자연수의 가족을 소개합니다
자연수의 구성원(소)
존재하는 세계의 자연과 우리의 삶에 무한한 관심과 사랑이 생겼다. 그 대상과 가장 가까워지는 방법은 사랑을 있는 그대로 경험하고 그 세계를 정확하게 알아가는 것이라 여겼다. 그렇게 나의 프로답지 못한 어색한 사랑고백이 시작되었다. "너의 세계, 네가 속한 세상을 사랑하게 되었어. 그 세상, 네가 속한 그 세계에 대해 잘 알고 싶어. 나에게 네가 속한 세상 전부를 알려줄 수 있을까." 떨리는 마음으로 천천히 손을 내밀었다.
자연에 존재하는 셀 수 있는 수, 자연수가 자신이 속한 세상의 가족을 소개한다.
"내 가족을 먼저 소개할게."
자연수는 자신을 그리고 자신이 속한 세상의 구성 원(소)인 가족을 소개한다.
자연수를 구성하는 원소는 1과 소수, 그리고 합성수이다. 1부터 시작해서 하나씩 더해서 얻을 수 있는 수를 자연수라 한다. 사물이나 사람, 자연 안의 헤아려 셀 수 있는 수를 ‘자연수(natural number)’라 정의한다. 자연수는 가장 자연스러운 수이다. 자연수가 소중한 까닭은 수 자체만으로도 소중하지만 인류가 시작되며 단위의 개념으로 이제 겨우 약속을 정해나가기 시작했을 때, 자연수의 발견으로 최초로 물건이나 대상을 셀 수 있게 되었다. 드디어 자연에 존재하는 수많은 물건, 대상을 셀 때 매김을 할 수 있게 되었다. 이렇게 시작된 자연수는 순서를 매길 때도 사용할 수 있다. 자연수의 정의를 마무리해서 정리했다. 그렇게 정의되는 자연수를 구성하고 있는 구성원은 무엇일까.
자연수는 대 수의 범위 중 가장 기본이며 중요한 수의 집합이다. 그래서 자연수로 이루어진 수의 집합에서는 구성 원소들 각각이 반드시 지켜야 하는 책임과 역할이 있다.
자연수를 구성하는 가족 중 첫 번째 수는 1이다. 1은 셀 수 있는 가장 작은 단위(수)이며 곱셈에 대한 항등원이다. 1은 독특하다. 약수의 개수가 1개이며 약수가 자신 뿐인 수이다.
자연수의 가족 중 두 번째 수는 소수(prime number , 素數)이다. 소수는 약수의 개수가 두 개뿐인 수이며 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수를 말한다. 가장 작은 소수는 '2'이며 2는 소수 중 유일한 짝수이다. 2를 제외한 모든 짝수는 2를 약수로 가지고 있다. 2는 짝수 중에서 가장 작으면서 소수라는 매우 특별한 특징을 가지고 있다.
자연수의 세 번째 가족을 소개하면 합성수(composite number)를 들 수 있다. 자연수중에서 다수가 합성수의 집합에 속한다. 합성수는 약수의 개수가 3개 이상인 수를 말한다. 가장 작은, 최초의 합성수는 '4'이다. 물질을 이루는 기본이 원자인 거처럼 합성수를 구성하는 기본 요소는 소수이다. 모든 합성수는 소수의 곱으로 분해를 해서 나타낼 수 있다. 합성수는 수 자체만으로도 특별함을 갖고 있지만 소수로 분해되었을 때 수의 고유한 특성과 성질을 파악하기 쉽다. 그것으로 합성수를 더 잘 이해할 수 있다.
자연수를 위의 세 가지 구성 원(소)으로 나눈 건 정말 놀라운 일이 아닐 수 없다. 유레카!! 를 외칠 만큼. 버젓이 대상이 존재하는 자연의 세상에 셀 수 있는 수 자연수를 찾아낸 것은 한줄기 빛과 같은 발견이었다. 더해서 그 가족을 성질, 성향이 각각 다른 위의 세 집합으로 나눠서 분류를 한 건 인류의 역사상 그야말로 대단한 발견이 아닐 수 없다.
자연수의 세상에 조금 더 깊이 들어가 위 세 가지 집단으로 나누는 것 외에 또 다른 집단으로 나누거나 다른 분류법이 있는지 확인해 본다.
자연수는 전체를 n으로 나누었을 때 나누어 떨어지는 수, 나머지가 1 인수, 나머지가 2 인수,… , 나머지가 (n-1) 인수로 이루어져 있다. 예를 들어 다시 설명하자면, 자연수를 설명할 때 자연수는 전체를 2로 누었을 때 나누어 떨어지는 수와 나머지가 1 인수로 구성된다. 또 자연수는 전체를 3으로 나누었을 때는 나누어 떨어지는 수, 나머지가 1 인수, 나머지가 2 인수로 구성된다. 자연수는 나누는 수가 커질수록 나머지의 범위도 확장되므로 가장 간단히 나눌 수 있는 방법은 바로 자연수 전체를 2로 나누었을 때 나타나는 나누어 떨어지는 수, 나머지가 1 인수로 나누는 방법이다. 이것은 짝수와 홀수를 나누는 기준이 되기도 한다.
자연수가 수를 구성하는 범위에서 기본이 되는 이유는 처음으로 수를 세는 단위가 자연수였기 때문이다. 물론 그 이전에도 수는 존재하고 있었다. 단지 사물이나 사람을 셀 수 있는 단위가 특별히 없었던 거다. 자연수에서 셀 수 있는 수의 가장 기본이며 작은 단위는 '1'이다. 따라서 자연수의 구성원 중에서 ‘1’은 가장 기본이며 중요한 개념이라 할 수 있다. 자연수의 구성원은 모두가 소중하다. 그 구성원 중에서도 ‘1’은 최초, 시작이라 의미를 담고 있다.
소수(prime number)의 ex) 2, 3, 5, 7, 11…
합성수(composite number)의 ex) 4, 6, 8, 9, 10…
소인수 분해 ex) 6=2 ×3, 24=2 ³×3
자연수의 가족 구성원 1과 소수, 합성수의 관계를 살펴본다. 그들 사이에서 새롭게 보이는 관계가 있다. 그들 간의 아름다운 관계에 대하여. 그들은 자연수의 세상에서 가족이다. 서로가 없으면 존재할 수 없음을, 또 존재하지 않음을 알 수 있다. 자연수를 이루는 가족 구성원들은 서로 도움이 되기도 하고 도움을 받기도 한다. 내가 사는 세상처럼. 우리가 살아가는 모습과 완전히 겹치지 않는가. 우리 인류의 모습과 수를 하나씩 대응해 보면 함수가 된다. 그래서 우리 인간의 삶은 수의 세계로 바로 엮어낼 수 있을 만큼 철학적이라 할 수 있다.
이만하면 자연수가 속한 세상에서의 그들 구성원들을 충분히 이해하게 되었으리라. 각각의 성향, 성질, 성품까지. 자연에 존재하는 수에 대해, 더해서 삶과 연계해서 그 관계까지. 수의 영역을 점차 확장해 가며 인류와 나의 삶을 이해해 보는 시간을 갖는다.
자연수는 자신의 가족에 대해 이렇게 마무리하는 것이 불편했는지 자신에 대해 좀 더 구체적으로 정리해서 소개한다. 그래서 대 수 편에서 가장 기본이 되는 자연수를 좀 더 알아보기로 했다.
자연수 전체의 집합은 덧셈과 곱셈에 관하여 닫혀 있다. 닫혀 있다는 개념은 자연수라는 집합 안에서의 자유로운 연산을 말한다. 자연수의 집합 안에서는 특정 연산을 했을 때 자연수의 범위를 절대적으로 지켜야 한다. 그 연산의 결과가 자연수의 범위 안에 있어야 한다. 덧셈과 곱셈, 두 연산은 자연수 집합에서는 자유로운 연산이다. 자연수로만 더하거나 곱하면 결괏값이 자연수를 벗어나지 않는다. 자연수는 대 수 편에서 가장 기본이기에 더 중요하다고 할 수 있다. 그래서 자연수를 이루는 구성원 각각도 매우 중요하다. 1과 소수, 합성수와의 관계에 대하여. 1은 소수와 합성수의 약수이며 그것을 이루는 가장 작은 단위이다. 소수는 합성수를 이루고 있으며 바꿔 말하면 합성수는 소수들의 곱, 거듭제곱으로 나타낸다.
정리하면 다음 관계가 성립한다.
{1}⊂{xㅣx는 2의 약수}⊂{yㅣy는 4의 약수}
1과 소수와 합성수 각각을 이루는 원소는 서로 포함 관계가 없다. 교집합이 공집합이다. 그런데 원소의 약수들 사이에는 위의 포함 관계 식이 성립한다. 인간이 사는 모순적 세상을 단출하게 정리할 수 있는 수의 세상이 대단하게 느껴진다. 수와 수가 녹아있는 학문 수학은 기독교에서 말하는 종교의 세상, 또 삶, 일상에서 읊게 되는 자연을 가장 이상적으로 닮았다고 말할 수 있다. 그래서 삶을 제대로 살아간다는 건 수(학)를 제대로 이해하는 것과 매우 흡사하다. 인류가 시작되며 세상, 자연에 던져진 수를 제대로 이해하며 우리의 삶이 조금 더 풍요로워지기를 기대해 본다.
