최소공배수와 최대공약수는 왜 배울까?

분수를 쉽게 다루기 위해서 필요하다

수학에 대해서 이야기를 할 때마다 아내는 최소공배수와 최대공약수를 이야기한다. 이 둘이 수학 공부하면서 처음으로 맞닥뜨린 어려운 개념이었다면서, 제대로 이야기해 주는 사람이 없었다는 것이다. 지나고 나서 보니 필자도 이 두 개념을 배웠을 때 완벽하게 이해했다기보다는, 그냥 기계적으로 배웠던 것 같다.

최소공배수와 최대공약수는 언제 필요할까? 이 둘은 분수의 연산에서 필수적이다. 예를 들어보자. 1/3과 1/7을 더하려면 분모를 같게 만들어줘야 한다. 가능한 숫자가 여럿이나, 21이 최소공배수, 즉 가능한 모든 숫자 가운데 가장 작은 숫자이므로 7/21 + 3/21로 계산하는 것이 가장 효율적이다. 지금이야 계산기로 뚝딱뚝딱 계산할 수 있지만, 옛날 사람들은 그렇게 할 수 없었고, 이런 개념을 떠올리는 게 당연해 보인다.

최대공약수는 언제 필요할까? 분수를 간단하게 표현할 때 필요하다. 예를 들어 30/70이라는 분수가 있다고 해보자. 매번 손으로 30/70이라고 적는 것은 매우 불편하지 않겠는가? 그래서 약분이라는 것을 한다. 분자 분모에 최대공약수를 나누는 것이다. 이렇게 하면 3/7이 얻어진다.

그렇다면 최대공약수와 최소공배수를 어떻게 효과적으로 찾을 수 있을까? 작은 숫자들이야 감으로 계산할 수 있더라도, 큰 숫자들에 대해 찾으려면 소인수분해가 필요하다. 예를 들어 30은 2, 3, 5의 곱이고 70은 2, 5, 7의 곱이다. 최대공약수는 소인수분해 했을 때 공통으로 나오는 숫자인 소인수를 모두 곱해주면 되므로 10이 최대공약수가 된다. 이 두 숫자의 최소공배수는 두 숫자의 소인수들을 빠짐없이 포함하면 된다. 두 숫자에 모두 나오면 한 번만 곱한다. 그래서 이 경우 210이 최소공배수가 된다.