4-2-1. (분모가 같은) 분수의 덧셈과 뺄셈
덧셈과 뺄셈의 분수 개념으로의 확장
진분수의 덧셈과 뺄셈하기
분수 부분끼리의 합이 1이 넘지 않는 분수의 덧셈과 분수 부분끼리 뺄 수 있는 분수의 뺄셈하기
분수 부분끼리의 합이 1이 넘는 분수의 덧셈하기
분수 부분끼리 뺄 수 없어서 1을 분수로 바꾸어야 하는 분수의 뺄셈하기
앞에서는 3학년에서 배운 분수가 1보다 작은 수를 표현하는 방법이란 것을 다시 확인해보았습니다. 이제는 이러한 분수에서는 덧셈과 뺄셈을 어떻게 계산할 수 있을지에 대해 알아보려고 합니다. 우리는 이미 자연수의 덧셈은 언제 배웠는지도 기억나지 않을 정도로 익숙하게 잘 하고 있습니다. 3+2와 같은 계산은 이제 손가락을 접거나 물건을 가지고 생각하지 않아도 바로 결과를 이야기할 수 있지요? 분수에서의 덧셈과 뺄셈도 크게 다르지 않습니다. 단위가 달라졌다는 것만 기억하면 됩니다. 가끔 많은 학생들을 만나다보면, 분수의 덧셈과 뺄셈 계산은 굉장히 잘 하지만 왜 그렇게 해야 하는지에 대해서는 말하지 못하는 학생들이 있습니다. 그건 계산이 아니라 그림 맞추기에 가깝다고 봐야겠지요. 조금만 형태가 달라지거나 다른 상황이 주어지면 아무것도 못하게 될 수도 있구요. 여러분은 지금 당장 한 두 문제를 더 빨리 풀거나 맞추기 위해 이 글을 읽는 것은 아니지요? ‘왜’ 그렇게 계산할 수 있는지에 집중하면서 그 이유를 깊이 이해했으면 좋겠습니다. 그럼 이제 시작해 봅시다.
피자 이야기로 다시 돌아가 볼까요? 피자를 세는 단위는 무엇이 있을까요? ‘판’으로 셀 수도 있고, ‘조각’으로 셀 수도 있습니다. 우리가 지금까지 덧셈과 뺄셈을 해왔던 자연수는 ‘판’으로 생각할 수 있습니다. 피자 2판과 피자 3판이 있다면 총 피자 몇 판이 있나요? 여러분은 총 5판이 있다고 말하면서 자연스럽게 2+3=5를 생각했을 겁니다. 이게 우리가 지금까지 했던 자연수의 덧셈입니다. 그럼, 조금 다른 상황을 생각해 봅시다. 이번엔 피자 2조각과 피자 3조각이 있습니다. 그럼 총 피자 몇 조각이 있나요? 이번에도 아마 빠른 속도로 총 5조각이 있다고 말할 수 있을 겁니다. 그렇다면 식으로 표현하면요? 이번에도 2+3=5인가요? 물론 그렇게도 표현할 수 있습니다. 하지만 그렇게 쓰면 앞서 우리가 생각했던 피자 2판과 3판이 있을 때의 총 피자 판 수와 식이 완전히 같아지지요? 그런데 두 상황이 같은 상황인가요? 이쯤되면 여러분도 무언가 다른 방법으로 표현해야 헷갈리지 않는다는 것을 이해할 수 있겠지요?
두 상황에서 다른 점은 피자 2’판’과 2’조각’, 3’판’과 3’조각’이라는 점이었습니다. ‘판’과 ‘조각’의 차이로 돌아가 봅시다. 우리가 흔히 말하는 자연수는 피자 1판, 2판, 3판 할 때로 생각할 수 있습니다. 피자가 온전히 다 있어야 한 판이 있다고 말하지요? 그런데 그런 피자를 8등분을 하면 어떻게 되나요? 피자 1판이라고도 말할 수 있고, 8조각이 있다고도 말할 수가 있지요. 그럼 그 중의 1조각의 크기는 어떻게 표현할 수 있나요? 우리가 앞서 말했던 것처럼 1/8이라고 쓰는 겁니다. 이게 1보다 작은 수를 표현하는 분수가 사용되는 방법이고, 왜 분수가 필요한지에 대한 대답입니다. 이제는 1판과 1조각이 똑같은 크기가 아니라는 것을 명확하게 표현하고 이해할 수 있지요? 이제 이런 분수를 사용하여 식을 다시 만들어 보는 겁니다.
피자 2판과 3판을 더하면 총 5판이다 → 2+3=5
피자 2조각과 3조각을 더하면 총 5조각이다 →
이런 식으로 차이를 확실하게 나타날 수 있는 겁니다. 이런 식을 보면 많은 학생들이 다시 질문을 하곤 합니다. 그것도 매번 같은 질문을요. ‘왜 선 아래에 있는 숫자는 더하지 않나요?’가 바로 그것이지요. 앞서 우리가 3학년 때 배운 분수에 대해 짧지 않은 글을 통해 다시 확인해 본 이유가 이런 질문의 답을 스스로 생각해볼 수 있도록 하기 위함입니다. 분수를 표현할 때 선 아래의 숫자와 선 위의 숫자가 무슨 의미를 가지고 있었는지를 바탕으로 스스로 먼저 생각해보도록 합시다. 앞의 내용을 다시 읽어보는 것도 좋은 방법입니다. 꼭, 어떠한 방법으로든 혼자서 깊이 생각해 본 다음에 뒷 부분으로 넘어가도록 합시다.
스스로 한 번 생각해 보았나요? 선 아래에 있는 숫자가 의미하는 것은 무엇이었나요? 우리는 이를 ‘분모’라고 부르고, 1을 몇 조각으로 나누었는지에 대한 설명이라고 했었지요? 2/8에서 8은 피자 1판을 8조각으로 나누었다는 뜻을 표현하는 부분입니다. 선 위에 있는 숫자는 ‘분자’라고 부르고, 그렇게 나눈 조각 중 몇 개인지를 표현하는 부분이라고 했었지요. 그래서 2/8에서 2는 피자 1판을 8조각으로 나눈 것 중 2조각이라는 의미였습니다. 그럼 덧셈으로 다시 돌아가 봅시다. 피자 2조각과 3조각을 더했을 때 변하는 것과 변하지 않는 것은 무엇인가요? 당연히 더했으니 조각의 갯수는 늘어났겠지요? 총 5조각이 되었습니다. 그런데, 이렇게 피자 2조각과 3조각을 한 군데에 모아놓으면 조각의 크기가 갑자기 변하나요? 그렇지는 않지요? 한 군데에 모아서 총 5조각이라는 것을 우리가 확인했어도 조각의 크기는 여전히 8개가 모여야 1판이 된다는 것엔 변함이 없습니다.
앞서 말한 단어를 다시 사용하면 ‘분자’는 더해지지만 ‘분모’는 변하지가 않는다는 것이지요. 그렇기 때문에 우리가 분수의 덧셈을 할 때에는 분모는 그대로 두고 분자끼리만 더하는 것입니다. 어떤가요? 이제 왜 분수의 덧셈이 이렇게 이루어지는지 이해가 좀 가나요? 이렇게 진분수의 덧셈을 할 수 있고, 뺄셈도 마찬가지입니다. 당연히 같은 방법으로 생각한다면 대분수와 가분수에서도 덧셈과 뺄셈을 할 수 있습니다. 중요한 건 덧셈과 뺄셈이 아니라 분수에 대해 이해를 먼저 해야한다는 점을 꼭 기억해주세요.
그렇다면 이러한 방법을 가지고 가분수와 대분수의 덧셈에도 활용해 봅시다. 먼저 간단한 대분수부터 보도록 할까요? 대분수는 앞서 다시 정리했듯이 자연수와 분수가 합쳐져 있는 형태의 분수였습니다. 피자 이야기로 돌아가서 말해본다면, 1판만 있거나 2조각만 있는게 아니라 1판 하고도 2조각이 더 있는 상황이라 볼 수 있겠지요. 이러한 경우를 숫자로 표현하면 1과 2/8라고 말할 수 있고, 이를 붙여서 쓴다면 대분수가 되었지요. 그럼 덧셈의 상황으로 가 볼까요? 가영이와 나영이가 각자 피자를 가지고 있습니다. 가영이는 1판 하고도 2조각을 더 가지고 있고, 나영이는 2판 하고도 3조각을 더 가지고 있네요. 그렇다면 가영이와 나영이가 가지고 있는 피자를 합치면 총 얼마나 있다고 말할 수 있을까요? 자연스럽게 말할 수 있지요? 3판 하고도 5조각이 더 있다고요. 그렇다면 이것을 덧셈으로 나누어서 표현하면 이렇게 되지요.
가영이의 1판과 나영이의 2판을 더하면 총 3판이다 → 1+2=3
가영이의 2조각과 나영이의 3조각을 더하면 총 5조각이다 →
가영이의 1판 하고도 2조각과 나영이의 2판 하고도 3조각을 더하면? →
우리가 잘 알고 있는 자연수의 덧셈으로 계산한 피자 판 수와, 방금 다시 정리하며 알아본 진분수의 덧셈으로 계산한 피자 조각 수를 그냥 옆에 붙여서 표현하기만 하면 됩니다. 판은 판끼리, 조각은 조각끼리 더해서 계산한 것이지요. 무언가 조금 이해하기가 어려운 학생이 있다면 두 자리 수의 자연수 계산을 생각해 보세요. 23+14은 얼마인가요? 37이지요? 그런데 왜 37인가요? 23은 20과 3이 더해진 수이고, 14는 10과 4가 더해진 수이기 때문에 십의 자리인 2와 1을 더해 3이 된 것이 30을 의미하고, 일의 자리인 3과 4를 더해 나온 7과 합쳐서 37이라는 것 정도는 잘 알고 있지요? 자연수와 분수도 이와 마찬가지입니다. 십의 자리끼리 더하고 일의 자리끼리 더했던 것처럼, 자연수끼리 더하고 분수끼리 더한 것 뿐이에요. 이렇게 대분수의 계산을 쉽게 할 수 있습니다.
그렇다면 가분수의 계산은 어떻게 할까요? 기본적으로는 진분수의 계산과 다를 바가 없습니다. 대분수와는 달리 가분수는 진분수와 모양도 완전히 같으니까요. 5/8과 같이 분모가 분자보다 크면 진분수, 12/8와 같이 분모가 분자보다 작으면 가분수라고 부를 뿐이고, 분모와 분자가 의미하는 내용은 같습니다. 그런데 여기서 잊지 말아야 할 점은 가분수를 대분수의 형태로 어떻게 바꾸어서 표현할 수 있는지에 대해서입니다. 피자가 5조각 있다면 우리는 5/8라는 분수 형태로 표현할 수 있었지요? 그렇다면 8조각이 있을 때는요? 8/8이 되겠지요? 그런데 8조각이 있으면 온전한 1판과 크기가 똑같습니다. 8/8=1이라는 뜻입니다. 분모와 분자가 똑같다는 것은 1과 같은 크기라는 뜻입니다. 1을 똑같이 8개로 나눈(분모) 조각 중 8개(분자)라는 뜻이니까요. 1을 몇 개로 나누었던 상관없이 그 전체 조각을 모두 센다면 처음의 1과 같아질 수 밖에 없겠지요? 그래서 이를 활용하면 피자 1판 하고도 2조각이 있는 상황은 1과 2/8이라고도 표현할 수 있고 10/8이라고도 표현할 수 있는 것입니다. 이 부분은 3학년 내용을 돌아볼 때 확인했던 부분이기도 하니 다른 방식으로도 표현할 수 있다는 점을 이해하고 연습해보는 수준까지는 해 볼 수 있어야 하겠습니다. 1.5cm와 15mm가 같다는 것처럼 자연스럽게 이해할 수 있어야 하겠어요.
이렇게 분수에서 덧셈이 어떻게 이루어질 수 있는지를 자연수의 덧셈을 바탕으로 더 넓게 생각하며 분수까지 적용해 보았습니다. 뺄셈도 완전히 같은 방법으로 계산할 수 있겠지요? 여기까지의 내용만 충분히 이해했다면 교과서 등의 문제를 해결하는 데에는 어려움이 없을 것입니다. 여러 복잡한 계산처럼 보이는 문제가 있을 수는 있지만 결국 앞서 말했던 단위에 집중하면서 대분수와 가분수 모양을 바꾸어 표현할 수만 있다면 모두 해결할 수 있을 거에요. 그래도 풀리지 않는 문제가 있다면 문제에서 무엇을 묻는지에 좀 더 집중해서 읽어보는 것이 좋습니다. 여러분이 잘 풀지 못하는 문제는 보통 계산이 아니라 문제에서 무엇을 묻는지를 이해하지 못하는 경우가 더 많거든요.
이렇게 이번 4학년에서는 3학년때 배운 분수에서도 덧셈과 뺄셈을 할 수 있다는 점에 대해서 공부해 보게 됩니다. 1보다 작은 수에서도 덧셈과 뺄셈이 가능하다는 점을 알게 된거죠. 그런데 여기까지 잘 생각하며 온 학생들은 무언가 지금까지 들은 설명에서 공통점이 있다는 점을 찾았을 수 있습니다. 계속 피자를 가지고만 설명을 했었지요? 그것도 1판이 8조각으로 나누어지는 피자만을요. 그런데 피자 중에선 8조각이 아니라 6조각으로 나누는 피자도 있고, 뷔페 같은곳에서 볼 수 있는 12조각 이상으로 잘게 나눈 피자도 있습니다. 그렇다면 분수로 표현하면 5/8말고도 5/6, 5/12 이렇게도 쓸 수 있겠죠? 그럼 이런 경우에서의 덧셈과 뺄셈은 어떻게 해야 할까요? 우리가 지금까지 계산한 분수의 덧셈과 뺄셈은 모두 분모가 같았는데, 지금은 분모가 다릅니다. 이 상황에서도 이전처럼 분자끼리만 계산하면 될까요? 그럼 계산 결과의 분모는 뭐라고 써야 할까요? 이렇게 분모가 다른, 풀어서 말하자면 조각의 크기가 다른 분수에서의 덧셈과 뺄셈에 대해서는 5학년 때에 배우게 됩니다. 지금 우리는 4학년 과정을 준비하고 복습하고 있으니, 5학년 때 배우는 내용에 대해서는 간단하게만 확인해보도록 하겠습니다. 완전히 이해하려고 하기보다는 지금까지 우리가 배운 내용이 어떻게 더 넓게 적용되는지에 대해 생각했으면 좋겠네요.
