5-2-2. 분수의 곱셈
자연수에서 분수로의 곱셈 연산 확장
(분수)×(자연수)
(자연수)×(분수)
(분수)×(분수)
지금까지 정리한 내용은 자연수에서의 곱셈과 나눗셈에 대한 부분이었습니다. 숫자가 아무리 커지더라도 기본적인 원리는 동일하기 때문에, 얼마나 더 큰 묶음부터 시작하느냐의 차이밖에 없다는 것을 알 수가 있었지요. 그러면 이제는 자연수가 아닌 다른 수들에서도 이러한 계산을 적용할 차례입니다. 우리에게 친숙하고 간단한 것부터 시작할텐데요, 분수와 곱셈이 바로 그것입니다.
처음은 기본 원리부터 시작하는 것이 간단하겠지요. 곱셈이라는 게 여러 번 더하는 것을 줄여서 표현한 것이라는 건 이제 다들 이해할 수 있을 겁니다. 그렇다면 분수의 곱셈 또한 같은 의미로, 분수를 여러 번 더한 것을 줄여서 표현한 것 뿐입니다. 간단하지요? 예를 들자면,
이렇게 표현한 것입니다. 계산은 그럼 어떻게 해야할까요? 분수의 덧셈으로 돌아가 생각해보면 분모가 같을때는 분자끼리만 더하여 결과를 확인할 수 있었습니다. 이번에도 마찬가지이지요. 좀 더 풀어서 식을 쓰면
이렇게 쓸 수 있겠네요. 결국 분수와 자연수의 곱셈에서는 분자 부분에 분자와 자연수를 곱한 값을 적어 완성할 수 있는 것입니다. 어렵지 않지요? 물론 곱셈이 무엇인지, 분모가 같은 분수의 덧셈은 어떻게 되는지에 대해 이해했을 때의 이야기지만, 수학이 원래 그런 것 아니겠어요. 아래층부터 한계단씩 올라가지 않으면 위층에 도착할 수 없듯, 수학 또한 간단해 보이는 내용부터 정확히 이해해야 더 복잡한 내용도 어렵지 않게 해결할 수 있습니다. 그럼 한 단계 더 나아가 볼까요?
다음은 (자연수)×(분수)입니다. 뭐가 다를까요? 일단 우리에게 이미 익숙하듯, 곱셈에서는 순서가 바뀌어도 결과는 동일했습니다. 5×3=3×5=15가 되는 것처럼요. 그래서 이번에도 (자연수)×(분수)=(분수)×(자연수)가 되니 앞서의 방법 그대로 생각할 수 있겠지요? 물론 그것도 가능하지만, 분수를 곱한다는 것이 어떤 의미인지를 알아두어야 앞으로 다른 상황에서도 적용할 수 있기 때문에 이번에는 조금 더 자세히 살펴보도록 합시다. 우리는 곱하기를 풀어서 말할 때 ‘몇 배’라고도 말하곤 하지요. 보통 2배, 3배와 같이 자연수를 많이 쓰는데요, 이 경우에는 기존의 수의 2배, 3배에 대해 말하는 것이지요? 5의 3배를 5×3=15로 쓸 수 있는 것처럼요. 그렇다면 여기서 자연수 대신 분수를 쓰면 무슨 의미가 될까요?
위와 같이 (자연수)×(분수)의 형태가 되었을 때요. 마찬가지로 몇 배의 의미로 생각한다면 5의 3/5배라고 말할 수 있는데요, 5×3에서 5의 3배가 의미하는 것이 5가 3개 있는 것을 뜻했듯, 5×3/5은 5가 3/5만큼 있다는 뜻으로 생각할 수 있습니다. 3/5은 전체를 똑같이 5개로 나눈 것 중 3개만큼의 크기를 의미했지요? 여기서 전체를 5로 생각하면, 5×3/5은 5를 똑같이 5개로 나눈 것 중 3개만큼의 크기, 즉 3이라는 것을 알 수 있습니다. 결과가 맞는지 앞서 정리했던 (분수)×(자연수)의 형태로 확인해 볼까요?
위와 같이 식의 앞뒤 위치만 바꾸니 결과가 동일하게 나오네요. 숫자만으로 간단하게 계산해보면
위와 같은 순서로 계산할 수 있고, 분모와 분자 모두 3으로 나누어떨어지기 때문에 약분을 통해 자연수 5와 같다는 것을 알 수 있습니다. 이처럼 자연수에 분수를 곱하는 형태의 식은 ‘몇 배’에 대해 생각하면서 계산할 수 있습니다.
이제 (자연수)×(분수)의 경우 기준이 되는 양의 ‘몇 배’인지에 대해 생각하면서 계산할 수 있다는 것을 알게 되었습니다. 이제 마지막으로는 (분수)×(분수)만 남았네요. 앞서 계산한 자연수와 분수의 곱과 마찬가지로 이번에도 기준이 되는 양의 몇 배인지를 생각하면 됩니다.
이번에는 이 분수들을 활용하여 한번 살펴볼까요? 뒤의 ×2/3의 의미는 기준이 되는 양의 2/3배, 즉 똑같이 3으로 나눈 것 중 2개만큼의 크기라는 뜻이지요. 그런데 이번에는 그 기준이 되는 양이 자연수가 아닌 것만 다를 뿐입니다. 그림으로 한번 먼저 살펴볼까요?
그림으로 살펴본 것처럼, 3/5×2/3에서 기준에 해당하는 3/5 부분을 ×2/3에 맞게 크기가 같은 3개로 나누어 봅니다. 그 중에 2개만큼에 해당되는 크기이니 색깔을 다르게 칠해 보면 이런 모습이 되네요. 그럼 전체 크기에 비교해보면 분수의 크기는 얼마나 되나요? 2/5만큼인걸 확인할 수 있지요? 이를 식으로 표현하면
위와 같이 나오는 것입니다. 숫자로만 계산해보면 분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리 곱하여 계산한 것과 결과가 같고, 약분을 통해 더 간단한 숫자로 나타낼 수가 있습니다.
이렇게 자연수에서만 생각했던 곱셈을 분수까지 넓혀서도 계산을 해 볼 수가 있었는데요, 곱셈이 무엇인지에 대해 정확히 알고 있다면 이렇게 분수로도 곱셈을 할 수 있고, 이 또한 잘 활용한다면 소수에서도 마찬가지로 할 수 있을 것입니다. 중요한 것은 각각의 의미를 정확히 이해하는 것이지 계산 방법만 알고 반복하는 것이 아닙니다. 이 점을 꼭 기억하고 공부할 수 있었으면 좋겠습니다.
초고에서 분수 형태로 입력했던 내용을 브런치로 옮기니 모두 깨져버려서 급하게 캡쳐 및 그림으로 대신하다보니 표기 방법이 혼재되어 읽기에 불편하시지는 않았을까 모르겠네요. 브런치 글쓰기 에디터 상에서는 그림과 글을 이어서 입력하거나 일부만 정렬을 바꾸는 것을 지원하지 않는지, 아니면 제가 못찾은 건지 모르겠지만 분수 등 수학 기호를 입력하기에는 꽤나 불편함이 많은 듯 합니다.
이렇게 자연수의 곱셈과 나눗셈을 중심으로 하여 확장한 분수의 곱셈까지 이번 내용 요소에서 함께 다루어 보았는데요, 공교롭게도 다음에 다룰 내용도 분수의 연산, 그 중 가장 기본인 분수의 덧셈과 뺄셈입니다. 분수 입력을 어떻게 해야 쓰기도, 읽기도 편할지 고민을 좀 해보고 이어가도록 하겠습니다.
