4-2-3. 소수의 덧셈과 뺄셈
덧셈과 뺄셈 연산의 소수 개념으로의 확장
소수 두 자리 수와 소수 세 자리 수 알아보기
소수 사이의 관계 알아보기
소수의 크기 비교하기
소수의 덧셈과 뺄셈 계산 익히기
소수의 계산을 이용하여 문제 해결하기
이제 이러한 소수를 활용하여 덧셈과 뺄셈을 해 보기 전 소수를 조금 더 넓게 활용해보려고 합니다. 우리는 이제 1보다 작은 수 중 1/10을 조금 다르게 표현한 것이 0.1이라는 것을 충분히 이해했습니다. 그렇다면 자연스럽게 1/10보다 작은 수는 어떻게 표현해야 할 지에 대해서도 생각해볼 수 있겠지요? 앞서 자연수의 표현 방법을 더 확장시켜서 소수에도 적용했었던 것처럼, 더 작은 수에 대해서도 마찬가지입니다. 굳이 새로운 방법을 또 만드는게 아니라 같은 방법을 더 넓게 활용해보는 것입니다. 앞서 확인했던 111.1을 가지고 다시 생각해 봅시다. 소수점을 기준으로 하여 소수점 바로 왼쪽이 1의 자리 수였고, 왼쪽으로 한 칸씩 갈수록 10배씩 커지는 것은 익숙하지요? 우리가 앞서 ‘큰 수’ 단원에서 마지막으로 정리했듯이 왼쪽으로 자리수가 하나씩 늘어날수록 10배씩 커지는 규칙은 계속해서 반복되어 훨씬 큰 수도 같은 방법으로 표현할 수 있었습니다. 그러면 이제 반대 방향을 생각해 봅시다. 왼쪽으로 갈수록 자리수가 커졌다면 오른쪽으로 가면 어떻게 되나요? 계속 작아지겠지요? 얼마만큼 작아지는지는 이미 우리는 알고 있습니다. 1/10만큼이 되지요. 100의 바로 오른쪽 자리는 10이 되었고, 10의 바로 오른쪽 자리는 1, 1의 바로 오른쪽 자리는 소수점을 건너 0.1이라고 표현했습니다. 여기까지가 우리가 3학년 때 배웠던 내용입니다. 우리는 이 소수점 바로 오른쪽 자리를 ‘소수 첫째 자리’ 라고 표현했고, 0.1이라고 썼고, 1/10과 같은 크기라고 정했습니다.
그렇다면 0.1보다 더 오른쪽 자리수는 어떻게 말하고, 쓰고, 어느 정도의 크기인지 생각할 수 있겠나요? 앞서 말했듯이 새로운 규칙을 굳이 만드는 것이 아니라 원래 있던 규칙을 더 넓게 활용하는 것이 중요한 점입니다. 0.1보다 더 오른쪽으로 가면 소수점을 기준으로 봤을 때 오른쪽 두번째의 자리가 되겠지요? 그래서 이 자리는 ‘소수 둘째 자리’ 라고 표현합니다. 쓸 때는 0.01이라고 써야지 소수점 오른쪽 두 번째 자리에 정확히 표현할 수 있지요. 100을 표현할 때 그냥 1이라고 쓰는게 아니라 세 번째 자리임을 나타내기 위해 100으로 쓰는 것과 마찬가지입니다. 그렇다면 크기는 어느 정도일까요? 0.1은 바로 왼쪽 자리인 1의 1/10 크기였지요? 그렇다면 0.01은 바로 왼쪽 자리인 0.1의 어느 정도 크기겠습니까? 마찬가지로 1/10 크기가 됩니다. 1/10을 또다시 같은 크기의 10조각으로 나눈 것 중 하나만큼의 크기라는 의미이지요. 그럼 전체 1을 기준으로 봤을 때는 1을 10조각으로 나눈 후, 각각의 조각을 또 10조각씩으로 나누었으니 총 100조각으로 나눈 것 중 하나라고 볼 수 있겠지요? 이는 분수로 표현하면 1/100이 되고, 소수로는 0.01이라고 표현하게 됩니다. 이젠 0.1보다도 더 작은 수도 이런 식으로 표현할 수 있는 것입니다. 그렇다면 0.01보다 더 작은 수는요? 마찬가지로 0.001이 되고, 1/100을 또다시 1/10만큼 한 수이기 때문에 1/1000만큼의 크기와 같습니다. ‘큰 수’ 단원에서 왼쪽으로 한 칸씩 이동할때마다 10배씩 커졌던 것처럼, 반대로 계속해서 더 작은 수를 표현하기 위해서는 오른쪽으로 한 칸씩 이동하면 1/10만큼의 크기로 계속해서 작아지는 것입니다. 교과서에서는 이러한 ‘소수 셋째 자리’인 0.01, 분수로는 1/100까지만 배우지만 이제 여러분은 그보다 더 작은 크기의 수도 소수로 표현할 수 있게 된 겁니다.
이렇게 숫자를 두는 위치를 활용하여 수를 나타내는 방법을 자연수뿐만이 아니라 더 작은 수를 표현하는 소수에서도 똑같이 활용할 수 있게 되었습니다. 그런데 우리는 이 방법을 단지 수의 크기를 정할 때에만 쓰지는 않습니다. 더 많은 상황에서 활용할 수가 있지요. 어떤 상황들에서 활용할 수 있을까요? 가장 대표적인 경우가 수의 크기를 비교하거나 계산할 때입니다. 여러분들은 198과 211 중 어떤 수가 더 큰지 바로 말할 수 있지요? 211이라고 다들 말할텐데 왜 그 수가 198보다 더 큰가요? 숫자를 하나씩 비교해보면 1,9,8과 2,1,1이니까 9와 8이 들어가 있는 198이 더 큰것 아닌가요? 이런 말을 들으면 아마 많은 학생들이 어이없어하며 그게 아니라 가장 큰 자리부터 비교해야한다고 말할 것입니다. 가장 큰 자리수를 비교하면 100과 200이니 뒤의 9,8과 1,1과는 상관없이 211이 더 크다는 식으로 설명하겠지요. 덧셈도 마찬가지입니다. 두 자연수를 더할 때는 맘에 드는 숫자끼리 더하는게 아니라 같은 자리수끼리 차례대로 더하며 받아올림을 하지요? 이런 방법들이 모두 위치에 따라 같은 숫자라도 다른 크기의 수를 표현한다는 것을 인정하고 있기 때문에 자연스럽게 나오는 방법이지요. 그런데 앞서 같이 보았듯이 소수에서도 이런 자리수에 따라 크기를 표현하는 것임을 알게 되었지요? 그렇다면 자연수와 마찬가지로 자리수를 활용하여 크기를 비교하고, 덧셈이나 뺄셈과 같은 계산도 할 수 있다는 것입니다. 예시를 바탕으로 하여 간단하게만 확인해 봅시다.
0.25와 0.14라는 두 소수를 생각해 봅시다. 어떤 수가 더 큰 수인가요? 앞서 말했듯 자연수의 크기 비교와 같은 방법을 적용하면 됩니다. 어떤 숫자부터 비교해야 할까요? 왜 그런가요? 자연수와 마찬가지로 소수에서도 가장 큰 자리수부터 하나씩 비교합니다. 주어진 두 소수에서는 가장 큰 자리수가 1의 자리이고, 둘 다 0으로 같기 때문에 다음으로 큰 자리수를 비교합니다. 1의 자리 다음으로 큰 자리수는 소수 첫째 자리이고, 2와 1 중 2가 더 크기 때문에 0.25가 0.14보다 더 큰 수라는 것을 쉽게 알 수 있지요. 이렇게 자연수에서 크기를 비교했던 방법 그대로 소수에도 적용할 수 있습니다. 신기하게 소수도 똑같이 되네~ 가 아니라, 1보다 작은 숫자에서도 지금까지와 같이 크기를 비교하기 위해 같은 규칙을 적용할 수 있도록 소수 자리수의 크기를 정했기 때문입니다. 단순히 우연히 아니라는 이야기이지요.
이렇게 크기 비교를 할 수 있다면 소수의 덧셈과 뺄셈도 마찬가지의 방법으로 할 수 있습니다. 우리가 쉽게 하는 자연수의 덧셈과 뺄셈과 완전히 같은 방법이지요. 마찬가지로 0.25와 0.14를 가지고 덧셈과 뺄셈을 해 봅시다. 자연수를 더할 때나 뺄 때나 모두 무엇부터 해야하나요? 그렇습니다, 가장 오른쪽부터 자리수를 맞춰서 차례대로 계산을 했었지요? 그렇다면 왜 하필 가장 오른쪽이었나요? 우리가 평소에 찾기 쉽게 오른쪽이라고 말하지만, 그 이유는 오른쪽부터 왼쪽으로 갈수록 점점 자리수가 커지기 때문에 가장 오른쪽 자리가 가장 작은 자리이기 때문이지요. 작은 자리수부터 계산을 해나가면 됩니다. 소수에서도 마찬가지입니다. 0.25와 0.14를 더할 때 가장 작은 자리수인 소수 둘째자리부터 계산하면 5+4=9가 됩니다. 그런데 그냥 5와 4가 아니지요? 자리수를 살려 표현하면 0.05+0.04=0.09라는 것을 알 수 있습니다. 그럼 그 다음에는요? 다음으로 작은 자리수인 소수 첫째자리를 계산하면 2+1=3으로 보이지만 실제로는 0.2+0.1=0.3이지요. 각 자리수마다 계산한 결과를 모두 합치면 0.39가 되고, 이는 0.24+0.15의 결과가 됩니다. 이런식으로 소수의 덧셈은 자연수의 덧셈 방법과 완전히 동일한데, 여러분들이 자연수를 계산할 때 그저 방법만 외워서 따라하는게 아니라 왜 그렇게 계산하는지를 이해할 수 있다면 소수의 계산또한 쉽게 할 수 있습니다. 뺄셈도 마찬가지의 방법으로 계산할 수 있는데, 이 부분은 여러분이 직접 한 번 스스로 계산해 봤으면 좋겠습니다. 0.25-0.14의 결과는 무엇인가요? 왜 그런가요? 숫자 하나 달랑 말하는게 아니라 왜 그렇게 되는지를 앞서 0.25+0.14때와 마찬가지로 설명할 수 있도록 각자 정리해보도록 합시다.
이렇게 지난 3학년 때 배운 소수에 대해서 정리해보면서 왜 하필 1보다 작은 수를 표현할 때 한 가지 방법만 쓰는게 아니라 두 가지 방법을 같이 배웠는지에 대해서 생각해 보았습니다. 분수의 경우 앞서 정리했었던 것처럼 덧셈과 뺄셈을 할 때 간단하게 되기도 하지만 굉장히 복잡해지는 경우 또한 많습니다. 사실 간단하게 되는 경우가 드물다고 볼 수 있지요. 하지만 소수의 경우 자연수를 표현하는 방법을 적용하여 더 작은 수를 표현하였기 때문에 자연수의 계산 방법을 그대로 적용할 수 있습니다. 우리가 식당이나 마트 등에서 소수를 훨씬 더 자주 보는 것도 그런 이유라고도 볼 수 있겠지요. 1.5L라고 적혀있는 콜라는 봤어도 1과 1/2L라고 적혀있는 콜라를 본 사람은 없지요? 고기 0.8kg은 포장지에 찍혀있어도 고기 8/10kg이라 적혀있는 것은 또 본 적이 없을 것입니다. 이런 식으로 우리에게 더 익숙한 방법을 적용할 수 있는 소수가 실생활에 많이 쓰인다는 것입니다.
그런데 이쯤되면 또 궁금한 것이 생길 수 있겠지요. 자연수의 표현방법을 활용하여 1보다 작은 수를 표현하는 것이 소수이기 때문에 덧셈과 뺄셈 같은 계산도 같은 방법으로 할 수 있는데, 그렇다면 다른 계산은 어떨까요? 덧셈과 뺄셈은 알겠는데 그 다음에는요? 여러분이 잘 아는 곱셈과 나눗셈이라는 계산 또한 가능할까요? 이 내용은 5학년과 6학년 때 하나씩 다루게 되는데, 이번에는 어떤 식으로 접근할 수 있을까 정도만 같이 생각해보도록 하겠습니다. 여러분도 계산에만 신경쓰기보다는 곱셈과 나눗셈이 어떤 의미를 가졌는지를 생각하고, 소수에는 어떻게 적용할 수 있을까를 고민해봤으면 좋겠습니다. 스스로 한 번 생각해본다면 여러분이 5,6학년이 되어 소수의 곱셈과 나눗셈을 만났을 때에도 그저 방법만 따라하는 것이 아니라 스스로 알고 활용할 수 있게 될 것입니다. 그럼 다음 글에서 소수의 곱셈에 대해 함께 알아볼 수 있도록 미리 생각해보고 있으면 좋겠습니다.
