초콜릿 무한
[책을 읽고] 미카엘 로네, <우산 정리> (3)
무한 개에서 무한 개를 빼면
저자는 남들이 흔히 쓰는 비유를 싫어한다. 그래서 '우산'이라는 다소 무리한 비유도 등장한다. 대개의 책들은 호텔방과 손님의 비유로 설명하는 무한 개념도 저자는 초콜릿으로 설명한다.
앞서 수의 추상성에 대해 설명했다. 5 - 2 = 3은 세는 대상이 사과든 초콜릿이든 관계없이 성립한다. (물론 건강에 미치는 영향은 다르다.) 다섯 개의 초콜릿이 있는데, 이중 어느 두 개를 빼든 남는 것은 세 개다. 그런데 무한이라는 괴물이 개입하면 그렇지 않다. 어느 것을 빼느냐에 따라 답이 달라진다!
무한 개의 초콜릿이 있는데, 그중 무한 개의 초콜릿을 빼보자. 몇 개가 남을까? 0이라고? 정답이다. 그런데 정답은 그 외에도 많이 있다. 사실을 말하면, 정답은 무한 개다!
눈앞에 있는 무한 개의 초콜릿에 번호를 붙여보자. 1번과 2번 초콜릿은 그냥 두고, 나머지 초콜릿을 전부 없애면 무한 - 무한 = 2가 성립한다. 마찬가지로 어떤 숫자도 답으로 만들 수 있다. 더 복잡한 문제는 예컨대 짝수 번호의 초콜릿만 모두 없애는 경우다. 답은 무한 - 무한 = 무한이지만, 이 답의 무한은 앞의 무한과는 뭔가 다른 느낌이다. 이 부분이 칸토어의 업적이며, 대개의 수학 책이 다루는 무한은 이렇게 종류가 다른 무한에 관한 내용이다. 그러나 이 책은 종류가 다른 무한에 관해서는 다루지 않는다.
역시, 남들이 안 하는 것을 하려는 저자의 의지는 칭찬할 만하다.
영국 해안선의 길이는 무한
많이 들어본 얘기다. 그래서 저자는 영국 해안선 대신 포르투갈-스페인 국경의 길이를 사례로 든다. 한쪽은 국경의 길이가 914킬로미터라고 하는데, 다른 쪽에서는 1,292킬로미터라고 한다. 이 논의의 결론이 어디로 가는지는, 수학 교양서를 읽어본 분들이라면 다들 예상하시는 것과 같다. 프랙탈이다.
해안선의 길이가 무한한 것은 구불구불 꼬인 세세한 부부이 무한히 모였기 때문이라는 것을 안다. 그렇다면, 혹시 해안선은 선이 아니라 면일까? (249쪽)
그렇다. 결국 프랙탈의 문제는 차원의 문제다. 프랙탈 도형 중 코흐 눈송이 같은 것은 몇 차원일까 하는 호기심을 별로 불러 일으키지 않는다. 그러나 멩거스펀지라면 느낌이 다르다. (나만 그런가?)
위쪽의 코흐 눈송이는 내가 보기에는 그냥 1차원인데, 계산해보면 1.26차원이라 한다. 아래쪽의 멩거 스펀지는 정말 이거 몇 차원이지? 하는 느낌이다. 3차원에 꽤 가까운 2차원으로 보이는데, 계산해보면 2.73차원이라 한다.
마찬가지로, 영국 서쪽 해안선의 길이는 4,600km^1.25라고 한다. 즉 영국 서쪽 해안선은 1.25차원이다. 포르투갈-스페인 국경은 1.14차원이라 하니, 영국 해안선이 복잡하기는 한가 보다.
참고로, 막강한 성능을 자랑하는 인간의 폐는 2.97차원이다.
프랙털 차원 계산의 예시
소수점 차원을 어떻게 계산하는지 책에 나오는 사례를 소개한다. 정사각형의 면적을 두 배로 늘이려면, 같은 정사각형 4개가 필요하다. 정육면체의 체적을 두 배로 늘이려면, 같은 정육면체 8개가 필요하다. 규칙은 간단하다. n차원 도형에 대해 그 도형의 체적을 두 배로 늘이려면, 같은 도형 2^n개가 필요하다.
프랙털 도형이 몇 차원인지 알아보려면, 2배 면적(체적)을 달성하기 위해 같은 도형 몇 개가 필요한지 알아보면 될 일이다. 이 일에 딱 맞는 것이 시에르핀스키 삼각형(Sierpinski's Triangle)이다.
몇 개가 필요한가? 2개도 4개도 아닌, 3개다. 위 그림을 시에르핀스키 삼각형 1개로 볼 수도 있지만, 3개의 시에르핀스키 삼각형이 서로 꼭지점을 맞대고 있는 것으로 볼 수도 있다. 4개가 아닌 3개로 두 배의 면적이 나오는 이유는 보이는 대로 가운데의 큰 구멍 때문이다. 장난 같아 보일 수도 있지만, 그것이 진실이다. 위 도형에서 흰 부분은 그야말로 "오려내진" 부분이며, 시에르핀스키 삼각형의 면적에서 빠지는 부분이다.
따라서 시에르핀스키 삼각형의 차원은 log2(3)이며, 그 값은 약 1.585다.
