 그 의미 또한 완벽히 똑같은 명제입니다. 논리학에선 이를 특별히 논리적 동치라 부릅니다. 쉽게 정리하면 단순 동치란 진리치만 같은 것이고, 논리적 동치란 진리치 + 의미도 같은 것이라 할 수 있는 거죠.
이리하여 쌍조건명제에 대한 내용을 모두 살펴보았습니다.
오늘 배운 내용을 정리하면 쌍조건기호란 A이면 B인 동시에 B이면 A인 관계를 가리킨다는 것, 그리고 이 때 A와 B는 서로 같은 진리치를 가지는 단순 동치 관계라는 것, 또한 단순 동치란 단지 진리치만 같은 것이며 의미적 관련성은 전혀 없다는 것. 이상이 이번 포스팅에서 다뤄진 내용 전부입니다.
다음 포스팅에서는 논리적 동치가 무엇인지에 대해 조금 더 살펴보도록 하겠습니다.
읽어주셔서 감사합니다.
*부족한 글을 읽어주셔서 감사합니다. 혹시 재미있으셨다면, 심심하실 때 유튜브도 가끔 놀러와주세요^^
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