거리를 이해하는 마음: 정수에서 배우는 균형
자연수와 정수의 연결고리 절댓값의 정성스러운 마음
정수(Integer)는 규정된 정해진 수를 말한다. 자연수를 확장해서 들어가면 정수가 보인다. 정수는 0, 자연수, 자연수에 (-) 마이너스 기호를 붙인 수를 총칭해서 말한다. 0에서부터 하나씩 더해 셀 수 있는 수를 자연수 또는 양의 정수(positive Integer)라 하고 자연수에 -기호를 붙여 만든 수를 음의 정수(negative Integer)라 한다. 수직선에서 0에서 출발해서 1씩 더해진 값은 1, 2, 3, 4, 5...로 표현하는데 이것을 자연수라 한다. 이 개념에서 출발하면 0에서 출발해서 오른쪽으로 1씩 옮겨지는 값은 증가의 개념이며 왼쪽으로 1씩 옮겨지는 값은 감소의 개념이다. 그것은 자연수에 -기호를 붙인 것과 같다. 그렇게 표현되는 수를 음의 정수라고 한다. 0을 기준으로 양의 정수와 음의 정수는 대칭을 이루고 있다.
자연수와 정수의 연결고리인 절댓값을 살피며
lxl=a x=+a(x>0), -a(x <0), 0(a=0)
오늘은 대수의 가장 기본인 소중한 자연수를 조금 확장해 보려고 한다. 수를 확장한다든지 연결함에도 서로 연결고리가 있어야 한다. 그래서 연결고리를 찾아 자연수와 정수를 연결해서 본다. 그 연결함에 수직선이 있다. 수직선에서 기준이 되며 출발을 알리는 좌표 '0'을 눈여겨본다.
앞서 언급한 대로 정수인 좌표 0에서 양의 방향으로 1씩 세어서 하나씩 더하면 자연수를 표현할 수 있다. 그걸 역으로 1씩 세어 하나씩 왼쪽으로 가면 자연수에 (-) 음의 기호를 붙이고 음의 정수라고 한다. 그렇다면 자연수와 정수를 연결해 주는 연결 고리는 과연 무엇일까? 여기서 우리는 절댓값을 눈여겨봐야 한다. '절댓값'이 바로 자연수와 정수를 연결해 주는 연결고리다.
그렇다면, 절댓값의 정의는 무엇일까? 절댓값을 절댓값이라고 규정하는 특별한 이유가 있을까? 절댓값은 이름에서 벌써 그 의미가 들어 있다. 절대적인 값이다. 조금 더 풀어서 정리하면 원점과의 거리를 말한다. 양의 값이든 음의 값이든 절댓값에서 중요한 건? '거리'에 있다. 원점과 얼마만큼 떨어져 있는지에 대한 거리. 왼쪽, 오른쪽 방향이 중요한 게 아니다. 그래서 절댓값은 +3이든 -3이든 절댓값을 씌워 나타내면 거리 3이 된다. 절댓값의 개념이 확실해야 정수의 덧셈과 뺄셈을 제대로 계산할 수 있다. 예를 들면 절댓값이 같은 어떤 두 수의 차가 18이라고 한다면 두 수는 9와 -9가 된다.
절댓값은 어쩐지 표면으로 드러나는 관계나 모습처럼 느껴진다. 꾸며진 것도 아니고 깊이 있는 마음이나 인정에 휘둘리기보다는 사실에 준한 있는 그대로 드러나는 값이다. 대상이나 사물을 지나치게 경계하거나 반대로 확인하지 않고 거침없이 수용한다면 그건 두 가지 모두 협력이나 관계에 있어서 좋은 방법은 아니라고 생각한다. 절댓값에서 꼿꼿함이나 중용의 모습이 보인다. 절댓값이라는 기호가 원래 수의 값에 상관없이 보호해 주고 감싸주기에 그 수들은 원점과의 거리만을 유지하고 지킬 의무를 가졌다. 또한 그 거리에서 대상을 바라본다. 절댓값은 음수와 양수의 개념을 없애고 '거리'라는 개념만을 만들어 낸다.
자연수 전체 집합은 정수 전체 집합에 포함된다. 자연수의 성질은 정수의 성질이 되기도 한다. 수의 범위가 점차적으로 확장되고 서로의 관계에 대해 다시 짚고 넘어간다. 정수와 자연수는 서로 협력적 관계일까? 반대의 관계일까?
정수 전체 집합은 덧셈과 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있다. 자연수의 집합은 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀있다. 수의 공식으로 들어가서 닫혀 있다의 개념에 대해 다시 정리해 보려고 한다. 닫혀있다는 개념도 참으로 놀랍다. 하나의 집합 안에서 연산을 했는데 그 공간에서 벗어나지 않는 대부분의 연산과 그곳을 벗어나는 일부의 연산이 인류가 존재하는 세상을 다시 열어준다. 닫혀있다는 개념만 확인하고도 자연수는 정수의 부분집합이라는 것을 알 수 있다.
양의 정수인 자연수와 정수를 연결해 주는 수직선을 들여다본다. '0'을 기준으로 대칭을 이루는 자연수와 음의 정수를 볼 수 있는데 여기에서 절댓값 정의를 적용해 볼 수 있다. '0'은 양의 정수도 음의 정수도 아닌 그저 정수의 자리를 지킬 뿐이다. 마치 중용의 마음은 '0'과 같이 자신의 자리를 지키고 주변의 기준이 되는 흔들리거나 움직이지 않는 맘을 말하는 것과 같다. 거기에는 탄탄함, 단단함이 스며있다.
수직선에서 자연수와 정수를 연결해 주는 기준으로 들어가면 절댓값이 있고 절댓값의 기준은 '0'이 된다. 그러고 보니 '0'과 절댓값은 공통적으로 기준이 되기도 하고, 기준이 있기도 하며 흔들림 없이 자신의 위치와 자리를 가지고 있다. 인류에 속한 사람에게는 나이를 먹을수록 우뚝 선 중용의 자세가 무엇보다 필요하다. 중용은 정성을 다하는 마음이다. 지나치거나 넘치지 않고 쉽게 흔들리지 않는다. 오늘 다시 수학의 언어는 절댓값이나 '0'을 통하여 바람이 불거나 폭우가 쏟아지며 수많은 상처가 있지만 우리에게 필요한 중용의 자세를 전한다. 다시 수학은 언어를 통하여 전한다. 삶에 스며있는 신기하고 아름다운 수의 세계를, 더불어 우리의 자세를.
'0'과 같이 어디에 속하지 않아도 우뚝 솟을 수 있도록. 중용의 첫 번째 자세는 한결같은 마음, 평정이다. 정성을 다하는 마음, 변치 않은 웃음. 이후 단단히 더 높이 더 멀리.
