5. [수학 일반] 시각화
눈으로 보는 것처럼 상상하며 생각을 조작한다
6 연발 권총에 2개의 총알을 연속으로 넣는다. 그리고 총알의 위치를 알 수 없도록 총열을 돌렸다. 총구를 머리에 대고 방아쇠를 당겼다. 다행히 죽지 않았다. 이제 또 한 번의 방아쇠를 당겨야 한다. 다시 방아쇠를 당기는 방법으로는 2가지 방법이 있다. 총열을 또 한 번 마구 돌려서 총알을 다시 섞고 방아쇠를 당길 수도 있고, 총열을 다시 돌리지 않고 그냥 연속으로 방아쇠를 당길 수도 있다.
문제의 상황은 ‘러시안룰렛’을 하고 있는 거라고 생각할 수 있습니다. 둘이서 마주 앉아 서로 자신의 총에 총알을 2개씩 넣고 섞어서 자신의 머리에 대고 방아쇠를 당기는 겁니다. 한 사람이 죽을 때까지 게임처럼 진행하는 거죠. 영화 속에서나 있을 수 있는 상황입니다. 이 상황에서 연속으로 2번 방아쇠를 당기는 것과 한번 방아쇠를 당긴 후에 다시 총열을 어지럽게 돌린 후에 방아쇠를 당기는 것 중 어떤 것이 유리할까요? 어떻게 했을 때, 내가 살아남을 가능성이 높아질까요?
생각해보면 6 연발 권총에 2개의 총알을 넣었기 때문에, 처음 방아쇠를 당길 때 내가 죽을 확률은 1/3입니다. 처음 방아쇠를 당겨서 죽지 않은 후에 다시 방아쇠를 당길 때 총열을 다시 돌리고 방아쇠를 당기면 이때도 내가 죽을 확률은 1/3이죠. 그러니까, 문제의 포인트는 두 번째 방아쇠를 당길 때 총열을 다시 돌리지 않고 연속으로 방아쇠를 당겼을 때 내가 죽을 확률이 1/3보다 높은가? 낮은가?을 판단하는 문제인 겁니다.
문제 해결의 가장 효과적인 방법 중 하나가 시각화입니다. 문제 해결을 위해서는 문제의 상황을 시각적으로 눈으로 보는 겁니다. 구체적으로 6 연발 권총을 머릿속으로 떠올려 볼까요?
지금 보이는 6 연발 권총에 2개의 총알을 연속으로 넣는다면 다음과 같이 생각할 수 있습니다.
색깔이 칠해진 부분에 2개의 총알이 연속으로 들어간 겁니다. 처음 방아쇠를 당겼을 때, 내가 죽지 않은 것은 총의 해머가 A, B, C, D 중 하나를 친 것입니다. 연속으로 총을 쏠 때, 총알이 들어있는 총열이 반시계 방향으로 돈다고 가정해볼까요? 그럴 경우 첫발이 발사되지 않은 후 두 번째 방아쇠를 당겼을 때 총알이 발사되는 경우는, 처음 방아쇠를 당겼을 때, 해머가 A, B, C, D 중 A를 쳤을 경우입니다. B, C, D을 쳤다면, 반시계 방향으로 총열이 돌면 연속으로 방아쇠를 당겨도 총알은 나가지 않습니다. 즉, 확률이 1/4인 겁니다.
다시 말하면 첫발에서 내가 죽지 않고 살아남아서 연속으로 방아쇠를 당겼을 때 내가 죽을 확률은 1/4인 겁니다. 이것은 다시 총열을 돌렸을 때 내가 죽을 확률인 1/3보다 더 낮은 거죠. 따라서, 러시안룰렛을 하는 사람은 6 연발 권총에 2개의 총알을 연속으로 넣었다면 두 번째 방아쇠를 당길 때에는 다시 탄창을 돌리지 말고 연속으로 방아쇠를 당기는 것이 유리하다는 결론을 얻을 수 있습니다.
그림으로 생각한다
수학을 잘하는 하나의 방법은 수식을 한 번씩 그림으로 인식해보는 겁니다. 숫자를 그림으로 인식하며 어떤 패턴을 찾는 것은 매우 효과적인 생각의 방법입니다. 다음 계산을 한번 해보실까요?
이 문제를 풀기 위해 통분을 하는 사람도 있고, 하나하나 순차적으로 빨리 계산하는 사람도 있습니다. 그런데, 이 문제는 그냥 눈으로 조금 봐보세요. 눈으로 보면서 다음과 같이 3개의 선을 긋는 것만으로도 답이 3이란 것을 알 수 있습니다.
단계 단계 숫자를 쓰고 넘어가는 것만이 계산은 아닐 겁니다. 이렇게 단지 선을 긋는 것만으로도 계산이 되는 겁니다. 이 과정에 능숙한 사람들은 눈으로만 보고도 답을 계산하곤 하는 겁니다. 조금 어려운 문제인데, 다음 문제도 한번 풀어볼까요?
수학적인 지식이 있는 사람이라면, 지수 로그와 같은 것을 이용하여 이 문제에 접근할 것입니다. 하지만, 수학적인 지식을 생각하지 말고 일단 이 문제를 그냥 눈으로만 한번 볼까요? 숫자를 단순한 그림처럼 생각하며 보세요.
숫자를 그림처럼 관찰하며 답을 찾은 겁니다. 수식을 계산하지 않았기 때문에, 익숙하지 않은 사람에게는 매우 찝찝한 기분이 들 수도 있을 거 같습니다. 하지만, 이것은 올바른 풀이 방법입니다.
박종하
mathian@daum.net
