C. 수와 연산 - 수의 연산 - 분수의 덧셈과 뺄셈
자연수에서 분수로의 연산 개념의 확장 / 3-1-6. 분수와 소수
‘수와 연산’ 영역 중 ‘수의 연산’이라는 핵심 개념에서는 우리가 수학이라고 했을 때 가장 먼저 떠오르는 내용들에 대해 알아보게 됩니다. 숫자를 가지고 계산하는 것이 바로 그것이지요. 그 중에서도 이번에 다루는 내용은 우리에게 친숙한 1,2,3과 같은 자연수가 아니라 분수에 대한 내용입니다. 분수는 이미 3학년 때 무엇인지 배웠지요? 1/3과 같이 우리가 아는 자연수를 활용하여 새로운 형태로 나타내는 방법인데, 이러한 분수 또한 자연수처럼 덧셈과 뺄셈이 가능합니다. 이렇게 이야기하면 꼭 분수에 대해 처음 들은것처럼 갸우뚱하는 학생들이 나오는데, 기억이 잘 안나는 학생들은 기억을 되살려보고, 이미 잘 알고 있는 학생들은 복습을 해 보는 차원에서 분수가 무엇인지부터 다시 하나씩 짚어보며 시작할까 합니다. 분수를 기억하고 있는 학생들도 정작 분수에 대해 설명을 해 보라고 하면 자신있게 말할 수 있는 학생은 드문데요, 내가 얼마나 알고 있는지 돌이켜보며 읽는 것도 생각을 정리하는 데에 큰 도움이 될 겁니다. 그럼 이제 3학년 때 공부했던 내용들로 돌아가 분수가 무엇인지부터 차근차근 알아보도록 합시다.
3-1-6. 분수와 소수
분수의 의미 알아보기
분수의 크기 비교하기
3학년 1학기 때 우리는 분수와 소수가 무엇인지에 대해 알아보고 크기 비교까지 해봤습니다. 그렇다면 분수와 소수는 무엇이었나요? 생김새에 대해서는 모두들 잘 알고 있을 것입니다. 하지만 중요한 건 ‘왜’ 입니다. 왜 옛날 사람들은 평소에 쓰는 자연수만 쓰는 게 아니라 분수와 소수라는 새로운 방법을 만들어 낸 걸까요? 적어도 오늘날까지 쓰고 있다는 건 그저 재미로 만들어낸 게 아니라는 것 정도까진 생각해낼 수 있겠지요? 기본적으로 ‘왜’ 만들었냐는 질문에 대해 나올 수 있는 답변은 ‘필요해서’ 입니다. 분수와 소수는 필요했기 때문에 만들었고, 오늘날까지 쓰여지고 있는 것이지요. 그렇다면 어떤 상황에서 분수와 소수가 필요할까요? 자연수로는 설명할 수 없는 상황이 있기 때문이겠지요?
제가 분수와 소수를 설명할 때 가장 많이 드는 예시는 피자입니다. 여러분은 피자 1’판’과 2’조각’이 있을 때 어떤 것을 고르나요? 많은 학생들이 1판을 고를 것입니다. 하지만 숫자로만 보면 1과 2 중엔 2가 더 크지요? 우리가 배운 자연수의 크기 비교를 활용하면 당연히 2조각을 골라야 할 텐데 뭔가 이상하지 않나요? 물론 여러분은 왜 그런지 잘 알고 있습니다. 1’판’과 2’조각’의 단위가 달라 크기가 다르기 때문이지요. 보통 피자 1판은 8조각이라는 사실까지도 잘 알고 있습니다. 이렇게 우리가 잘 아는 피자에서는 1판과 2조각 중 1판이 더 크다는 걸 알고 있지만, 다른 상황에선 어떤가요? 색연필 한 세트는 12색깔 구성도 있지만 24, 36색 구성도 있고, 많으면 100개가 넘어가는 세트도 있습니다. 그 경우에는 1’세트’와 20’개’ 색연필 중 무엇이 더 많은지 바로 말할 수 있을까요? 그것도 나 혼자가 아니라 다른 사람과 함께 결정해야 하는 상황이라면?
이미 우리는 자연수에 대해서는 잘 알고 있고, 같은 기준에서는 무엇이 더 크고 작은지 쉽게 판단하고 비교할 수 있습니다. 하지만 자연수만으로 표현하지 못하는 상황들이 있다는 겁니다. 피자 1’판’은 8’조각’인데, 그럼 4조각밖에 남지 않았다면 피자 몇 판이라고 표현해야 할까요? 1판보다는 분명히 적은데 우리가 아는 자연수 중 가장 작은 숫자가 1이지요? 그것보다 더 작은 수는 아무것도 없는 0이었는데, 분명히 피자가 있기는 하지요. 그렇다면 0과 1 사이에 0보다는 크지만 1보다는 작은 것도 있다는 것입니다. 우리 모두 알고는 있지만 이렇게 말로 표현해보면 뭔가 새롭게 느껴지지 않나요? 이렇게 자연수로는 다 표현하지 못하는, 1보다 작은 수를 표현하기 위해 새로운 방법을 생각하게 되었는데, 여러가지 방법 중 우리가 3학년 때 배운 것이 분수와 소수였습니다. 둘 다 1보다 작은 숫자를 표현하기 위한 방법인 것이지요. 이제 분수가 왜 필요했는지 이해가 좀 가나요? 그렇다면 이제 분수의 형태를 하나씩 뜯어보면서 더 자세히 살펴보도록 합시다. 이러한 과정을 거쳐야 분수에 대해 정확히 이해하고, 그 다음에야 분수를 가지고도 더하고 뺄 수 있을 테니까요.
1/3. 위에서 예시로 말했던 분수이지요? 우리가 배운 분수는 이런 형태로 되어있습니다. 자연수가 가로선 위아래에 따로 적혀 있는데요, 읽을땐 아래부터 읽어서 ‘삼 분의 일’ 이라고 표현을 하지요. 여기에 이미 모든 뜻이 다 담겨 있습니다. ‘분’수와 삼‘분’의 일에 나오는 ‘분’은 한자로 分이라고 쓰고, ‘나눌 분’ 이라고 읽습니다. ‘나눈다’ 라는 의미이지요. 그럼 무엇을 나누었다는 뜻일까요? 분수의 시작으로 돌아가서 왜 분수를 만들고 사용하는지를 생각해보면 알 수 있습니다. 1보다 작은 크기를 나타내기 위해 만든 것이 분수였으니, 나누었다는 것은 1을 나누었다고 생각하면 됩니다. 그래서 1보다 작은 수를 표현할 수 있게 된 것이지요. 이를 바탕으로 ‘삼 분의 일’의 의미를 생각해보면, ‘(1을) 삼(으로) 분의(나눈 것 중) 일(하나)’ 라는 말에서 설명하는 부분을 생략하고 한 말이라는 것을 알 수 있지요. 이 중 가로선 아래에 적는 ‘삼’은 1을 몇 조각으로 나누었는지에 대한 뜻을 담고 있고, 우린 이 부분을 ‘분모’라고 배웠습니다. 위에 적는 ‘일’은 그렇게 나눈 조각 중 몇 개인지 말하는 부분이고, ‘분자’라고 했습니다. 결국 ‘1을 셋으로 나눈 것 중 하나’라는 수를 표현할 때 항상 이렇게 풀어서 말할 수 없으니 줄여서 간단하게 표현한 것이 1/3이고, 앞으로는 이렇게 나타내자고 모두가 약속한 것이 분수인 것입니다.
조금만 더 덧붙인다면, 조각을 나눌 때에 조각들의 크기가 제각각이면 어떤 조각인지에 따라 크기가 차이가 나버리고 말겠지요? 그래서 1을 작은 조각으로 나눌 때에는 모든 조각의 크기가 같도록 나누어야 하고, 그렇기 때문에 분수로 표현했을 때 모두 같은 크기를 의미하게 되는 것입니다. 이러한 내용까지 포함해서 위의 1/3을 조금 더 정확하게 설명한다면 ‘1을 셋으로 똑같이 나눈 것 중 하나’라는 뜻이 된다는 거지요. 이를 그림으로 표현하면 아래와 같습니다.
이제 분수에 대해 기억이 좀 나나요? 그렇다면 이러한 분수의 크기 비교까지 이어서 할 수 있습니다. 위에서 말한 것과 같이 분수는 1보다 작은 수를 나타내기 위해 사용하고 있고, 좀 더 자세히 설명하자면 1을 똑같은 크기의 조각으로 나눈 것 중 몇 조각인지에 대해 말하는 것이라고 했습니다. 그렇다면 앞의 피자 이야기로 돌아가 봅시다. 1’판’과 2’조각’처럼 단위가 다를 때가 아니라 똑같은 단위라면 크기 비교는 어떻게 하면 되나요? 3조각과 5조각 중 무엇이 더 많은지 헷갈리는 학생은 거의 없겠지요? 우리가 평소에 하던 자연수의 크기 비교처럼 하면 됩니다. 이를 분수로 나타내어 보면 이렇게 됩니다. 일반적으로 볼 수 있는 피자 1판은 8조각으로 구성되어 있습니다. 그럼 3조각을 분수로 표현한다면 어떻게 말할 수 있나요? ‘피자 1판을 똑같은 크기의 8조각으로 나눈 것 중 3조각’이라고 말하면 피자를 직접 보지 않은 사람도 정확히 어떤 크기인지 이해할 수 있겠지요? 이를 분수로 표현하면
3/8이라고 쓸 수 있습니다. 마찬가지로 생각하면 5조각을 분수로 표현하면
5/8이 되겠지요. 그래서 3조각과 5조각의 크기 비교는 결국 3/8과 5/8의 비교이고, 5/8이 더 크다고 말할 수 있습니다. 각각의 조각의 크기가 모두 같기 때문에 조각의 갯수만 비교하면 무엇이 더 큰지 확실하게 알 수가 있는 것입니다. 마찬가지로 그림으로 나타내면 아래와 같습니다.
이렇게 3학년 1학기 6단원에서는 1보다 작은 수를 표현하기 위한 표현법으로써 분수와 소수에 대해 처음 배우게 되었습니다. 그중 이번에는 분수에 대해서 다시 돌아보며 어떤 뜻이었는지 살펴보았는데요, 우리가 손가락 하나 하나 접어가며 세어왔던 자연수에 그치지 않고 다른 수의 표현 방법에 대해 알아본다는 점에서 굉장히 중요한 내용이었습니다. 그렇기 때문에 2학기에 바로 분수에 대해 더 자세히 배우게 되었지요. 그럼 3학년 2학기엔 분수의 어떤 점에 대해 알아보았는지에 대해서도 돌아보도록 합시다.
