보이지 않는 존재의 힘, 허수와 복소수의 진실
존재하지 않은 허상의 세계에서도 질서는 있을까?
√-1=i, √-1²=-1(실수 ²≥0, i²=-1≤0 ∴ i는 허수이다)
수가 존재하지 않는 공간, 광활한 우주, 무한의 그곳에서도 질서는 존재할까?
신뢰할 수는 없었던 허수를 사랑하고 있다는 것을 깨닫게 되었다. 그 순간 루트 안에 버젓이 자리하고 있는 음수가 처음으로 신경이 쓰였다. "얘가 여기서 뭐 하고 있는 거지?" 무심하게 지나쳤던 허수가 자꾸만 시선에 걸려든다. ‘음수는 근호 안에서는 존재할 수 없다.’ 이것은 존재하는 수인 실수 세계의 규칙이다. 허수가 그 규칙의 틀 안에서 움직여야 한다는 것 자체가 인간이 부리고 있는 잘못된 욕심이 아닐까 하는 생각이 들었다. 중력과는 다른 끌어당김일까? 붙잡아서 꼭 가두고야 마는.
실수(real number)와 허수(imaginary)의 합으로 이루어진 수를 복소수라 한다. 복소수는 실수부와 허수부의 합인 z=a+bi 꼴로 나타낼 수 있다. 허수(imaginary number)는 가상의 수를 말한다. 실제 존재하지 않는 수, 복소수의 범위 중 실수가 아닌 수를 말한다. 이때, a=0인 수를 순허수라 하고 순허수를 제곱하면 음의 값이 된다. 허수는 가상의 수이므로 허수에 대응하는 특정 값은 수직선에 옮겨 담을 수 없다. 그러므로 그 수의 크기 비교란 있을 수 없다. 그렇게 감춰진, 숨겨진 순허수를 제곱하면 결괏값이 음수이다. 양과 음의 값이란 존재함을, 수직선에 옮겨낼 수 있음을 말한다. 그것들의 원래 값은 존재하지 않았다는 모순적인 관계를 엿볼 수 있다. 복소수에서 b=0일 때, 허수부가 사라지고 실수부만 존재한다. 허수와는 상대적으로 실제 존재하는 수인 실수는 수직선에 옮겼을 때 일대일 대응이 된다. 그 수는 무리수와 유리수의 혼합인 수이다. 당연히 크기 비교는 가능하고 수직선에 옮겨 나타낼 수 있다. 모든 실수는 제곱하면 그 값이 0보다 크거나 같다.
범위를 좀 더 확장시켜 복소수 전체를 살핀다. 실수와 허수로 이루어진 복소수의 규칙을 살펴본다. 실수는 존재하는 실존의 수이므로 수직선에 옮겨 대응했을 때 일대일 대응이 되고 크기 비교를 할 수 있다. 제곱해서 -1이 되는 수를 i라 하고 제곱의 값이 음수인 i를 순허수라고 한다. 복소수의 범위 안에 있지만 존재하지 않는 수인 허수는 뭘까?
허수는 앞서 언급한 거처럼 가상의 수, 실존하지 않은 수이므로 수직선에 옮겨 대응점을 찾을 수 없다. 그러므로 크기 비교를 할 수 없다. 눈으로 봐서 크기를 비교할 수 있을 거 같은 수, 예를 들어 3+2i와 3-2i는 느낌으로는 +가 -보다 큰 값이라고 가볍게 생각한다. 하지만 허수는 크기 비교를 할 수 없다. 그와 같은 복소수 범위에서도 지켜야 할 규칙이 있다.
복소수에서 지켜야 할 규칙은 만들어 둔 수학적 약속, 수학에서의 공리와 같다고 할 수 있다. 복소수에서 지켜야 할 수학적 약속은 허수는 크기는 없으나 복소수의 세상에서의 규칙으로 연산은 가능하다. 복소수 z=a+bi의 켤레 복소수는 z'=a-bi입니다. 그러므로 z×z'=a²+b²으로 정리할 수 있다. 그리고, 복소수의 덧셈과 뺄셈에서의 규칙을 정리해 보면 두 복소수를 z=a+bi, x=c+di 라 하면 z+x=(a+c)+(b+d)×i, z-x=(a-c)+(c-d)×i이다. 계산에서 보여주는 대로 복소수는 문자와 식의 계산처럼 동류항끼리의 계산과 같은 방법을 이용한다. 복소수의 덧셈과 뺄셈은 실수는 실수끼리 허수는 허수끼리 더하고 빼서 정리하면 된다. 또한, 곱셈과 나눗셈의 계산은 다항식의 전개 방식을 그대로 이용한다. 하나씩 분배 법칙을 이용해서 곱한다. 이후 덧셈, 뺄셈의 계산과 동일한 방법으로 동류항을 이용해서 마무리한다. 이때, i의 제곱이 -1이 되는 것을 잊지 말자. 예를 들면 z=1+2i, x=1+3i 일 때, z×x=(1+2i)(1+3i)=1+3i+2i-6=-5+5i가 된다. 나눗셈도 곱셈과 같이 분배 법칙을 이용하면 된다.
좀 복잡해지기는 하나 나눗셈의 계산 이전에 먼저 기억할 게 있다. i=√-1 예를 들어 다음의 곱셈식에서의 계산을 정리해 보자.
√2 ×√3=√6, √(-2) ×√3=√6i,
√2 ×√(-3)=√6i, √(-2) ×√(-3)=√2 i×√3i=-√6이 된다.
결국, 음수(-)의 부호를 가지고 나오는 것은 루트 안의 두 수가 모두 음수가 되면 가능하다.
나눗셈을 정리해 보면 √2/√3=√(2/3)=√6/3 유리화까지 정리해서 나타낸다. 다음으로 정리되는 음의 부호가 루트 안에 있을 때의 계산과정들을 자세히 보면
√(-2)/√3=(√6/3) i, √2/√(-3)=√2/√3i=-(√6i/3) , √(-2)/√(-3)=√6/3으로 정리된다.
결국 나눗셈에서 전체 음(-)의 부호를 가지고 나오는 것은 루트 안의 분모의 값은 음수, 루트 안의 분자는 양수로 나타나야만 가능하다.
정리하면 나눗셈의 계산식은 루트 안의 분모는 반드시 음수, 루트 안의 분자는 양의 값이면, 곱셈에서는 루트 안의 두 수 모두 음수가 되면 복소수 전체 값이 음수(-) 기호를 달고 나온다. 나머지 경우는 전체 부호는 바뀌지 않는다.
정리된 복소수의 부분집합인 허수를 보니 비교적 단출하다. 실수의 법칙은 영역 자체만으로도 복잡함이 지배했다면 허수는 새로움에 가려진 복잡함으로 우리를 혼란에 빠뜨린다고 생각했다. 그런데, 공리라는 질서는 복소수 전체를 단정하게 재정비했다. 그렇게 허수의 세계를 다시 돌아보게 된다. 수학에서는 확장된 수의 범위나 영역의 혼란 가운데서도 나름의 질서를 만들어 낸다는 것을 알 수 있다. 혼란스러움이 복잡함을 지배해 버리기도 한다. 보이는 것이 다가 아니다. 허수는 보이는 것이 진실이라고 믿으며 사실을 왜곡해 버리기도 하는 감정의 모순을 보여준다. 혼란스러움 그 속에서도 나름의 질서가 존재해야 한다. 이것은 수에 담겨 있는 자연의 세계나 우리가 발을 딛고 있는 삶에서도 지켜야 하는 불문율이 아닐까?
복소수의 세계에서는 존재하지 않았던 가상 허상의 수인 허수를 등장시켜 의식은 혼란스럽게, 우리의 삶은 복잡함으로 끌어들였다. 그러나 허수가 존재하는 세계에서의 약속을 지켜보면 혼란 속에서의 빛나는 질서를 확인할 수 있다. 물론, 삶의 관계 맺기처럼 새로운, 다른 대상을 등장시킬 때마다 삶은 더 복잡해진다. 두려움을 딛고 한 발 내딛는 순간 힘들고 복잡함이 시작되지만 그래도 우리는 다시 한 발 내디뎌야 한다. 허물어진 경계 이후 만든 규칙으로 다시, 질서를 찾아간다.
