5-2-4. 소수의 곱셈 / 6-1-3. 소수의 나눗셈
소수 범위로의 곱셈과 나눗셈 연산 확장
5-2-4. 소수의 곱셈
소수의 곱셈
곱셈은 무엇을 표현하는 방법인가요? 이제 이런 유형의 질문에 쉽게 대답할 수 있겠지요? 곱셈은 기본적으로 여러 번 더하는 것을 줄여서 표현하는 방법입니다. 한 명의 학생이 지우개를 5개 가지고 있다고 생각해 봅시다. 그런데 그런 학생이 3명 있습니다. 그러면 전체 지우개의 개수는 몇 개인가요? 식을 만들어보면 5+5+5=15라고 말할 수 있지요. 그렇다면 학생이 총 10명이 있다면요? 5+5+5+5+5+5+5+5+5+5=50이네요. 조금 번거롭지만 아직까진 할 수는 있지요 . 하지만 100명은요? 1000명일 땐 어떻게 하죠? 이렇게 수가 적을 때는 덧셈을 이용해 계산해도 어렵지 않지만 수가 커질수록 힘들어집니다. 그래서 우리가 사용하는 것이 곱셈이지요. 반복되는 덧셈을 줄여서 표현한 것이었습니다. 5+5+5=5×3처럼 똑같은 수를 여러번 더하는 것을 간단하게 표현할 수 있었습니다. 이렇게 자연수에서 곱셈을 생각했던 것처럼 소수도 마찬가지입니다.
소수의 형태로 표현하는 것은 자연수의 표현법을 조금 더 확장시켜 활용하기 위함이었는데요, 계산에서도 마찬가지입니다. 자연수를 여러 번 더하는 것을 곱셈으로 간단하게 표현했던 것처럼, 소수도 똑같은 소수를 여러 번 더하는 것을 곱셈으로 나타낼 수 있습니다. (소수)×(자연수)의 형태가 되는 것이지요. 앞서 말한 예시를 약간 바꾸어 봅시다. 이번에는 학생 한 명이 지우개를 0.5개 가지고 있습니다. 0.5개 가지고 있다는 말이 무슨 뜻일까요? 온전한 지우개 한 개가 아니라 그 절반만큼 가지고 있다는 뜻이지요? 그런 학생이 3명 있습니다. 그러면 총 지우개의 개수는 어떻게 표현할 수 있을까요? 0.5+0.5+0.5=1.5입니다. 조각을 짜맞추었다고 생각하면 1개하고도 절반 만큼의 지우개가 있다는 뜻이 되겠지요. 이 또한 똑같은 덧셈이 반복되기 때문에 자연수와 마찬가지로 곱셈으로 표현한다면 0.5×3=1.5로 표현할 수 있는 것입니다. 5×3=15와 모양도, 결과도 거의 흡사하지요? 다른 점은 소수점이 찍혀있다는 것 뿐인데요, 어떻게 소수점을 찍어야 자연수에서의 곱셈처럼 간단하게 계산해낼 수 있는지에 대해서 배우게 될 것입니다.
이것이 기본적인 곱셈에 대한 내용이었는데요, 한 발짝만 더 나아가서 어떻게 곱셈을 활용할 수 있는지에 대해서까지만 생각해보려고 합니다. 앞서 말한 학생들을 다시 데려올게요. 이번에는 학생 한 명당 지우개를 3개씩 가지고 있습니다. 이런 학생들이 5명 있어요. 그렇다면 총 지우개의 개수를 구하는 식을 만들어보면 어떻게 되나요? 3+3+3+3+3=3×5 이렇게 덧셈 혹은 곱셈을 활용하여 표현할 수 있지요. 앞서 만든 식과 모양은 조금 다른데요, 그런데 결과는 어떤가요? 두 경우 모두 다 15로 동일합니다. 5×3=15=3×5가 된 거지요. 상황은 다르지만 결과는 같습니다.
이렇게 곱셈의 경우 덧셈과 마찬가지로 앞뒤의 순서를 바꾸어도 결과는 같게 나오는데요, 이를 활용하면 앞서 생각했던 (소수)×(자연수)의 형태 말고도 순서만 바꾼 (자연수)×(소수)도 계산할 수가 있게 되지요. 앞서 정리했던 곱셈의 기본 원리인 같은 수를 여러번 더한 것으로 설명할 수 없는 ×(소수)의 형태도 결과를 찾을 수 있는 건데요, 단순히 결과만이 아니라 무슨 의미인지 알고 싶은 학생은 이렇게 한 번 생각해봅시다. 평소에 ‘몇 배’라는 말을 많이 쓰지요? ‘가영이는 나영이가 가진 것의 두 배만큼의 지우개를 가지고 있다’ 라고 했을 때, 나영이가 6개 가지고 있다면 가영이는 몇 개 가지고 있다는 건가요? 6×2=12개라고 바로 말할 수 있지요? 이렇게 ‘몇 배’는 기준에 대해 얼마만큼인지를 표현한 것이라고 볼 수 있습니다. 기준을 1이라고 볼 때 ‘두 배’는 2만큼을 표현하는 것이지요. 그래서 여기에서는 나영이가 가진 지우개의 개수가 기준이 되어서, 6이 두개 있기 때문에 12가 됩니다. 그렇다면 ‘0.5배’는 무슨 뜻일까요? 마찬가지로 해석한다면 기준인 6의 절반만큼만 있기 때문에 3이라고 말할 수 있습니다. 이걸 식으로 쓰면 6×0.5=3이라고 표현할 수 있고, 순서를 바꾸어 쓰면 0.5×6=0.5+0.5+0.5+0.5+0.5+0.5=3이 되기 때문에 같은 결과가 나오지요.
이렇게 곱셈 또한 단순히 여러번 더하는 것에서 더 나아가 다른 방법으로 나타낼 수 있다는 것 또한 중요합니다. 이걸 활용한다면 (소수)×(자연수) 뿐만 아니라 (자연수)×(소수)가 무슨 뜻인지 이해할 수 있고, 더 나아가면 (소수)×(소수) 계산까지 할 수 있게 되는 것이지요. 이렇게 소수를 활용하여 곱셈을 할 수 있고, 곱셈의 범위 또한 조금 더 넓게 활용할 수 있도록 하는 것이 5학년에 배울 소수의 곱셈입니다. 물론 매번 이렇게 방법을 생각하면서 계산하지는 않을 것입니다. 간단히 계산하는 방법도 배우게 되겠지만, 그 이유를 모르고 단순히 방법만 외워서 계산만 하는 것은 계산기가 여러분보다 훨씬 빠르고 정확하겠지요? 여러분들은 왜 그렇게 계산을 할 수 있는지를 꼭 생각해보았으면 좋겠습니다.
6-1-3. 소수의 나눗셈, 6-2-2. 소수의 나눗셈
소수의 나눗셈
기본적인 네 가지 연산 중에 남은 게 하나 있지요? 이번에는 나눗셈을 소수에도 적용시켜보려 합니다. 먼저 나눗셈에 대해 생각해 보는게 순서겠지요. 나눗셈은 크게 두 가지 방법으로 이해해볼 수 있습니다. 첫 번째로는 말 그대로 ‘나누기’ 입니다. 초콜릿이 20개 있다고 생각해 봅시다. 이 초콜릿을 가영이와 나영이 두 명이서 똑같이 나누어 가지려면 몇 개씩 가질 수 있나요? 10개씩 가지면 되겠지요? 이를 식으로 표현하면 20÷2=10이 되는 것입니다. ‘나누기’라는 이름 그대로지요. 전체를 두 묶음으로 나누어보니 한 묶음의 크기가 10이 되었다는 것을 이렇게 식으로 표현할 수 있습니다.
두 번째 방법은 앞서 곱셈에서 활용한 방법을 조금 변형하여 사용하는 것입니다. 똑같은 수의 덧셈을 여러번 반복하는 것을 간단히 표현하면 곱셈으로 나타낼 수 있었지요? 마찬가지로 똑같은 수의 뺄셈을 여러번 반복하는 것을 간단히 표현하면 나눗셈으로 나타낼 수 있습니다. 앞서 생각했던 20÷2를 다른 방법으로 해결해 봅시다. 이번에는 한번에 두 묶음으로 나누는 게 아니라 가영이와 나영이에게 똑같이 하나씩 차례대로 주면서 개수를 세어보려 합니다. 처음 20개가 있었는데 하나씩 주면 2개만큼 줄어들겠지요? 20-2 입니다. 아직 많이 남아있으니 또 줄 수가 있네요. 하나씩 더 주면 2개만큼 또 줄어들겠지요? 20-2-2입니다. 이렇게 가지고 있는 초콜릿이 다 떨어질때까지 주는 겁니다. 계속 반복해서 계산해보니 20-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2=0이 되네요. 그럼 0이 될때까지 2를 몇 번 뺐나요? 세어보면 10번 뺀 것을 알 수 있습니다. 이를 식으로 표현하면 20÷2=10으로 쓸 수 있습니다. 두 방법 모두 나눗셈을 설명하는 방법인데, 상황에 따라 적절한 방법을 활용하면 됩니다. 그렇다면 이제 소수에 이러한 나눗셈을 적용하면 어떻게 될까요?
6학년 1학기에는 이렇게 나눗셈의 기본 원리를 쉽게 적용할 수 있는 (소수)÷(자연수)부터 다루게 됩니다. 소수점을 옮겨 자연수로 바꿔 나눗셈 계산을 한 후 다시 소수점을 옮기거나 분수로 바꾸어 계산하거나 하는 등의 방법을 통해 소수의 나눗셈 계산을 하게 됩니다. 이는 계산을 조금 더 쉽게 하기 위한 방법이라고 볼 수 있는데, 나눗셈에 대해 정확히 이해하지 못하고 단순히 방법만 따라한다면 조금만 다른 방법으로 물어보거나 형식이 같지 않을 때 전혀 문제를 해결하지 못할 수 있습니다. 그렇게 된다면 6학년 2학기 때 배우게 되는 (소수)÷(소수)에서도 마찬가지가 되겠지요. 그 다음인 중학교, 고등학교 때는 말할 것도 없을 거구요. 그렇기 때문에 여러분들은 단순히 방법만 따라하는게 아니라 나눗셈이라는게 무슨 뜻인지를 다시 한 번 정리하면서 소수에서는 어떻게 적용할 수 있을지를 생각하는게 중요하다는 것입니다. ‘나누기 2는 두 묶음으로 나누는 건데 그럼 나누기 0.2는 0.2묶음으로 나누는 건가? 말이 안되는데?’ 로 끝나는 게 아니라, 나눗셈은 몇 묶음으로 나누는 것 외에도 몇 번 반복해서 뺄 수 있는지로도 설명할 수 있다는 것을 이해한다면 0.2묶음으로 나눈다는 말을 0.2를 몇 번 뺄 수 있는지로 이해하고 해결할 수 있게 된다는 것이지요. 이번에는 나눗셈이 무슨 의미인지 이해하는 데에 집중하고, 6학년이 되어 계산을 해야 할 때 이를 생각하면서 방법을 따라하다 보면 어느 순간 자연스럽게 문제를 해결할 수 있을 것입니다.
이렇게 4학년 과정에서 배우는 수와 연산 영역을 모두 살펴 보았습니다. 여러분들이 흔히 말하는 ‘수학’에서 다루는 수와 관련된 내용들을 다루는 영역이었는데요, 이렇게 수를 어떻게 표현하는지, 계산은 어떻게 하는지에 대해 단순 방법만 외우는 것이 아니라 그 이유에 대해서 깊이 생각해 볼 수 있었으면 좋겠습니다. 이제부턴 숫자만 다루는 게 아니라 도형 등에 대해서도 좀더 수학적인 시선으로 바라보려고 하는데, 그러기 전에 거쳐가야 할 영역이 있습니다. ‘측정’ 인데요, 4학년 과정에서 다루는 부분이 많지 않으니 도형에 대해 알아보기 전에 먼저 정리해보고 갑시다.
