D. 수와 연산 - 수의 연산 - 소수의 덧셈과 뺄셈
소수의 도입 / 3-1-6. 분수와 소수 (소수 파트)
앞서 분수가 무엇인지 다시 한 번 살펴보며 분수를 활용한 계산까지 해 보았습니다. 우리가 분수를 왜 쓰는지에 대해 이야기를 했었는데요, 1보다 작은 수를 표현하기 위한 방법 중 하나라고 말했었습니다. 그렇다면 다른 방법도 있다는 말이겠지요? 그 중 하나가 소수입니다. 소수 또한 1보다 작은 수를 표현하는 방법인데요, 그렇다면 이쯤 당연하게 나올만한 질문이 있습니다. 자연스럽게 머리 속에 떠오르는 생각이 있나요? 그렇습니다, 1보다 작은 수를 표현할 때는 분수를 쓰면 되는데 왜 또 소수라는 걸 만들어서 공부하는 게 늘어났냐 생각하는 학생들이 있을 겁니다. 그럼 앞서 분수에 대해 돌아볼 때 했던 말을 또 드리고 싶네요. 이유가 있으니 분수만 사용하는 게 아니라 소수도 함께 사용하고, 또 우리가 배우는 거겠지요? 이번 단원에서는 그러한 점을 생각하며 공부한다면 조금 더 넓은 이해를 할 수 있을 겁니다.
소수는 앞서 분수와 마찬가지로 3학년 1학기에 분수와 소수라는 단원을 통해 이미 공부한 적이 있습니다. 이번 4학년에서는 소수를 가지고 덧셈과 뺄셈이라는 계산을 하게 되는데, 계산을 하려면 먼저 소수가 무엇인지 확실히 알고 있어야겠지요? 소수에 대해 확실히 알고, 소수의 덧셈과 뺄셈을 할 수 있게 된다면 그 다음에는 소수로 또 무엇을 할 수 있을까요? 덧셈과 뺄셈이 나왔으니 다음엔 곱셈과 나눗셈이 나오는 게 순서겠지요? 5학년때는 소수의 곱셈, 6학년 때는 소수의 나눗셈을 익히게 됩니다. 우리가 덧셈과 뺄셈을 할 수 있어야 곱셈과 나눗셈을 할 수 있듯, 소수에서도 마찬가지입니다. 3학년 때 소수에 대해 정확히 이해하지 않고 스리슬쩍 넘어갔다면 당연히 소수를 이용한 계산도 할 수가 없는 것이지요. 정확히 이해하지 못한 학생은 이번 기회에 다시 한 번 소수가 무엇인지 확실히 알아보고, 소수에 대해 잘 알고 있는 학생은 내가 알고 있는 것을 정리하는 기회가 되었으면 좋겠습니다. 먼저 소수에 대해 알아보도록 합시다.
3-1-6. 분수와 소수
분수와 소수
분수의 덧셈과 뺄셈에 앞서 분수에 대해 3학년 때 공부했었던 내용을 다시 살펴보았었죠? 소수 또한 마찬가지입니다. 분수와 같은 단원에서 소수도 함께 도입했었지요. 소수도 분수와 마찬가지로 1보다 작은 수를 표현하기 위한 방법이었습니다. 하지만 표현 방법이 분수와는 달랐습니다. 분수는 1/2, 9/4, 3과 5/7과 같이 분모와 분자를 활용하여 1보다 작은 크기를 나타냈었지요. 소수는 0.1, 2.5, 12.3과 같이 소수점이라고 불리는 점을 찍어 1보다 작은 크기를 나타냈습니다. 둘 다 1보다 작은 수를 표현하는 방법이기 때문에 서로 바꿔서 쓸 수도 있습니다. 소수 0.1을 분수로 표현하면 1/10입니다. 이미 분수에 대해 정리를 했으니 소수 0.1이 어느 정도 크기인지 알 수 있겠지요? 1을 똑같이 10개로 나눈 것 중 1개에 해당되는 크기를 0.1이라고 합니다. 여기까지는 1보다 작은 수를 표현하기 위해 많은 사람들이 약속한 내용이니 그대로 받아들이면 됩니다. 왜 하필 1/10이 0.1이냐고 물을 필요는 없다는 이야기지요. 하지만 그럼에도 불구하고 궁금한 사람들이 있을 것입니다. 왜 하필 1/10이 0.1일까요? 분수 중에서 처음 접했던 1/2이라던가, 피자 조각으로 익숙한 1/8, 아니면 그냥 2/3가 0.1이면 안될까요? 소수의 이야기는 여기서부터 시작합니다. 왜 하필 1/10을 0.1로 표현하기로 약속했는지 생각하다보면 자연스럽게 소수에 대해 더 깊이 이해할 수 있게 될 것입니다.
먼저 소수와 분수의 차이부터 생각해 봅시다. 가장 먼저 보이는 둘의 차이점은 무엇인가요? 앞서 말한것처럼 쓰는 방법이 다르지요? 분수는 가로선을 그은 후 위아래에 숫자를 써서 표현하고, 소수는 점을 찍어 그 뒤에 숫자를 써서 표현합니다. 두 방법 중 우리가 평소 쓰는 숫자와 표현 방법이 더 비슷한 것은 어떤 방법인가요? 그렇습니다, 소수의 경우에는 우리가 평소에 쓰던 것과 마찬가지로 숫자를 가로로 차례대로 적습니다. 중간에 소수점을 찍는 것만 다르지요. 원래 우리가 쓰던 자연수 외에 다른 크기의 수를 표현하는 방법이 필요할 때, 전혀 다른 방법을 새로 생각하여 쓸 수도 있겠지만 원래 있던 방법을 활용하여 표현하는 것이 사람들이 이해하기 쉽고 더 많은 사람들이 활용하려고 하겠지요? 소수는 분수와는 달리 자연수의 표현 방법과 유사하기 때문에 굳이 분수로 1보다 작은 수를 표현할 수 있음에도 불구하고 또다른 방법으로 사람들이 활용하고 있는 것입니다. 이렇게 자연수의 표현 방법을 적용하여 1보다 작은 수를 표현하기 위해선 자연수를 우리가 어떻게 쓰고 있는지에 대해서 다시 생각해볼 필요가 있겠지요? 우리는 이미 앞에서 ‘큰 수’에 대해 알아보며 수를 표현할 때 자리가 어떤 의미를 가지는지에 대해 깊이 생각해 봤습니다. 이를 반대방향으로 적용해보면 소수라는 방법이 왜 하필 1/10을 다르게 표현한 것인지를 이해할 수 있을 것입니다.
111이라는 수를 가지고 시작해 보겠습니다. 같은 숫자 세 개로 이루어진 수입니다. 그러면 숫자 세 개가 가리키는 수가 모두 같나요? 아니라고 바로 답할 수 있겠지요? 숫자는 1로 모두 동일하지만 위치한 자리가 다르기 때문에 가장 오른쪽의 숫자 1은 수 1, 중간의 숫자 1은 수 10, 가장 왼쪽의 숫자 1은 수 100을 의미한다는 걸 이젠 다들 다른 사람에게 설명까지 해 줄 수 있을 것입니다. 자리가 왼쪽으로 한 칸 이동할수록 수가 10배씩 커진다는 거두요. 이걸 반대 방향으로 생각해보면 오른쪽으로 한 칸 이동하면 얼마나 작아지는 건가요? 가장 왼쪽의 숫자 1은 수 100이지만 그것보다 오른쪽으로 한 칸 이동한 숫자 1은 수 10입니다. 100이 10까지 줄어든 것이지요. 마찬가지로 중간의 숫자 1은 수 10이지만 그것보다 오른쪽으로 한 칸 이동했을 때의 숫자 1은 수 1입니다. 오른쪽으로 한 칸 이동할 때마다 100은 10이 되고, 10은 1이 되었습니다. 얼만큼 줄어들었다고 말할 수 있을까요? 오른쪽으로 한 칸 이동할 때마다 1/10이 된다는 것이 이해되나요? 원래 수를 10개의 조각으로 나눈 후 그 중 한 조각의 크기가 되기 때문에 분수로 나타내면 1/10이라고 쓸 수가 있습니다. 왼쪽으로 갈수록 10배가 된다는 것은, 반대로 오른쪽으로 갈수록 1/10배가 된다고도 표현할 수가 있지요.
그렇다면 1의 자리보다 더 오른쪽으로 간다면 어떻게 될까요? 이전과 같은 방법을 적용하면 1의 1/10만큼의 크기가 될 것이라는 것을 생각할 수 있겠지요? 그런데 우리가 자연수를 쓸 때는 가장 오른쪽 자리가 1의 자리였습니다. 그럼 우리가 이야기하고 있는 111의 오른쪽에 1을 하나 더 쓰면 1111이 되는데, 그럼 110이 되는게 아니라 오히려 전체 숫자가 훨씬 더 커지게 되지요. 그렇다면 어떻게 써야 1의 자리 위치는 그대로 두면서 더 작은 수를 표현할 수 있을까요? 많은 사람들이 고민한 결과 어렵지 않은 방법을 하나 찾아낸 것입니다. 점을 하나 찍는 것이지요. 1111이 아니라 111.1이라고 표현하고, 점의 바로 왼쪽에 있는 자리를 1의 자리라고 생각하자는 겁니다. 그러면 지금까지 우리가 자연수를 표현했던 방법을 그대로 쓰면서도 1보다 더 작은 자리수를 나타낼 수 있게 됩니다. 이렇게 찍은 점에 이름을 붙여 ‘소수점’이라고 부르게 되었고, 이러한 방법으로 1보다 작은 수를 나타내는 방법을 ‘소수’ 라고 부르는 것입니다. 이제 왜 0.1이 1/10과 같은 크기인지 이해가 되나요? 1의 자리, 10의 자리, 100의 자리처럼 자연수의 자리수가 바뀔 때 왼쪽으로 갈수록 10배씩 커지고 오른쪽으로 갈수록 1/10만큼의 크기가 되었기 때문에 이러한 방법을 그대로 활용하여 1보다 더 작은 수를 표현하기 위해 1의 1/10만큼의 크기의 수를 0.1이라는 새로운 방법으로 표현한 것입니다.
전혀 다른 내용이라고 생각했던 소수와 ‘큰 수’ 단원이 연결되는 걸 보니 신기하지 않나요? 누가 일부러 만든것처럼 잘 들어맞지요? 사실 그게 맞습니다. 사람들이 자신의 생각을 쉽게 표현하고 서로 나눌 수 있도록 최대한 간단하고 연결될 수 있도록 방법들을 생각해낸 것입니다. 수학은 이처럼 어려운 것이 아니라 오히려 쉽게 표현하기 위해 노력한 결과물입니다. 여러분들도 무작정 어렵다고 외면하기보다는 왜 그렇게 했을까를 한번 더 생각해본다면 오히려 더 쉽게 수학을 이해할 수 있을 것입니다. 이렇게 소수에 대해 다시 돌아보았습니다. 이제 소수를 자연수와 같은 방법으로 바라볼 수 있겠지요? 이러한 눈으로 소수에 대해 더 깊게 살펴보도록 합시다.
