9. [대수학] 분수의 나눗셈
분수를 나눌 때에는 왜 역수를 곱할까?
일본에서 화제가 되었던 초등학교 5학년 수학 문제입니다. 일본의 유명 대기업에서 이 문제를 풀게 했는데, 정답률이 60% 정도였다고 합니다. 이 간단한 문제를 일본의 성인 40%가 풀지 못했다는 거죠.
사칙연산에서는 곱하기와 나누기를 더하기와 빼기보다 먼저 계산합니다. 따라서 위의 답은 1입니다. 어쩌면 우리에게는 아주 쉬운 문제입니다. 그런데, 질문을 한번 더 해볼까요? 왜 분수의 나눗셈은 역수를 곱하는 것입니까?
사실 누가 저에게 “분수로 나눌 때에는 왜 역수를 곱하는가?”라고 물었던 적이 있었습니다. 저는 대답을 못했습니다. 왜 그런지 명쾌하게 설명할 수 있는 아이디어가 떠오르지 않았기 때문이었습니다. 그래서, 집에 와서 아내와 이것에 대해서 이야기를 했었다. 우리가 이해한 방법은 이렇습니다.
나눗셈의 의미
나눈다는 것의 의미는 다음 2가지로 생각할 수 있습니다. 첫 번째는 나누는 개수로 똑같이 묶었을 때 하나의 크기가 얼마냐는 것이고, 두 번째는 나누는 크기로 똑 같이 묶었을 때 몇 개가 될 것인가 하는 것입니다. 가령, 12 ÷ 3을 생각해보면, 12개를 3개의 등분으로 나누었을 때 각 등분의 크기가 얼마냐는 것이 첫 번째 이해인 겁니다. 두 번째 이해는 12를 3개씩 묶어서 등분하면 몇 개의 묶음이 나오느냐는 것입니다. 이것을 그림으로 이해하면 이렇게 생각할 수 있습니다.
나눈다는 첫 번째 의미를 ‘1 ÷ 3’에 적용해보면, “1을 3 등분하면 그중 하나의 크기가 얼마냐?”는 질문이 됩니다. 1을 3 등분하면 각 등분은 1/3의 크기를 갖습니다. 그래서 1 ÷ 3 = 1/3입니다.
형식적인 접근
같은 수로 같은 수를 나누는 것은 1이 되기 때문에 이렇게 쓰는 것으로 계산할 수 있을 것 같습니다. 어떤 사람은 의미를 파악해야 직성이 풀리기 때문에 처음에 살펴본 것처럼 의미를 생각하는 것에 집중할 것입니다. 반면, 의미 파악보다는 형식논리를 더 신뢰하는 사람은 통분을 하는 형식논리를 발견했을 때, 마음이 더 편할 겁니다. 물론, 두 가지 방법으로 모두 이해하는 것이 좋은 방법이겠죠.
“분수로 나눌 때에는 왜 역수를 곱하는가?”에 대한 이야기를 하며 저는 스스로에게 질문이 되었습니다. “나는 왜 이전에 이런 생각을 하지 않았을까?” 그 이유는 간단합니다. 그런 질문을 들어보지 않았기 때문이죠. 수학을 더 풍부하게 공부하는 방법은 분수의 곱셈 나눗셈으로 된 문제를 10개 푸는 것보다 “분수로 나눌 때에는 왜 역수를 곱하는가?”와 같은 질문을 하고 다른 사람들과 같이 이야기하면서 생각을 모아 보는 것입니다. 수학은 그냥 계산하고 정해진 방식으로 많은 문제를 빨리 푸는 것을 연습하는 것이 아닙니다. 생각을 하고, 다른 사람들의 생각을 들으며 자신의 생각을 더 발전시켜나가는 것이 바로 수학 공부입니다.
박종하
mathian@daum.net
