케플러의 법칙을 수학적으로 증명한 뉴턴

7, 뉴턴의 프린키피아, 케플러 법칙을 수학적으로 증명한 뉴턴

Plato Won 作,지구가 23.5도 기울어진 타원체로 태양을 타원 회전하면서 사계절이 생겨나고 지구의 생태계의 탄생과 소멸을 본의아니게 관장하게 된다

행성은 태양을 중심으로 원운동이 아닌 달걀모양의 타원 운동을 한다

회전운동을 하는 행성은 중심으로 끌어당기는 구심력이 발생하고 동시에 밖으로 튕겨나가려는 원심력이 발생해서 일정한 궤도를 돌게 된다.타원으로 도는 이유는 지구는 찌그러진 공모앙이기에

만유인력의 법칙은 말 그대로 우주에 존재하는

모든 물체에 공통으로 적용되는 법칙으로,

그 시작은 뉴턴이 아닌 이전의 독일의 과학자인

케플러가 밝힌 '케플러의 법칙'에서 출발한다.

케플러가 살던 시대에는 천체 망원경이 흔치 않았고

그나마 배율이 높지 않아, 천체의 범위가 지금처럼

전 우주를 말하는 것이 아니라 태양, 지구, 달, 화성,

목성까지의 범위 내 천체를 말한다.

케플러는 태양계 안에 있는 천체들의 움직임을

천체 망원경으로 꼼꼼하게 조사했는데,

천제들의 움직임에 일정한 법칙이 작용한다는 것을

알게 된다. 이를 정리한 것을 '케플러의 법칙'이라

한다.

케플러의 법칩은 세 가지로 이루어져 있는데,

타원 궤도의 법칙, 면적 속도 일정의 법칙, 조화의

법칙으로 나눈다.

제1법칙인 '타원 궤도의 법칙'은

지구와 화성. 목성 같이 태양 주위를 회전하는

행성(움직일 행, 별 성, 움직이는 별)들이 태양의

둘레를 공전하는 궤도가 원이 아니라 타원이라는

사실을 밝혀낸 법칙이다

제2의 법칙인 '면적 속도 일정의 법칙'은

태양계 행성이 같은 시간 동안 움직이는 면적은

동일하다고 밝힌 법칙이다.

제3의 법칙인 '조화의 법칙'은

공전 주기의 제곱은 행성 궤도의 장 반지름의

세제곱에 비려한다는 내용이다.

케플러 또한 스승이 수십 년 동안 하늘을 관측해

모아놓은 정밀한 천문 자료를 분석하면서 중요한

사실 한 가지를 알아내는데,

태양 둘레를 도는 행성의 공전 속도가 늘 똑같지

않다는 사실이 그것이다.

케플러는 아리스토텔레스의 주장처럼,

행성의 궤도가 원운동을 하고 있다고 굳게 믿고

있었고, 그렇다면 당연히 일정한 속도로 공전해야

한다고 생각했는데,

관측결과는 행성의 공전 속도가 공전하는 지점에

따라 변하니 혼란에 빠져 들 수밖에 없었다.

케플러는 이 문제를 가지고 깊은 생각에 빠져 든다.

행성의 궤도를 더욱 꼼꼼히 조사해서 그려본 결과,

두 가지 사실을 밝혀낸다.

하나는 행성의 공전 속도가 어디에서는 빨리지고,

어디에서는 느려진다는 사실과 행성의 공전 속도가

빨라지는 지점은 태양에 가까운 곳이고, 행성의 공전

속도가 느려지는 지점은 태양에서 먼 곳이라는 사실

이다.

또 하나는 행성의 공전 속도가 다르긴 해도,

같은 시간 동안 쓸고 지나가는 면적은 같다는 사실이다.

이것은 태양에서 행성까지의 거리가 일정하지 않다는

것이고, 행성의 궤도가 절대 원운동이 아니라

원의 양옆이 약간 튀어나온 타원이라는 사실을 의미

한다. 마치 둥근 풍선을 약간 눌러 양옆이 튀어나온

럭비공 같은 모양으로 타원으로 회전한다는 것과 같다.

이렇게 케플러 제1법칙과 제2법칙이 발견된다.

생각이 깊어진 케플러는 더 나아가 태양계 행성의

공전 주기와 행성 궤도의 장 반지름 사이에는 어떤

조화로움이 깃들어 있을 것으로 확신한다.

그 조화로움을 찾기 위해서 태양계 행성의 공전 주기

와 공전 궤도의 장 반지름을 면밀히 검토한 결과,

공전 주기를 제곱하고 장 반지름을 세제곱해 보았더니

정확히 일치하다는 사실을 발견해 낸다.

케플러의 제3의 법칙이 발견된 순간이다.

뉴턴의 '프린키피아'에서는 케플러의 이 세 가지 , 법칙을 자세히 기술하고, 케플러의 법칙을 수학적으로 완벽히 증명해 낸 것이다.

뉴턴은 '프린키피아'에서 타원을 그리면서 움직이는

물체가 구심력을 받는다고 가정하고, 공전하는 행성이

받는 중심으로 당기는 힘, 구심력은 만유인력이므로

만유인력의 법칙을 이용해 케플레의 법칙을 정확히

수학적으로 증명했던 것이다.

결국, 케플러는 스승의 천체관측 자료를 가지고

케플러의 세 가지 법칙을 밝혀냈지만 이를 수학적으로

증명하지는 못했고, 뉴턴의 케플러의 법칙을 가지고

만유인력의 법칙을 이용해서 수학적으로 증명해 낸

것이다.

사실, 뉴턴은 갈릴레이가 밝혀낸 구심력으로 만유

인력의 법칙을 도출하고. 케플러가 밝혀낸 세 가지

법칙을 가지고 만유인력 법칙을 이용해 이를 수학적

으로 증명해 냄으로써 만유인력의 법칙을 완성한

것이다.

뉴턴이 "나는 거인의 어깨 위에 올라탔다."라고 말한

그 거인은 바로 갈릴레오와 케플러를 지칭하는 것이다.

더 나아가 고대 여러 천문학자들은 주장한 태양이

지구 주위를 돈다는 천동설과 아리스토털레스가

주장한 지상계 운동은 중심으로 떨어지고, 천상계

운동은 신이 장조하여 완벽히 원운동을 한다는 주장

에 의문을 품고 반박하면서 만유인력의 법칙을

완성한 것이다.

근대 이전 사람들은 지구가 우주의 중심이고,

지구가 평평하다고 생각했으나, 고대 그리스

천문학자인 에라토스테네스는 자연현상을 면밀히

관찰하면서 지구가 종이처럼 평평하지 않고 둥근

타원체라는 사실을 일찍이 알아냈으나 이를

사람들은 이를 믿지 않았다.

에라토스테네스는 지구 내 장소에 따라서 막대

그림자의 길이가 다르다는 것을 밝혀내고 지구는

둥글다고 확신했으며, 비례의 법칙을 이용해서

지구의 총둘레를 어렵지 않게 계산해 냈다.

실제로 지구는 공 모양의 원형이긴 하지만.

지구의 적도부근이 지구의 극지방보다 좀 더 부풀어

있는 찌그러진 풍선모양을 하고 있다.

이는 지구가 스스로 자전하면서 적도 쪽이 극보다

더 부풀어 있다. 지구는 회전축을 중심으로 하루에

한 바퀴씩 회전 운동하는데 이때 원심력이 생기고,

원심력은 중심에서 거리가 멀수록 밀려나가려는

힘이 더 강해진다.

이 원리는 지구 타원체에도 그대로 적용되어

지구의 중심축에 있는 남극과 북극에는 원심력의

약하게 작용하고 중심에서 먼 거리에 있는 적도지방

에는 원심력을 더 크게 작용하게 된다.

이런 이유로 지구의 회전축에 가까이 있는 극지방

보다 적도 지방이 좀 더 부풀어 있는 모양이고,

이것 또한 뉴턴의 프린키피아에서 수학적으로

계산해 놓았다.

요약하면, 지구를 찌그러진 공모양의 타원체로

만드는 결정적 원인은 지구 자전으로 생기는 원심력

때문이고, 지구는 태양을 타원으로 회전하는 회전

타원체라는 사실을 뉴턴이 수학적으로 중명해 놓고,

이를 실측으로 확인한 것이다.

그렇다면 뉴턴은 이를 어떻게 수학적으로

검증해 냈을까?

지구 중심에서 극과 적도까지의 거리를 재기 위해서

지구 중심부로 들어갈 수 없으므로 뉴턴은 지구의

위도(지구 위의 위치를 나타내는 가로축)를 활용한다.

즉 위도가 0인 적도에서 위도가 5도 10도 15도

높아질수록 위도가 거리가 길게 나타난다는 사실을

밝혀낸다. 이는 곧 적도 부근이 부풀어 올라있다는

것을 증명하는 것이 된다. 지구가 완벽한 원이라면

위도 사이의 거리가 변하지 않고 똑같을 것이다.

뉴턴은 지구 중심까지 들어가지 않고 위도 사이의

길이를 이용해 지구가 타원체라는 예측을 검증한

것이다.

이를 계산식으로 나타내 보면,

지구 타원체의 편평한 정도를 나타내는 편평도

[ (적도 반지름-극 반지름)/적도 반지름)]를 측정

하면 0.0033km로 측정된다.

즉 이 식은 지구 중심에서 적도까지의 반지름이

6,378km이고 극까지의 반지름은 6,357km로

적도가 남극, 북극에 비해 반지름이 21km 더 부풀어

있다는 것을 말한다.

뉴턴은 '프린키피아'에서

"행성이 원을 그리며 자전하는 운동이 없으면

행성은 공 모양이 된다. 그러나 자전 운동 때문에,

적도 쪽으로 뻗어 나가려는 움직임이 생긴다."

고 기술하고 있다.

지구의 사계절

이것은 곧 자전을 하는 모든 행성은 예외 없이,

지구 타원체처럼 적도 부근이 약간

부풀어 오른 타원체라는 것을 밝혀낸 것이다.

이제 인류는 지구가 타원체로 태양 주위를

돌면서 타원운동을 한다는 사실로부터 많은 자연

현상을 이해할 수 있게 된다.

지구가 스스로 하루에 24시간 동안 한 바퀴씩

돌면서 낮과 밤이 생긴다는 사실도 이해했고,

타원체로 돌면서 봄, 여름, 가을, 겨울이 생겨난다는

것도 이해했다.

가마득한 먼 옛날 언제쯤 커다란 소행성이 지구로

날아와 지구와 대충돌하면서 지구의 중심축은

오른쪽으로 23.5도 기울기가 발생했다.

이는 달리 표현하면 지구는 태양의 공전 궤도면에서

66.5도 기울어져 자전하면서 적도 지방이 약 43km

더 타원체 모앙으로 돈다는 것이 된다.

그렇다면 지구가 지축을 중심으로 하루 24시간

한 바퀴 도는 동안 지구의 표면은 그 위치와 시간에

따라 일부는 태양을 향하고 일부는 태양으로부터

따라 멀어진다.

이것이 햇빛과 기온의 매일 변화를 일으키고

지구의 모든 식물과 생물체들의 생과 사를 결정하는

원인이 되는 것이다.

지구는 둥글지만 완벽한 구가 아니다.

그 축은 태양 주위를 도는 경로에 대해 약 23.5도

기울어져 있다. 그 결과 햇빛은 적도에는 바로 떨어

지지만 북극과 남극에는 각도를 꺾어 떨어지게 된다.

한쪽 극이 다른 쪽 극보다 태양과 더 가까이

있으면 햇볕을 더 많이 받으므로 여름이 되고, 그

반대 극은 겨울이 된다.

지구가 태양 주위를 공전할 때 지구가 기울어져

있기 때문에 지구의 한 부분은 태양빛에 더 직접적으로

노출된다.

계절의 변화는 빛의 변화가 가장 심한 극지방에서

가장 극적인 계절 변화를 일으킨다.

여름 동안, 극은 24시간 햇볕을 받고 태양은 결코

지지 않는다. 겨울에는 반대로 태양이 적혀 떠지

않는 현상이 발생하는 이유다.

일정한 햇볕을 받는 적도에서는 낮의 길이와 일 년

내내 기온의 변화가 거의 일어나지 않는다.

적도가 일 년 내내 더운 이유다.

이제 인류는 뉴턴과 그 이전 과학자들의 수고로움

으로 이 세상의 변화는 신의 의지가 아닌 스스로

그러할 자(自), 그럴 연(然), 자연자연 스스로

일으키는 현상이라는 사실을 서서히 알게 된다.

"이곳에 아이작 뉴턴이 묻혀 있으니,

하느님과 같은 정신력에 의해 그가 발견한 수학적

원리로 행성의 운행, 혜성의 경로, 바다의 조석을

처음 밝혔으며, 일찍이 어떠한 학자도 의심하지

않던 광선의 본성을 발견하였다.~~~

인류가 하느님 곁에 이토록 가까이

있었다는 것은 실로 우리의 큰 기쁨이 아니고

무엇이겠는가?"

아이작 뉴턴의 묘비명이 뉴턴의 20년 동안

저술했던 '프린키피아'가 그의 사후 200년 동안

인류에 어떤 선물을 내렸는지 밝히고 있다.

Plato Won

○ 오늘 골프 치러 간다.

골프공 날아가는 것도 뉴턴의 중력의 법칙을

따르니, 낙하지점을 잘 계산해서 타수를 줄여

보련다.^^

골프공은 포물선을 그리며 정확히 F=ma의 중력 법칙을 따라 낙하지점을 찾는다.

Plato Won 作.지구 모든 생명체는 본의아니게 만유인럭의 법칙의 관장을 받고 그 생과 사를 떠맡겨놓았다