선 위의 연대: 실수로 확장된 감정들
수직선에 대응/무리수의 정의, 공식
치열했던 수없이 많은 밤과 낮을 지나 현재에 집중할 수 있었다. 이후 만들어진 현재에 안도하며 걸어온 걸음을 살펴본다. 현재는 수없이 많은 과거의 찰나와 순간이 그저 자리에서 빛을 다했기에 가능했으며 지금 나의 노력과 걸음은 다시 미래를 만들어 내리라. 하루는 그렇게 창조된다. 매일 다른 호 수의 붓과 색과 캔버스로 새로운 옷을 입히고 감정이라는 강력한 허물을 덮어 씌운 다음 나의 하루로 등록된다. 그렇게 역사는 간단한 논리로 이루어진다. 매일이 뭉쳐서 뒤를 돌아 찾아낸 발걸음엔 역사가 있었고 그것이 현재에 닿았다. 다시 현재에서 한 발 옮겨 미래를 향해가는 발걸음을 응원한다.
x²=a(단, a≥0)
① a>0일 때, x=±√a ②a=0일 때, x=0
(단, 범위는 실수 전체집합으로 한다.)
실수 전체의 집합에 속하는 하나하나의 점을 대응해서 연결하면 수직선이 만들어진다. 점에서 시작해서 선으로 옮겨간 연결고리에 수직선이 있다. 먼저 시작되는 '점'에 대해 정의해 보면 위치는 존재하지만 크기는 없는 도형을 말한다. 그와 같은 점을 연결한 흔적, 자취가 바로 선이 된다. 그렇게 우리의 눈앞에 수직선이 자연스럽게 그려진다.
아주 작은 것의 힘! 을 보았다. 아주 작은 위치만을 가지고 있는 점이 모이고 모여서 크기가 정해진다.
거대하고 광활한 우주 안의 인간은 먼지만큼이나 작은 존재가 아닐까. 먼지만큼 아니 먼지보다 작은 존재인 우리가 가진 힘을 물리적으로 점이라고 가정해 보자. 크기가 전혀 존재하지 않은 점이 크기가 정해지면서 그것들이 지나간 흔적이 보인다. 삶의 기억이 기록되어 남는 거처럼. 수없이 많은, 크기가 없는 점이 지나간 자취가 선이라는 힘으로 나타난다. 수직선은 우리의 육안으로 확인할 수 있는 위치만을 갖고 크기가 없었던 '무의 세계'에서 보이기 시작하는 선으로 '유의 세계'를 만들어 냈다. 이것이야말로 변화가 아닐까? 수체계에서의 발견, 삶에서의 새로운 발견...
피타고라스여! 피타고라스가 얼마나 위대한 수학자인지. 그렇지만 결국 그도 신념 앞에 무너지는 인간이었기에 다시 한번 그를 불러본다. 우리는 수많은 점에서 영속성을 찾아내어 피타고라스 학파가 그토록 두려워했던 새로운 경이로운 순간을 맞이한다. '무리수'라는 개념을 먼저 발견한 하파 수스라는 수학자 역시 피타고라스 학파였다. 세상의 모든 것이 정수와 분수로 표현될 수 있다고 믿었던 피타고라스의 신념을 무너뜨렸다. 새로운 세계의 수인 무리수의 발견은 유리수를 발견하고 정립한 피타고라스를 중심으로 한 피타고라스 학파의 신념이 무너지는 순간이었다. 또다시 인간을 둘러싸고 있었던 프레임이 깨어지는 순간이기도 했다. 띄엄띄엄 자리, 위치를 잡고 있던 점이 크기를 가지게 된다. 띄엄띄엄 자리하고 있던 점과 점 사이를 비집고 들어가서 다른 영역의 점이 다시 자리를 잡는다. 드디어 선이 만들어지고... 그것들의 힘은 수직선이라는 새로운 방향과 크기를 넘겨준다.
지금부터 본격적으로 수직선에 대응되어 있는 대수를 참견해 보려고 한다. 수직선에 대응된 수는 자연수, 정수, 유리수로 범위가 점차 확장된다. 삶의 관계 맺기도 함께 연결된다. 수직선에 대응되는 유리수는 수직선 위의 점과 일대일 대응은 아니지만 점들이 조밀하게 연결되어 있다. 비어있는 그사이 공간에 무리수가 들어가면 수직선의 모든 점들은 완벽하게 대응하는 점을 찾을 수 있다. 지금부터 유리수를 도와 실수 범위를 보충해 주는 무리수에 대해 알아보려고 한다. 실수가 빛나는 점으로 오차 없이 가득 채워질 수 있도록.
실수는 실제 존재하는 수를 말한다. 수직선에 대응시킬 때 일대일 대응이 되어 연속적인 수이며 점들이 연결된 선으로 나타나는 수이기도 하다. 혹시 여러분이 발견한 실수의 아름다운 점이나 놀라운 부분이 있는지? 수체계는 점진적으로 확장된다. 존재하는 수 가운데에서는 실수가 가장 큰 범위이지만.
실수는 유리수와 유리수가 아닌 수 즉 무리수로 이루어져 있다. 그런데, 유리수는 a/b로 나타나는 수(단, a는 정수, b는 0이 아닌 정수)이다. 다음으로 무리수는 순환하지 않은 무한소수로 정의된다. 실수에 포함되어 있는 유리수와 무리수를 보며 세계를 이루고 있는 다양성을 가진 우리 인류의 모습이 그려진다. 역으로 인류가 속해있는 세계가 보인다.
피타고라스 학파가 발견한 그 세계는 이미 우리 곁에 있었다. 그 세계 안에 유한 소수 또는 순환소수로 나타나는 모든 수를 유리수라고 정의할 수 있다. 실수의 범위 중 순환소수 이외의 수를 무리수라고 한다. 유리수(rational number)를 다시 정리해서 세계 안에 위치를 정해주면 정수와 정수가 아닌 유리수로 나눌 수 있다.
유리수와 무리수를 모두 포함하는 개념, 수의 범위를 살피면 실수의 영역까지 확장할 수 있다. 그래서 실수는 유리수가 수직선에 조밀하게 대응되고 그 나머지 부분을 무리수가 완전히 채워 주니 일대일 대응이 된다. 피타고라스 학파가 감추고 숨기려고 했던 무리수의 발견은 과거의 공리가 깨어지는 순간이 아니라 새로운 변화의 시도이며 개혁이었다. 무리수를 발견하며 우리는 실수라는 영역으로 들어와서 수를 즐길 수 있었고 점이 힘을 키워내듯 크기가 생겨서 수직선이라는 실선을 확인할 수 있었다.
다시 한번 무리수를 정의해 보면 순환하지 않은 무한소수를 말한다. 예를 들어보면 원주율은 원주에 대한 지름의 비율을 말한다. 그 비율은 항상 일정하다. 그럼 원주율이 어떻게 표현되는지 알아보자. 파이(π)=3.141592... 원주율처럼 끝이 없는 무한소수 중에서 반복되는 규칙성이 없는 수. 자, 이제 다시 이렇게 정의한 무리수를 어떻게 수직선에 옮길 수 있을까?
x²=a(단, a≥0)
① a>0일 때, x=±√a ②a=0일 때, x=0
(단, 범위는 실수 전체집합으로 한다.)
위의 정의를 이용해 보면, 넓이가 2인 정사각형의 한 변의 길이를 구하는 과정을 확인할 수 있다. 한 변의 길이를 구할 수 있고 수직선에 무리수인 √2를 대응시켜 옮기는 것도 가능하다.
넓이가 7인 정사각형의 한 변의 길이를 구하면 √7이다. 그때 한 변의 길이인 원래의 대각선의 길이와 동일한 원의 반지름의 길이를 이용해서 수직선에 옮기면 무리수를 수직선에 대응시킬 수 있다. 변의 길이를 확인한 후 출발점에서부터 읽어준다. 출발점에서 오른쪽으로 가면 +로 왼쪽으로 가면 -로 체크해서 정리해 볼 수 있다.
정사각형의 넓이: b, 정사각형의 한 변의 길이: √b 출발점의 좌표: a,
좌표 읽기: a+√ b, a-√ b
우리들이 알고 있는 무리수 즉 순환하지 않는 무한소수는 주변에 많이 있다. 인류가 존재하는 세계 안에 먼저 발견이 된 건 유리수이지만 그 사이사이를 가득 채우고 있었던 건 무리수였다. 무리수의 영역처럼 보이는 근호 밖으로 나올 수 없는 수들은 원주율(π), sin10, cos50, tan60=√3 등으로 무리수를 그대로 표현하고 있다. 그럼 이제 무리수의 절대적 계산에 대해 생각해 볼 시간이다. 무리수의 덧셈과 뺄셈에서도 문자의 계산에서와 같이 동류항끼리의 계산이 필요하다. 무리식의 계산을 정리해 보면.
√a+ √b는 √ (a+b)와 같지 않다. √ a-√ b는 √ (a-b)와 같지 않다. √ a×√ b=√ ab , √a/√b=√(a/b)이다.
루트의 값이 같은 것들은 동류항끼리 묶어서 덧셈, 뺄셈이 가능하다. 곱셈, 나눗셈은 동류항이 아니더라도 계산이 가능하나 마지막 정리는 덧셈, 뺄셈과 마찬가지로 동류항끼리의 계산이 필요하다. 나눗셈의 계산은 마무리에 있어서 유리화까지 정리해 준다.
무리수는 정의처럼 자유분방한 소수이다. 실수의 연대 안에는 수없이 많은 유리수와 유리수가 있다. 그런데, 놀라운 건 무한개라 얘기하는 유리수는 무리수에 비하면 그 개수가 미세한 먼지만큼이라 할 수 있다. 그 균형되지 못한 수의 비로 이루어진 유리수와 무리수, 그럼에도 수의 약속에서 정리한 틀을 지키며 실수의 세상 안에 머물러 있다. 무리수의 덧셈과 뺄셈의 계산은 앞서 정리한 것과 같이 실수 세상에서의 계산과 같은 방법으로 하면 된다. 매일 변하는 새로움이 넘치는 세상에서 끊임없이 변화를 추구하는 것도 중요하지만 명분이나 기본을 지켜 나감이 무엇보다 필요하다. 수직선 위의 점과 같이 한 사람 한 사람의 미세한 힘이 크고 작게 연대를 이루어 큰 힘으로 나타난다. 위치만 가지고 있었던 점에 크기가 생기는 순간이다. 가족에서 시작되어 세계까지 가지를 뻗었고 깊은 뿌리 못지않게 여러 곳으로 뿌리를 강하고 단단하게 한다. 단단할수록 그 힘은 더욱 크게 다가온다.
위치만 가지고 크기가 없었던 '점'이 점점이 되어 곳곳에서 연대를 이루며 큰 힘으로 나타난 수직선의 실수처럼.
