절대적인 약속: 유리수의 눈으로 본 세계
유리수의 정의, 절대적인 약속
유리수(rational number) 범위까지 수를 확장해 본다면 정수, 자연수의 개념을 다시 짚어봐야 한다. 정수와 분수를 포괄적으로 나타낸 수의 범위가 유리수이다.
유리수는 a/b인 수이다.(단, b=0이 아닌 수, a와 b는 정수 )
1, 앞서 <거리를 이해하는 마음: 정수에서 배우는 균형>에서 언급한 '닫혀있다'라는 개념에 대해 생각해 본다. 유리수 전체 집합에 대하여 닫혀있는 연산은 무엇일까? '닫혀 있다'라는 개념은 어떤 집합 전체에서의 자유로운 연산을 말한다. 유리수 전체 범위에서 어떤 연산을 했을 때 유리수의 범위를 벗어나지 않아야 한다. 유리수 전체집합에서 자유로운 연산은 덧셈, 곱셈, 뺄셈, 나눗셈(단, 0이 아닌 수로 나눈다)이다. 사칙연산에 대하여 닫혀 있기 때문에 계산 과정에서의 절대적인 약속도 그만큼 중요하다.
우리가 속해있는 세계에서 지켜야 할 절대적인 약속은 무엇일까? 법, 도덕, 규범... 인간이 속해 있는 세상, 그 틀의 범위를 최소의 단위인 가정에서 학교나 직장 또는 공동체로 넓혀나간다. 이후 '각 나라' 그리고 지구로, 거기서 더 확장하여 우주로 나아간다. 각각의 테두리가 그어져 있는 집단에서의 약속은 다르다. 하지만 수의 범위처럼 소집단에서 지켜야 할 약속은 범위를 확장했을 때도 그대로 적용된다. 사회나 인간이 속해있는 집단에서의 절대적인 약속은 법과 규범에 더 가깝다고 할 수 있다.
유리수의 계산을 전체적으로 요약해서 정리해 본다. 먼저 유리수의 덧셈을 정리하면 (+a)+(+b)=+(a+b), (-a)+(-b)=-(a+b), (+a)+(-b)=절댓값이 큰 수의 부호(lal-lbl) {(+a)와 (-b) 중에 절댓값이 큰 수의 부호(lal-lbl)이다}.
뺄셈은 덧셈을 정리하고 이용한다. 괄호 앞에 있는 뺄셈을 정리한 이후 덧셈에서의 절대적인 약속을 이용하면 된다. 수를 이용해서 예를 들어보면.
(+3)-(+4)=(+3)+(-4)=-(4-3)=-1
(-4)-(+2)=(-4)+(-2)=-(4+2)=-6
(+3)-(-4)=(+3)+(+4)=+(3+4)=+7
(-4)-(-2)=(-4)+(+2)=-(4-2)=-2
괄호 앞에 있는 (-) 기호는 (+)로 바꿔서 정리한 후 덧셈 공식을 따라 정리하면 된다.
유리식의 절대적 계산에서 곱셈과 나눗셈은 덧셈과 뺄셈에 비해 간단히 정리된다. 부호가 같은 두 수의 곱셈은 플러스(+)로 정리되고 부호가 다른 두 수의 곱셈은 미이너스(-)로 나타난다. 결국, 곱해지는 수의 -부호가 짝수개이면 +로 -부호가 홀수개이면 -로 정리된다.
(+a) ×(+b)=+ab, (-a) ×(-b)=+ab
(+a) ×(-b)=-ab, (-a) ×(+b)=- ab
양수와 상대적인 음수의 개념은 현대수학에 와서 받아들여지기 시작했다. 일관성과 타당성을 바탕으로 한 음수는 실생활에서 많이 쓰이지는 않지만 음수의 개념이 제대로 받아들여진 후 쓰이기 시작했다. 음수의 쓰임은 평면에서 크기와 방향을 모두 지닌 물체가 원래 가진 크기와 방향의 반대 개념에 대해 생각해 볼 수 있게 했다.
크기와 방향에서 크기의 다른 의미인 거리를 나타내는 절댓값의 개념이 참으로 중요하다. 방향이 포함되면 음의 개념이 빠질 수 없다. 음수와 양수의 개념이 의미 없이 허물어지는 거리에 대해 생각해 본다. 거리만을 비교하자면 0을 기준으로 왼쪽으로 간 5만큼의 움직임과 오른쪽으로 간 5만큼의 움직임은 방향을 제외하면 같다. 절댓값을 정의하면 수직선에서 원점과의 거리를 말한다. 두 점 a, b사이의 거리를 구할 때는 la-bl로 표현한다. 방향과는 다르게 거리에서는 음의 개념이란 게 없다. 절댓값은 결과적으로 양의 개념만을 말한다.
절대적으로 성립되는 거리, 절댓값을 포함한 유리식에서의 절대적인 규칙, 공식에 대해 생각해 본다. 수학에서의 공리인 수학적 약속은 지금은 절대적으로 쓰고 있으며 그 개념을 이용해서 파생된 다른 공식을 찾아낸다. 다시 말해서 수학적 공리 역시 항상 성립할 수밖에 없는 정의에 대한 증명과 동시에 성립하지 않을 내용을 찾아내려는 노력 또한 아끼지 않아야겠다. 헌법은 우리가 살고 있는 세계에서 질서를 위해 반드시 지켜야 할 약속이다. 도덕이 질서를 위해 지켜야 할 덕목이며 마음가짐이라면 수학에서의 공리 또한 혼란을 막고 다음 단계를 더 단단히 나아가기 위한 수학의 세상에서 질서를 위한 법이라 할 수 있다.
