리언 레더먼, 크리스토퍼 힐 <대칭과 아름다운 우주>
이 책은 대칭에 관한 책이며, 우주에 대한 책이다. 하지만 천문학이나 우주물리학을 본격적으로 다루지는 않는다. 다만 자연과 우주가 어떠한 원리로 되어 있는지에 대해 고찰해 보는 책이다.
일상에서의 대칭에 대한 개념은 쉽게 이해할 수 있다. 가장 쉽게 떠올릴 수 있는 것이 데칼코마니와 같은 좌우 대칭이며, 회전에 상관없이 동일한 회전대칭도 있다. 그러나 이러한 대칭의 인식이 너무 깊이 박혀있어서인지 오히려 대칭의 본연의 의미를 깨닫기가 어려워질 수 있다.
이러한 답변 대부분은 대칭에 대한 시각적 인상이다. 그러나 답들에 추상 개념이 공통으로 들어있음이 보인다. ' 똑같음'이 이들 정의 속의 공통 요소다. '대칭'이라는 단어의 일반적인 정의를 다음 설명으로 시작할 수 있다.
[ 대칭 symmetry] 명사. 사물 간 등가를 표현하는 말.
대칭은 수학의 가장 기본적인 개념 - 등가(equivalence)- 과 밀접한 연관이 있다. 두 사물이 동일하다면, 곧 수학적으로 등가라면 그들이 같다(equal)고 말하고 보편적인 기호인 등호(=)를 사용한다. 따라서 대칭은 사물 간의 동등(equality)의 표현이다. 여기서 사물이란 서로 다른 대상(objects) 이거나, 어떤 대상의 서로 다른 부분들일 수도 있다. 또는 하나의 대상에 무언가 일을 하기 전과 후의 대상의 모습일 수도 있다.
' 물리계' 란 원자 하나와 같이 임의의 단일 입자이거나 분자, 조약돌, 사람, 행성, 우주처럼 복잡한 입자의 집합으로, 물리법칙에 따라 움직이거나 행동한다. 물리학이라는 프리즘으로 보면 본질적으로 무엇이든지 물리계이다. 물리계에 어떤 변화를 주었을 때 변화가 일어난 후에도 계가 전과 같다면, 그 계는 ' 대칭을 가진다'라고 말한다. 물리에서는 그 변화를 가리켜 대칭 연산(symmetry operation) 또는 대칭 변환 (symmetry transformation)이라고 한다. 어떤 계가 변환을 거치고 난 뒤에도 똑같은 상태로 남아 있다면 그 계는 ' 변환에 대해 불변'이라고 한다.
따라서 과학자는 대칭을 이렇게 정의한다. 대칭이란 어떠한 변환에 대하여 대상이나 계가 갖는 불변성이다. 불변성이란 계의 형태, 겉모습, 구성, 배열 등의 동일성 또는 항구성이고, 변환은 계를 일정한 상태에서 그와 동등한 다른 상태로 옮길 때 작용하는 추상적인 행위이다. 보통 주어진 계를 그와 동등한 상태로 보내기 위해 적용할 수 있는 변환의 종류는 다양하다. 무늬 없는 중국식 꽃병은 기하학적 대칭을 보여 주는 간단한 예이다. 탁자 위에 꽃병을 놓고 임의의 각만큼 ( 예를 들면 37.742 도쯤 ) 회전하면 꽃병의 모양이나 물리적 구성상의 변화는 전혀 일어나지 않는다. 꽃병의 ' 전'과 ' 후'의 사진은 같다. 꽃병은 그 중심을 관통하는 가상의 선을 중심으로 한 모든 회전에 대해 불변이며, 이 가상의 선을 대칭축이라고 한다. 이 예는 대칭에 대한 수학적 정의가 우리의 인지적, 정서적 경험과 일치하며 대칭 이 꽃병의 형태와 모양의 아름다움을 한층 부각한다는 사실을 간단히 보여 준다.
대칭은 어디에나 존재한다. 자연이 디자인한 수많은 패턴 속에서 무수히 많은 모습으로 나타난다. 대칭은 음악, 춤, 시, 건축 등 모든 형태의 예술에서 핵심 요소이며, 주요하고 결정적인 주제가 되곤 한다. 대칭은 모든 종류의 과학에 스며 있으며 화학, 생물학, 생리학, 천문학에서는 확고한 지위를 누린다. 대칭은 물질의 구조라는 내적 세계, 우주라는 바깥 세계, 수학이라는 추상 세계에 걸쳐 두루 존재한다. 자연에 대한 가장 근본적인 서술이라고 할 수 있는 물리학의 기본 법칙들은 대칭을 바탕으로 한다.
위에서 언급되어 있다시피 물리학에서의 대칭의 의미는 물리계에 어떤 변화를 주었을 때 변화가 일어난 후에도 계가 전과 같다는 것이다. 이는 공간에 대해서뿐만 아니라 시간에 대해서도, 그리고 장(field)에 대해서도 성립한다. 이러한 대칭에 의해 물리법칙은 일정하며 시간과 장소에 따라 변하지 않는다. 즉, 영구불변성을 갖는다. 이는 물리법칙이 우주 어디에서나 동일하게 적용되도록 하는 기본 원리다. 그러므로 물리학에서 대칭은 매우 중요한 의미를 갖는다.
물리학에서의 기본적인 대칭에는 다음과 같은 것들이 있다.
1. 공간 대칭 (Spatial Symmetry)
이동 대칭 (Translation Symmetry): 시스템이 공간에서 일정한 거리만큼 이동해도 그 물리적 성질이 변하지 않는 성질.
회전 대칭 (Rotational Symmetry): 시스템이 특정 축을 중심으로 회전해도 그 성질이 변하지 않는 대칭.
반사 대칭 (Reflection Symmetry): 거울을 통해 반사시켜도 시스템의 물리적 성질이 변하지 않는 대칭.
2. 시간 대칭 (Time Symmetry)
시간 이동 대칭 (Time Translation Symmetry): 시스템의 물리적 상태가 시간이 지나도 변하지 않는 성질. 즉, 시스템의 법칙이 시간의 흐름과 무관하게 일정.
시간 역전 대칭 (Time Reversal Symmetry): 시간의 방향을 역전시켜도 시스템의 물리적 법칙이 변하지 않는 성질. 이는 물리 법칙이 시간의 방향성에 의존하지 않음을 의미.
3. 내부 대칭 (Internal Symmetry)
게이지 대칭 (Gauge Symmetry): 필드 이론에서 시스템의 상태를 기술하는 필드의 위상(상태)을 변화시켜도 물리적 예측이 변하지 않는 대칭.
글로벌 대칭 (Global Symmetry): 시스템의 모든 점에서 동시에 동일한 내부 상태 변화를 적용해도 물리적 성질이 변하지 않는 대칭.
지역(로컬, 국소) 대칭 (Local Symmetry): 시스템의 한 부분에서만 내부 상태 변화를 적용해도 전체 시스템의 물리적 성질이 변하지 않는 대칭. 게이지 대칭의 한 형태로 볼 수 있음.
이러한 대칭들은 물리학의 다양한 분야에서 기본적인 원리로 작용하며, 특히 양자역학, 상대성 이론, 입자 물리학, 그리고 필드 이론에서 중요한 역할을 한다. 그러므로 대칭 원리는 자연의 근본적인 법칙을 이해하는 데 있어 핵심적인 도구로 사용된다. 그래서 이 책에서는 우주의 아름다움을 파악하기 위해 대칭이라는 개념을 가져올 수밖에 없었던 것이다.
앞서 대칭의 정의를 물리적으로 새로 내렸지만 여전히 와닿지는 않는다. 그래서 저자들은 대칭의 개념을 일상적인 것부터 시작해서 수학, 물리학의 영역까지 넓혀나가다가 우리의 추상이 닿을 수 있는 가장 완벽한 세계를 향해 나아간다. 그러한 과정이 모두 열두 개의 챕터를 통해 서술되어 있다.
참고로 저자 리언 레더먼과 크리스토퍼 힐은 둘 다 물리학자이며 특히 입자물리학에 공헌이 큰 대가들이다. 리언 레더먼의 경우에는 1988년에 중성미자 연구로 노벨물리학상을 받은 바 있다. 두 사람은 공저로 혹은 리언 레더먼 단독으로 물리학입문서들을 쓴 바 있는데 대체로는 추천하는 바다.
감사의 글
머리말
대칭이란 무엇인가
음악 속 대칭
지구는 둥글다
수학과 물리학의 대칭
에미 뇌터를 기리며
1장 타이탄의 자손
우주의 진화와 그에 대한 신화적 비유
타이탄
신들의 황혼
지구
오클로 천연 원자로
물리법칙의 안정성
2장 에너지와 시간
절대로 일어날 수 없는 일
도대체 에너지란 무엇인가
다가오는 에너지 위기
3장 에미 뇌터
대칭은 불변성을 의미한다
수학과 물리학
에미 뇌터의 삶과 시대 배경
대칭과 물리학
4장 대칭 · 공간 · 시간
시공간 연속체
사고 실험실
공간 병진
시간 병진
회전
운동 대칭
전역 물리와 국소 물리의 비교
5장 뇌터의 정리
기초 물리학의 보존 법칙들
운동량 보존
에너지 보존
각운동량 보존
6장 관성
좀처럼 인지되지 않지만 분명히 존재하는
관성, 대칭, 태양계 역사의 요약
관성을 알아차리다
대칭·관성·물리법칙의 통합
뉴턴의 운동 법칙
가속도
중력
7장 상대성
빛의 속력
움직이는 관찰자가 본 빛의 속력
상대성 원리
전복된 갈릴레오의 상대성
아인슈타인의 상대성
특수 상대성의 기이한 결과
특수 상대성의 에너지와 운동량
일반상대성이론
8장 반사
거울 나라에서 찾은 대칭
반사 대칭
반전성 대칭과 물리법칙
반전성 대칭을 폐기하다
시간 역전 대칭
시간 역전 불변성과 반물질
CPT 대칭
9장 깨어진 대칭
깨어진 대칭의 재구성
심 끝으로 선 연필
자석
자연에서 일어나는 자발적인 대칭 깨짐
우주 팽창
10장 양자역학
고전역학의 한계
빛은 입자인가 파동인가
더욱 기이해지는 양자론
불확정성원리
파동함수
속박 상태
양자론의 스핀과 궤도 각운동량
동일 입자의 대칭
교환 대칭 : 물질의 안정성과 중성자별
양자론과 특수상대성이론의 만남 : 반물질
11장 빛의 숨겨진 대칭
전하량 보존 법칙으로 인도하는 숨겨진 다리
암시된 대칭
국소 게이지 불변성 대칭
복사의 양자적 과정 : 양자전기역학
파인만 다이어그램
모든 힘들의 통합을 향해
12장 쿼크와 경입자
최후의 마트로슈카가 될 입자
20세기 중반의 원자
쿼크
입자와 힘을 기술하는 표준 모형
강력은 게이지 대칭이다
약력
힉스 장
힉스 보손을 넘어서면 초대칭일까
철학적 관점에서 본 의견
교육자를 위한 맺는말
부록
수학에서 정의하는 대칭
셔먼의 미국 수학능력시험 모의고사 문제
연속 대칭군
이상이 이 책의 목차이다. 목차에서 보다시피 상당히 많은 내용을 다루고 있으며, 대칭의 개념, 물리법칙의 기본적인 속성, 고전물리학, 현대물리학으로 나아간다. 중간에 에미 뇌터와 그의 '뇌터의 정리'가 언급되는데 이것 또한 이 책에서 얘기하고자 자하는 핵심이기도 하다.
이 책에서는 뇌터의 정리(Noether's theorem)가 매우 중요하게 다뤄진다. 사실 물리학과 공학에서 뇌터의 정리의 중요성은 절대적이기 때문에 대칭을 이야기할 때 이를 빼놓을 수는 없다.
대칭은 자연법칙에 관한 현대적이고 혁명적인 사고방식이다. 뇌터의 정리는 역학과 대칭을 긴밀하게 엮어 놓는다. 뇌터의 정리는 자연의 깊숙한 바탕에 자리 잡은 대칭의 결과로 나타난 힘과 역학에 관한 근본적인 설명이다. 그것은 확실히 지금껏 증명된 가장 중요한 수학적 정리로서 현대 물리학 발전을 이끌었기에, 어쩌면 피타고라스의 정리와 동등한 위치에 놓을 수 있다. 그것은 수학의 영역만이 아닌, 물리계 전체에 관한 의미심장한 진술이다.
뇌터의 정리란 어떤 미분가능한(즉 연속인) 한 물리계의 작용의 대칭성이 하나의 보존법칙에 대응된다는 것이다. 여기에서 물리계의 작용은 라그랑지안 함수의 시간적분 혹은 공간적분 형태로 나타나는데 이를 통해 물리학에서의 여러 보존 법칙들을 이론의 대칭성으로부터 유도해 낼 수 있게 되었다. 특히 라그랑지안 함수가 일반 역학뿐만 아니라 장을 다루는데 더 유리하기 때문에 장을 기반으로 하는 물리학 이론, 특히 일반상대성이론이나 양자역학, 핵물리학, 입자물리학에서도 중요하게 다뤄지며, 뇌터의 정리 역시 성립하게 되는 것이다.
이 책에 나온 내용은 아니지만 뇌터 보존량의 예를 참고로 들어보겠다.
출처: https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%87%8C%ED%84%B0_%EC%A0%95%EB%A6%AC
또한 보존법칙에 대해서도 참고로 들어본다.
출처: https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B3%B4%EC%A1%B4_%EB%B2%95%EC%B9%99
그러므로 이 책에 대한 이해를 위해서는 앞서 말한 대칭의 개념과 뇌터의 정리를 이해하는 것이 중요하며, 이것이 저자들이 이 책을 쓴 목적이기도 하다.
사실 저자들은 미국 고등학교 물리학 교육에 대칭의 개념과 응용을 포함시키기 위한 목적으로 이 책을 기획했다고 한다. 처음에는 개념적인 측면으로 접근했지만 현대물리학의 내용들이 추가되면서 고등학교 수준에서 다루기는 어려운 수준이 되었지만 이러한 내용들을 알려주는 것은 의미가 있을 듯하다.
물리학을 배운 사람들 (전공한 사람들 이외에) 중에도 이러한 대칭의 개념이나 뇌터의 정리를 알고 있는 경우가 많지는 않기 때문이다. 특히 현대물리학의 양대 산맥인 상대성이론 (특수/일반)과 양자역학을 제대로 배우는 경우도 많지 않고. 모든 사람들이 그것을 다 알아야 하는 것은 아니지만.
이제 이러한 개념들을 가지고 이 책을 따라가 본다. 책은 전반적으로 재밌고 흥미롭다. 리언 레드먼과 크리스토퍼 힐의 필력도 좋아 대체로 이해하기 쉽게 설명한다. 기존에 제시되던 해석과 달리 기발한 해석들도 제시한다. 물리량에 대해서도 잘 설명하고 있으며, 특히 보존되어야 하는 물리량에 대한 개념을 확실하게 잡아준다. 물론 그러한 해석이 모두 이해하기 쉽거나 받아들이기 용이한 것은 아니다. 또한 말로만 설명하는 경우가 많아 그림이라든가 좀 더 자세한 예시로 이해를 돕게 해주었으면 하는 아쉬움이 있다.
예를 들어 특수상대성 이론에서 로렌츠 변환에 대해서 직각삼각형의 피타고라스 정리를 응용한 해석을 하는데 말로만 되어 있어서 언뜻 와닿지 않을 수 있다. 그림을 그려가며 이해해 볼 수 있겠지만 그래도 그 정도의 친절은 보여줄 수 있지 않았을까 싶다. 대체로 중반부까지는 그런 것들이 많았는데 그나마 10장의 양자역학에서부터 입자물리학에서는 파인만그램이라든가, 표를 보다 상세히 보여주었다. 아무래도 본인들의 주된 분야이기 때문에 좀 더 신경을 썼을 수도 있다.
사실 물리학과나 공대에서 그런 내용들을 배워도 대체로 계산에 좀 더 주력하기 때문에 그 의미를 다른 사람에게 설명해 보라고 하면 제대로 말하기 어려운 경우가 많다. 이는 스스로 제대로 이해하지 못했기 때문이다. 물론 현대물리학이 이해하기도, 설명하기도 어려운 내용들이긴 하지만.
그들은 이 책을 쓰면서 아마 입자물리학에서의 대칭성을 얘기하고 싶어 계속 근질근질했을 것 같다. 천천히 전개되는 듯한 이야기는 막판에 휘몰아치는 듯하게 느껴지기 때문이다. 양자역학 이후 부분에서는 양자전기역학(QED), 양자색역학(QCD), 표준모델, 힉스 장 등에 대한 이야기가 나오고, 여기에서는 깨진 대칭성과 국소 게이지 불변성이 중요하게 언급된다. 입자물리학에 관심 있는 사람이라면 이 대목들이 흥미롭게 느껴질 것이다.
여기에서는 게이지 대칭과 CPT 대칭이 중요하게 다뤄진다. 게이지 대칭은 게이지 변환 (필드의 재정의)이 물리적 관측량에 영향을 주지 않는다는 의미, 즉 불변이라는 의미다. CPT 대칭은 전하(charge), 패리티 (parity), 시간 (time) 대칭의 조합으로 이루어진 대칭성인데 이는 입자와 반입자, 거울상 반전, 시간의 역전 등에 대해서도 적용되는 것이며, 모든 물리 법칙은 이 대칭성을 준수한다. 그러한 얘기들을 차근차근해나가고 있다. 특히 이 대칭성은 양자장론과 현대물리학에서 중요한 의미가 있다.
이 책의 수준을 어느 정도라고 해야 할까? 대중입문서라고 하기에는 조금 어려운 감이 있다. 아무래도 물리학 전반, 특히 현대물리학에 대한 기초지식이 있어야 할 것 같고, 수학적인 이해도 필요하다. 그래서 고등학교 이과 수준은 넘어서는 듯하고, 공대나 물리학과 학부 수준 정도라면 책의 내용을 따라갈 수 있을 것 같긴 하다. 물론 이해를 하기 위한 노력도 필요하다.
이 책에서는 수식은 많이 나오지 않는다. 독자에 따라서는 수식이 많다고 느낄 수도 있겠지만 물리학을 본격적으로 다룬 책들에 비하면 말로만 쉽게 풀어쓴 셈이다. 수식을 이해하지 못하거나 혹은 넘어간다고 해도 전체적으로 이해에 큰 무리가 있는 것은 아니지만 그래도 수식을 이해해보려고 하면 그 속에 담긴 의미들이 더 와닿을 것 같다.
물리학 법칙들에 대한 이해와 고전물리학에서부터 현대물리학까지 아우르는 흐름을 이해하고 싶다면, 특히 그 속에서 대칭이 어떻게 적용되고 또 물리량이 보존되는지 이해하고 싶은 사람에게는 이 책을 추천한다. 이 책에 관심을 가질 정도의 독자라면 그 정도의 노력은 할 것 같고, 그만큼의 가치가 있는 책이기 때문이다.
p.s. 이 책의 원서가 처음 나온 것은 2012년인데 이 때는 아직 힉스 입자가 발견되기 전이었다. 힉스 입자는 2013년에 발견되었는데 저자들도 이의 발견에 대한 기대감만 내비치고 있었다. 힉스 입자에 대한 이야기는 리언 레더먼의 다른 책인 <신의 입자>에서 자세하게 나오고 있으니 이 책을 보는 것을 추천한다.
