10. [대수학] 피보나치수열
피보나치수열로 만들어지는 재미있는 마술
왼쪽의 사각형을 선을 따라 잘라선 A, B, C, D를 다르게 배열하여 오른쪽의 사각형을 얻었습니다. 그런데, 왼쪽의 사각형은 가로 8칸, 세로 8칸으로 총 64칸이고, 오른쪽의 사각형은 가로 5칸, 세로 13칸 총 65칸입니다.
이것은 분명 우리의 시각적인 약점을 이용한 것일 겁니다. 일단 문제의 상황을 다음과 같이 생각해볼까요?
왼쪽의 사각형을 잘라서 오른쪽과 같이 된다면 두 사각형의 면적이 같아야 합니다. 따라서 x, y는 다음을 만족시켜야 합니다.
황금비는 정오각형의 한 변과 대각선 사이의 비에서 찾아볼 수 있는데, 두 선분의 길이의 비가 황금과 같이 아름답고 변하지 않는 비율이란 뜻에서 붙여진 이름입니다. 다음 그림에서 노란색 선분과 초록색 선분의 길이의 비가 황금비입니다.
황금비는 보통 소수점 세 번째 자리까지 나타내서 1.618로 간단히 표현하기도 합니다. 그런데, 여기서 재미있는 것은 피보나치수열에서 앞뒤 수의 비율이 황금비에 가깝다는 점입니다. 그래서, 우리의 문제에서 왼쪽의 사각형은 가로 8칸, 세로 8칸으로 총 64칸이고, 오른쪽의 사각형은 가로 5칸, 세로 13칸 총 65칸이라고 한 것이 눈으로 보기에 같아 보이는 이유가 5, 8, 13이 피보나치수열을 이루기 때문입니다.
약간 자세히 살펴보겠습니다. 피보나치 수열이란 앞의 두 항을 더해서 새로운 항을 만드는 수열입니다. 처음에는 1, 1로 시작하여 1+1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8……과 같이 만드는 것이죠.
피보나치수열: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ….
피보나치수열의 n번째 숫자와 그다음 숫자의 비를 구해보면 n이 커질수록 황금비에 가까워지는 것을 볼 수 있습니다.
1/1 = 1
2/1 = 2
3/2 = 1.5
5/3 = 1.6666…
8/5 = 1.6
13/8 = 1.625
21/13 =1.6153846…
34/21 = 1.619047…
55/34 = 1.617647…
89/55 = 1.6181818…
앞에서 이야기한 것처럼 피보나치수열의 비율은 황금비로 수렴합니다. 따라서, 앞에서 제시한 것과 같은 문제에서는 x와 y의 자리에 피보나치수열의 숫자를 넣으면 우리가 원하는 눈 속임의 트릭을 기대할 수 있는 겁니다. 구체적으로 피보나치수열을 이용하여 사각형이 사라지는 몇 가지 사례를 만들면 다음과 같습니다.
왼쪽의 사각형은 가로 5칸 세로 5칸으로 총 25칸입니다. 이것을 그림과 같이 잘라서 오른쪽과 같이 붙였습니다. 그런데, 오른쪽은 가로 8칸 세로 3칸으로 총 24칸의 사각형이 되었습니다. 1칸이 사라진 것입니다. 피보나치수열의 마술인 겁니다.
왼쪽의 사각형은 가로 8칸 세로 8칸으로 총 64칸입니다. 이것을 그림과 같이 잘라서 오른쪽과 같이 붙였습니다. 그런데, 오른쪽은 가로 13칸 세로 5칸으로 총 65칸의 사각형이 되었죠. 1칸이 더 생겨났습니다.
위의 사각형은 가로 13칸 세로 13칸으로 총 169칸입니다. 이것을 그림과 같이 잘라서 아래와 같이 붙였습니다. 그런데, 아래의 사각형은 가로 21칸 세로 8칸으로 총 168칸의 사각형이 되었습니다. 1칸이 사라진 것입니다.
혹시 이런 퀴즈를 보신 적이 있으세요?
이 퍼즐을 처음 접하는 사람이 아래 그림의 사라진 사각형이 어디로 어떻게 사라졌는지, 이 마술과 같은 퍼즐의 트릭은 어디에 있는지를 찾아내는 것은 쉬운 일이 아닙니다. 그래서 호기심이 강하면서 이 퍼즐을 처음 접하는 사람들은 종종 심한 괴로움에 빠집니다. 자신들의 머리를 쥐어뜯으면서 말이죠.
이 삼각형은 커리의 삼각형(Curry Triangle)이라고 불리며 이런 패러독스를 커리의 패러독스(Curry’s paradox)라고 합니다. 이 퍼즐의 눈속임은 우리가 보고 있는 위아래의 큰 삼각형들이 실제로는 삼각형이 아니라는 것에 있습니다. 구체적으로 빨간색과 노란색의 삼각형의 기울기를 한번 측정해보세요. 기울기를 측정해보면 큰 삼각형의 빗변이 직선이 아님을 알 수 있습니다.
A에서 B까지는 직선이 아닙니다. 3/8과 2/5는 다르니까요. 이 눈속임의 마술도 피보나치 수열을 사용하고 있는 것을 볼 수 있습니다.
박종하
mathian@daum.net
