4-1-3. 곱셈과 나눗셈
기본 원리 확장하여 더 큰 수에 적용하기
(세 자리 수)×(두 자리 수)
(두 자리 수)÷(두 자리 수)
(세 자리 수)÷(두 자리 수)
앞서 우리는 곱셈과 나눗셈이라는 우리에게 익숙한 계산 방법이 사실 가장 기본적인 덧셈과 뺄셈의 반복을 간단하게 나타낸 것이라는 걸 다시 확인해 보았습니다. 그럼 3학년 때 이미 곱셈과 나눗셈이 무엇인지에 대해 배웠는데 4학년 땐 무엇을 더 배우는 걸까요? 간단하게 말하면 조금 더 큰 숫자들을 곱하고 나누는 방법에 대해서 공부하려고 합니다. 그런데 왜 여기에 한 단원 전체를 투자해서 공부를 하는 걸까요? 우리가 앞으로 다룰 더 큰 수들에 대해 모두 새로운 단원으로 공부할 수는 없겠지만, 이번 단원을 통해 어떤 식으로 큰 수를 계산하는지에 대해 생각해보고 익힌다면 다음엔 여러분이 직접 적용할 수 있을 것이기 때문이라고도 말할 수 있겠습니다. 그래서 이번 단원을 함께 살펴볼 때는 직접적인 계산보다는 왜 그렇게 계산하는지에 대한 이유를 생각해보도록 합시다.
먼저 곱셈에 대해 살펴볼까요? 곱셈은 덧셈을 여러번 반복하는 것이라고 이미 정리한 바가 있었지요. 그러면 여러분은 매번 곱셈을 할 때 여러 번 더해서 구하나요? 5×3=5+5+5=15와 같이 간단하게 계산이 되는 경우도 있지만 숫자가 커진다면 계산이 헷갈릴 뿐더러 어차피 덧셈으로 계산할 것을 굳이 곱셈이라는 새로운 방법을 쓸 필요성도 줄어들겠지요. 지난 글에서 이야기했듯 보통 여러분은 2×1부터 9×9까지의 곱셈 계산 결과인 구구단을 외워서 한 자리 수 곱하기 한 자리 수를 계산합니다. 곱셈은 덧셈의 반복이지만 이러한 내용을 매번 새로 더하고 있을 수는 없으니 일의 자리 숫자끼리의 곱셈 결과는 미리 기억해두고 필요한 상황에 맞게 꺼내서 활용하고 있는 것이었지요. 이렇게 일의 자리 숫자의 곱셈은 단순히 외워서 대답할 수 있지만, 더 큰 자리는 어떻게 했나요? 15×13과 같이 두 자리 수 곱하기 두 자리 수는 어떻게 하지요? 예전에 인도에서는 구구단이 아니라 19×19까지인 19단까지 외운다는 뉴스가 나오곤 했는데, 숫자가 너무 많아져 외우기 어려울뿐더러 단순히 외우는 걸로만 해결하면 더 큰 자리수가 나왔을 때는 더욱 더 곤란해지기만 할 뿐이겠지요. 이렇게 큰 수의 곱셈에서는 한 자리 수 곱하기 한 자리 수의 결과인 구구단을 외웠던 내용을 바탕으로, 곱셈의 원리를 활용하여 자리수 단위로 나누어 계산을 하는 방법을 사용합니다. 무슨 뜻인지 이해가 잘 안되지요? 말로는 이해하기 어려울 지 몰라도 실제 예시를 보면 당연한 것이란 걸 알 수 있을 거에요.
3학년 때 배웠던 두 자리 수 곱하기 두 자리 수를 바탕으로 생각해 봅시다. 25×15는 무슨 뜻인가요? 앞서 정리했듯 식으로는 25+25+25+25… 이렇게 15번 더한 것으로도 표현할 수 있고, 길게 풀어 말하면 ‘25를 15번 더한 것’이라고 말할 수 있지요. 여기서는 그 의미를 조금 나누어 생각해 봅시다. 25×15가 25를 15번 더한 것이라면, 두 부분으로 나누어 생각하면 25를 10번 더한 것과 5번 더한 것의 합으로도 생각할 수 있지요? 다시 각각을 곱셈식으로 바꿔보면 25×10과 25×5가 됩니다. 두 결과를 합치면 15번 더한 것이니까 처음 식인 25×15가 되는 것이지요. 이렇게 나누게 되면 훨씬 쉽게 결과를 알 수 있는데요, 먼저 25×10은 25가 10개 있는 것이니 간단히 제일 끝에 0만 붙이면 되네요. 250입니다. 그럼 25×5는요? 25가 5개 있다는 것은 자리수 별로 나누어서 생각하면 20이 5개, 5가 또 5개 있는 것으로도 볼 수 있습니다. 그럼 여기서 이제 구구단을 활용하는 거에요. 이때를 위해 여러분이 달달 외운 것 아니겠어요? 구구단을 이용해 5×5와 20×5를 각각 계산하고 더해주면 125가 나오네요. 둘을 합쳐서 나오는 375는 결국 25를 10번 더한 후 다시 5번 더하는 것이니 총 15번 더하는 것, 즉 25×15가 맞지요? 이처럼 큰 수끼리 곱할땐 자리수를 기준으로 나누어서 따로 계산한 후 다시 합쳐주면 됩니다.
더 큰 숫자를 생각해 볼까요? 264×34는요? 264가 30번 그리고 4번 더해주면 되겠지요. 264×30과 264×4를 각각 계산하는 건 크게 어렵지 않을 겁니다. 이렇게 생각하면 숫자가 아무리 커지더라도 같은 방법을 적용하여 곱셈 문제를 해결할 수 있습니다. 자연수에 대한 곱셈 방법을 모두 터득한 셈이지요. 그렇기 때문에 앞으로 남은 5학년과 6학년에는 자연수에 대한 곱셈을 더이상 공부하지 않는 것이기도 합니다. 초등학교 과정에서는 (세 자리 수)×(두 자리 수)까지만 학습하지만, 자리수를 기준으로 나누어서 계산한다는 것을 이해하고 적용한다면 더 큰 자리수도 계산할 수 있으니까요.
이처럼 큰 수끼리의 곱셈 원리를 이해하고 확인해봤다면 이제 나눗셈 차례가 왔네요. 나눗셈을 쉽게 풀어 말하면 뺄셈을 반복하는 것이라고 이미 확인했었지요. 뺄셈을 여러번 반복한다는 것은 무슨 뜻일까요? 더 쉽게 말하자면 ‘몇 번 들어가느냐’에 대한 이야기라고 할 수 있습니다. 지난 글에서의 상황을 다시 한 번 보면서 생각해 봅시다.
이렇게 20에서 5개씩 4번 빼니 전체가 모두 없어졌지요? 이를 식으로 표현했을 때 20÷5=4라고 말하는 것이었습니다. 그런데 뭔가 이미 해본 것 같은 느낌이 들지 않나요? 그렇습니다, 이미 여러분도 알고 있고 방금 전에도 확인했다시피 나눗셈은 곱셈의 반대 계산입니다. 앞서 말한 것을 곱셈으로 말하면 5개씩 묶음이 4번 있을 때 20이 되는 것처럼요. 그래서 앞서 확인한 큰 수의 곱셈을 반대로 활용하면 큰 수의 나눗셈을 계산할 수가 있게 되는 것이지요. 지난 글에서 말한 것과 같은 내용이지요.
그럼 어떻게 그게 가능한지를 더 큰 숫자를 활용하여 연습해보도록 합시다. 이번에는 250÷15에 대해서 생각해 보려고 합니다. 말로 풀어서 한다면 무슨 뜻이 되나요? ‘250-15-15…를 몇 번 반복할 수 있느냐’, 혹은 ‘250 안에 15가 몇 개 들어가느냐’ 정도로 말할 수 있겠지요? 이를 곱셈으로 바꿔서 말한다면, ‘15가 몇 개 있어야 250이 되느냐’ 가 되는 것입니다. 앞서 계산한 두 자리 수 곱하기 두 자리 수가 여기서 활용이 되는 것이지요. 큰 수의 곱셈을 할 때 자리수를 기준으로 큰 묶음으로 나눠서 계산했던 것처럼, 여기서도 먼저 큰 묶음을 생각해볼 수 있습니다. 15를 10개씩 묶은 것이 150, 20개씩 묶은 것이 300이 되는데, 이 중 250 안에 들어갈 수 있는것은 10개씩 묶은 것이지요? 그럼 250 안에는 15가 10개 들어가고도 100이 남았다라고 말할 수 있습니다. 이제는 남은 100 안에 15가 몇 개 들어가는지 확인해볼 차례네요. 곱셈으로 계산해보면 15가 6개 있으면 90, 7개 있으면 105이므로 6개 들어가면 10이 남게 되네요.
정리하자면 250 안에는 15가 10개 묶음 하나, 1개 묶음 여섯이 들어가고 10이 남게 됩니다. 식으로 쓰자면 250÷15=16…10 으로 표현할 수 있지요. 나눗셈은 이처럼 곱셈의 반대 계산이므로 주어진 식이 무슨 의미인지를 풀어서 생각해본다면 새로운 방법이 필요한 게 아니라 곱셈을 활용하여 계산할 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 숫자가 커진다고 해서 새로운 방법이 필요한 것이 아니라 자리수를 기준으로 묶어서 생각하면 된다는 뜻입니다. 마트에서 봉지라면을 살 때를 생각해 보세요. 라면이 많이 필요할 때는 낱개 포장된 봉지라면을 여러 봉지 담는 것이 아니라 여러개가 한 팩으로 묶여있는 멀티팩을 집는게 훨씬 편리하지요? 나눗셈에서도 마찬가지로 생각하면 됩니다.
이처럼 4학년에서 다시 배우는 곱셈과 나눗셈은 3학년때 배운 자연수의 곱셈과 나눗셈에서 한 발짝 더 나아가 더 큰 수에서는 어떻게 계산을 할 수 있느냐에 대해 배우게 됩니다. 이번 단원이 자연수에 대한 곱셈과 나눗셈으로는 마지막 단원인데요, 그 이유는 앞서 말했듯이 숫자가 아무리 커지더라도 기본 계산 방법은 바뀌지 않기 때문입니다. 숫자가 많이 커 10개 묶음으로는 쉽게 계산이 어렵다면 100개 묶음으로, 그것도 안된다면 1000개 묶음부터 차례대로 몇 묶음씩 들어가는지 계산한다면 방법 자체는 완전히 똑같으니까요. 이러한 방법을 기억하고, 여러번 연습하면서 손과 머리에 익숙하게 남아있을 수 있도록 노력해 봅시다.
이렇게 큰 수의 곱셈과 나눗셈 계산을 하는 방법을 익혔으니 이제 곱셈와 나눗셈은 더 이상 배울 필요가 없을까요? 안타깝지만 아직 갈 길이 남았습니다. 지금까지 우리가 연습한 방법은 1, 2, 3... 이렇게 셀 수 있는 자연수의 계산에 대한 것이었습니다. 하지만 우리는 자연수뿐만이 아니라 다른 방법으로 표현한 수에 대해서도 공부를 하고 있지요? 분수나 소수 같은 것 말입니다. 자연수의 곱셈과 나눗셈은 이제 모두 해결할 수 있으니 이제는 이러한 다른 체계의 수로 곱셈과 나눗셈을 확장시켜볼 예정입니다. 바로 다음 글부터요.
