고등학교에서 수학 성적을 올린 아이들은 누구일까? 3
고등학생을 위한 수학 공부법 4 - 실질적 고등학교 수학 학습법 2
안녕하세요? 다시 돌아온 BSM 김두용입니다. 바쁜 학교 업무로 인하여 정기적으로 업데이트를 할 수가 없는 상황이네요.(어차피 정기적으로 하려고 날짜를 정하지도 않았지만 말입니다. ㅠㅠ)
저희들은 1편에서 중학교 수학과 고등학교 수학 공부의 실질적인 차이에 대해서 알아보았습니다. 혹시 아직 안 보신 분들은 아래의 링크로 고고씽~~~
https://brunch.co.kr/@mathking/2
2편에서는 고등학교에서 수학 공부를 잘하기 위한 수학 학습법의 이론적 배경에 대해서 알아보았지요. 이것도 못 보신 분들은 아래의 링크로 고고씽~~~
https://brunch.co.kr/@mathking/4
3편에서는 고등학교에서 수학 공부를 잘하기 위한 실질적인 수학 학습법 1에 대해서 알아보았지요.
핵심을 말씀드리면 "개념 공부"가 매우 중요하다는 것이지요. 혹시 못 보신 분들은 역시 아래의 링크로~~~
https://brunch.co.kr/@mathking/6
자, 이제 본격적으로 고등학교 수학 공부법 2를 시작합니다. 기대하세요~~~
이번 시간에는 저번에 말씀드리던 개념 공부를 어떻게 하는 것이 좋은지에 대해서 상세하게 설명드리겠습니다. 다른 기술적인 것이야 나중에 말씀드려도 되지만 개념 공부를 어떻게 하느냐가 아주 중요한 부분이므로 이 부분을 반드시 짚고 넘어가는 것이 중요합니다.
자 위에 보시는 그림은 학교에서 매일 접하는 교과서의 일부를 가지고 온 것입니다.
교과서를 보시면 보통 "도입-정의-공식-기본문제-활용 문제"의 형태로 구성이 되어 있습니다. 여기서는 이 구성에 맞게 개념 공부 방법에 대해서 상세히 살펴보도록 하겠습니다.
수학은 개념과 식을 수립하는 과목입니다. 먼저 이것을 염두에 두고 접근해야지만 수학 공부를 올바르게 할 수 있습니다. 자 머릿속에 정확하게 넣어두기 위해서 한 번 따라 읽어볼까요?
"수학은 개념과 식을 수립하는 과목이다."
또한 수학은 약속의 학문임을 이해하고 공부를 해야 합니다. 약속의 학문이라는 이야기는 자신만의 해석이나 사고로 이루어지는 것이 아니라 공통적으로 약속된 기호와 방법으로 공부해야 한다는 것입니다. 이러한 기본적인 생각을 가지고 새로운 단원을 학습할 때를 가정한다면 다음과 같은 순서가 가장 기본적인 학습이겠지요?
개념 (약속&공식) → 공식 → 예제 → 실전문제
1. 개념(약속)
자, 위에 교과서 그림을 다시 한번 살펴볼까요? 함수라는 개념을 공부하기 위해 먼저 함수와 관련된 생각할 거리를 제공하고 학생이 스스로 어떠한 것이 함수일까 생각해보게 합니다. 뭐 그냥 생각해본다는 것입니다.
그 단계를 지나가면 드디어 "함수"를 정의하기 위해 먼저 정의해야 하는 단어들(교과서에 빨간색으로 표시된 단어)이 나타납니다. "대응", "정의역", "공역" 이러한 단어들을 먼저 정의하고 나야지만 "함수"라는 단어를 정의할 수 있습니다. 따라서 수학 공부에서 가장 먼저 이루어져야 하는 것이 바로 약속에 대한 확인입니다.
위의 교과서에서 살펴보면 사람들 사이에 "대응"은 두 집합 X, Y가 있다면 집합 X의 원소와 집합 Y의 원소를 짝 지어주는 것을 대응이라고 한다.라는 식으로 약속이 되어있지요. 그것을 학생들이 읽고, 느끼고, 확인하는 것을 약속 중 용어의 정의 및 설명이라고 하지요.
이렇게 "함수"를 정의하기 위해서 필요한 약속들(정의역, 공역 등) 모두 익히고 나면 드디어 "함수"라는 용어를 다음과 같이 정의합니다.
"X 집합의 원소 x와 Y 집합의 원소 y가 서로 1:1로 한 번씩만 대응할 때 f :라고 수학적 기호로 표시하고 f를 집합 X에서 집합 Y로의 함수라고 한다."
용어의 정의 및 설명에 관련된 학습이 모두 이루어졌다면 이제 그러한 용어의 정의와 관련된 수학적 표현에 대해서 살펴봐야 합니다.
예를 들어, 위에서도 보았듯이 함수의 경우
와 같은 수학적 표현에 대해서 확인하고 기억해두어야 합니다. 이 부분의 학습이 잘 이루어지지 않으면 나중에 크게 고생할 수 있으므로 용어의 정의와 설명에 대한 학습이 끝났다면 반드시 다양한 수학적 표현에 대해서 꼭 확인하고 어떠한 식으로 사용되는지 기억해두어야 합니다.
이러한 개념은 보통 교과서나 개념서의 대단원의 시작 단원 또는 정의 단원에서 쉽게 접할 수 있다는 것 잊지 마세요.
2. 개념(공식 확인)
용어에 대한 정의와 설명 그리고 수학적 표현까지 모두 익혔다면 이제는 이 용어를 활용하는 공식에 대해서 학습해야 합니다. 이 부분이 직접적으로 문항 풀이에 사용되는 부분이므로 명확한 이해와 암기가 필요합니다. 특히 기본문제의 경우 대부분 이때 배운 공식을 이용하는 문제이므로 공식에 대한 학습이 제대로 이루어지지 않았다면 기본문제부터 풀지 못할 가능성이 높습니다.
공식뿐만 아니라 법칙, 성질, 정리 등이 주어질 때도 많습니다. 어찌 되었던 교과서에 공식, 법칙, 성질, 정리로 주어진 모든 부분은 반드시, 꼭, 암기해야 합니다.
실전문제 풀이에서 복합 문항이나 변형 문항의 풀이에 이때 확인한 정의의 수학적 표현이 크게 도움이 될 때가 있기 때문입니다. 특히 수능 형태의 고난도 문항의 경우 기본으로 돌아가서 고민하고 생각해봐야 하는 경우가 있기 때문에 이 과정이 매우 중요합니다. 조금 복잡한 공식 같은 경우 교과서에는 공식으로 나오지는 않지만 예제의 형태로 나오는 경우도 많습니다. 따라서 처음 학습할 때는 아니더라도 2회, 3회 학습할 때에는 이러한 부분도 공식으로 확인하여 정리하면 심화학습에 도움이 될 것입니다.
3. 개념(공식 증명)
공식, 법칙, 성질, 정리를 확인하고 암기하는 것으로만 끝난다면 제대로 된 학습이 이루어진 것이 아님을 기억해야 합니다. 1편에서도 보았듯이 망각 기억 곡선에 의하면 암기한 것은 잊어버리기 쉽습니다. 따라서 공식에 대한 이해와 암기가 이루어진 이후에 그 공식의 용도를 이해하는 것이 중요합니다. 이해가 이루어졌다면 공식을 증명하는 과정도 반드시 학습자가 자신의 손으로 해봐야 합니다. 그래야 지만 기억에 오래 남을 뿐만 아니라 그러한 공식의 변형이나 새로운 환경에서도 사용할 수 있기 때문입니다. 따라서 교과서에서 "이 공식의 증명은 고등학교 교육과정을 넘기 때문에 증명하지 않고 직관적으로 확인하여 사용한다."라는 서술이 있지 않은 이상 반드시 증명의 과정을 즐기기 바랍니다. 이러한 연습은 수능시험에 도움이 되는 것은 물론이며 수리논술 문제를 풀이할 때, 그리고 논리적 풀이과정을 적는 방법을 익히는 데에 큰 도움이 됩니다.
처음에는 공식, 법칙, 성질, 정리 등을 증명하는 데 시간이 많이 걸리겠지만 내용을 학습할 때 증명하는 연습을 꾸준히 한다면 반드시 학습능력의 향상을 가지고 올 것이라고 확신합니다. 혹시 증명과정이 힘들거나 어려울 때에는 증명의 핵심에 관련된 이해만으로도 큰 도움이 되므로 포기하지 말고 적극적으로 시도해보시기를 권합니다.
4. 기본문제 풀이 및 확장
자, 이제 교과서(또는 개념서)의 용어에 대한 이해와 공식에 대한 이해가 끝이 났다면 교과서(또는 개념서)에 있는 기본문제를 풀이할 시간입니다. 기본문제는 일반적으로 방금 학습한 내용을 그냥 적용하면 해결할 수 있는 문제를 시작으로 방금 학습한 내용과 연관된 것을 확인하고 적용해야지만 해결할 수 있는 문제, 방금 학습한 내용을 변형해서 적용해야지만 해결할 수 있는 문제, 그리고 이전에 학습한 내용과 방금 학습한 내용을 복합적으로 적용해야지만 해결되는 문제들로 나눌 수 있습니다.
첫 번째 경우를 기본 문제, 두 번째 경우를 연관 사고 문제, 세 번째 경우를 변형 문제, 네 번째 경우를 복합 문제라고 부르도록 하겠습니다.
첫 번째 기본 문제의 경우 내용을 정확하게 숙지하였다면 100% 풀이가 가능한 문제입니다. 단순히 내용이나 공식을 알고 있느냐를 묻는 문제이지요.
두 번째 연관 사고 문제의 경우 문장형 문제와 같이 문제에서 묻는 것을 해결하기 위해서는 지금 학습한 것을 적용해야지만 해결할 수 있다는 것을 학생이 스스로 파악해야지만 해결되는 문제입니다. 이러한 문제의 경우 학생의 국어능력에 크게 좌우될 수 있습니다. 나중에 다시 말씀드리겠지만 단기가 집중학습으로 수학 점수를 올리는 학생들의 대부분이 원래 국어 점수는 잘 나왔지만 수학 점수가 낮았던 학생들입니다. 국어적 능력(언어에 대한 해석 능력)을 가지고 있는 학생들은 수학 점수를 향상할 수 있는 가능성이 높습니다.
셋째 변형 문제의 경우 우리가 학습한 기본 공식으로는 문제를 해결할 수 없는 문제입니다. 이러한 문제를 풀이할 때에는 기본 공식을 확장시킬 수 있는 능력이 필요합니다. 이러한 과정에서 반드시 원리와 기본에 대한 깊은 이해가 필요합니다. 새로운 공식을 만들어서 암기한다고 해결되는 것은 아님을 기억해야 합니다. 이러한 문제는 기본에 충실하여 다양한 방법으로 문제를 해결하기 위해 시도해보아야지만 올바른 해결이 가능합니다.
넷째 복합 문제의 경우 지금 배운 내용뿐만 아니라 이전에 배운 내용을 정확하게 기억하고 있어야만 풀이가 되는 문제입니다. 예를 들면 도형을 주고 삼각함수의 극한 문제가 출제되었다면 거의 대부분 중학교에서 배운 도형의 성질을 이용합니다. 따라서 중학교 수학 시간에 도형의 성질에 대해서 정확하게 학습하지 않았던 학생의 경우 삼각함수의 극한을 구할 수 있다고 하더라도 이러한 문제를 풀이하지 못할 가능성이 높습니다. 따라서 꾸준히 기본 학습에 시간을 투자하고 노력하여야 할 뿐만 아니라 복합 문항을 다양하게 접해보는 노력을 기울일 필요가 있습니다. 수학능력시험의 21번 30번 문항이 가장 대표적인 복합 문제입니다. 어떤 연도에 출제된 30번 문항의 경우 고등학교 교육과정에 나온 학습목표 12가지를 이용해야지만 해결할 수 있었습니다. 따라서 기본에 충실한 후 그러한 기본들을 다양한 방법으로 복합적으로 사용하는 연습이 필요합니다.
5. 실전문제 풀이
자, 드디어 마지막 단계입니다. 기본문제 풀이까지 끝이 났다면 이제 마지막으로 실전문제 풀이의 시간입니다. 여기서 말하는 실전문제란 내신 실전문제 또는 모의고사 실전문제를 의미합니다. 실전문제 풀이에서 다른 부분들은 기본문제 풀이 방식과 유사하므로 설명을 생략합니다. 실전문제 풀이에서 가장 중요하게 연습해야 할 부분이 바로 시간 내 문제 풀이 연습입니다. 내신시험이나 모의고사의 경우 주어진 문제를 주어진 시간 내에 해결해야 합니다. 수학적 능력이 뛰어난 학생들 중에서 제한된 시간에 주어진 문제를 풀이하는 시험에서는 점수를 잘 받지 못하는 경우가 간혹 있습니다. 이러한 경우는 대부분 시험에서 시간 배분을 잘하지 못해 생기는 문제입니다. 따라서 실전문제 풀이에서는 주어진 시간 내에서 시간을 적절히 배분하여 주어진 문제를 최대한 풀이해 내는 연습이 꼭 필요합니다.
위에서 말씀드린 다섯 가지 단계를 거치며 학습이 이루어진다면 개념학습이 끝난 것입니다. 물론 개념학습이라고 말씀드렸지만 기본문제 풀이 및 실전문제 풀이까지 포함한 상태이므로 1차적인 수학 학습이 끝이 났다고 보입니다. 앞에서 말씀드렸던 것처럼 이 과정에서 4단계와 5단계를 반복 학습한다면 점차 틀리는 문제를 줄이게 될 것이고 그래도 이해되지 않는 부분이 있다면 다시 처음 단계로 돌아가 약속의 부분부터 다시 공부하면 됩니다. 이렇게 확신을 가지고 수학 공부를 한다면 반드시 수학 성적으로 향상할 수 있다고 약속드립니다.
고등학생의 경우 이러한 단계를 반복하며 자신의 것으로 만들었다면 수학 모의고사에서 90점 내외의 점수를 받을 수 있을 것입니다.
마지막으로 위의 단계로 요약해서 정리해보겠습니다.
1. 약속 - 용어의 정의 및 설명
2. 약속 - 용어의 정의의 수학적 표현
3. 약속과 관계된 공식, 법칙, 성질, 정리 확인
4. 확인된 공식, 법칙, 성질, 정리의 용도를 이해하고 증명하기
5. 기본문제 풀이 - 약속의 기본 문제, 공식의 기본 문제
6. 기본문제 확장 - 연관 사고 문제, 변형 문제, 복합 문제
7. 실전문제(내신, 모의고사) 풀이 - 연관 사고 문항, 변형 문항, 복합 문항 풀이 연습, 시간 내 문제 풀이 연습
이상 고등학교 수학 공부법 4탄 실질적인 개념학습방법에 대해서 설명드렸습니다.
다음에는 모의고사 대비법, 수학 노트 및 과제에 대한 의미 등에 대해서 다루어볼까 합니다.
그럼 이상 BSM 김두용이었습니다. 오늘도 좋은 하루 보내세요.
