3-2-1. 곱셈, 3-2-3. 나눗셈
곱셈과 나눗셈의 기본 원리
3-2-1. 곱셈
(세 자리 수)×(한 자리 수)
(두 자리 수)×(두 자리 수)
곱셈의 활용
곱셈이 무엇일까요? 마음 속으로 간단하게 설명을 한번 해 봅시다. 어떻게 설명해주면 아직 곱셈에 대해 알지 못하는 어린 동생들이 여러분의 설명을 듣고 곱셈이 무엇인지 대략적으로나마 이해할 수 있을까요? 가장 간단한 설명 중 하나는 이미 우리에게 익숙한 연산을 활용하여 표현하는 것이겠지요. 이렇게 말하자면 곱셈은 같은 수를 여러 번 더하는 것을 간단히 표현하는 방법이라고 말할 수 있겠습니다.
예를 들면 15+15+15+15는 15를 4번 더한 것이므로 이를 15×4로 나타낼 수 있다는 것이지요. 이제 반대로 확인해 볼까요? 25×15는 무슨 의미일까요? 그렇습니다, 25를 15번 더한 것, 즉 25+25+25+25…… 이렇게 15번 반복해서 쓴 것을 간단히 나타낸 것입니다. 이러한 곱셈의 기본적인 뜻은 계산만 하다보면 잊어버리기가 쉬운데요, 원래의 뜻을 모르면 숫자가 커져 계산이 복잡해지면 더 헷갈리기 쉬우니 꼭 무슨 뜻인지부터 생각해봤으면 좋겠습니다.
이러한 곱셈을 활용하여 우리는 이미 다양한 숫자들을 계산해 왔습니다. (한 자리 수)×(한 자리 수)부터 시작해 볼까요? 글자로 길게 적어서 그렇지 여러분들은 이미 사실 다 외우고 있습니다. 구구단이 (한 자리 수)×(한 자리 수) 잖아요? 이제는 물어보면 반사적으로 결과를 이야기할 수 있을 구구단의 내용이 이러한 기본 곱셈을 나타내는 것입니다. 매번 여러 번 더해서 결과를 알기에는 번거로움이 많으니, 가장 기본적인 (한 자리 수)×(한 자리 수)의 결과들은 모두 외워버린 것이지요. 혹시 아직도 구구단을 다 외우지 못한 학생도 있을까요? 그렇다면 지금이라도 하나씩 외우는 것을 추천합니다. 지금까지는 직접 더해서 계산 결과를 확인할 수 있었을 지 모르지만, 앞으로는 숫자가 훨씬 커지다 보니 하나씩 더해서는 너무나 오래 걸리고, 무슨 의미인지 이해하기 어려울 수 있으니까요.
이렇게 (한 자리 수)×(한 자리 수)부터 시작하여 3학년 과정에서는 (세 자리 수)×(한 자리 수), (두 자리 수)×(두 자리 수)의 계산까지 이미 알아보았습니다. 숫자가 아무리 커져도 같은 수를 여러 번 더한 것이라는 기본적인 뜻만 알고 있다면 헷갈일 일은 없었지요. 자리수가 커졌지만 계산할 때는 여전히 구구단만 잘 기억하고 있다면 큰 수의 곱셈도 할 수 있었구요. 방법이 잘 기억이 나지 않는다구요? 곧 다시 확인해볼테니 걱정하지 말고 곱셈의 기본 의미만 기억하고 구구단 복습만 철저히 해 두도록 합시다.
3-2-3. 나눗셈
(두 자리 수)÷(한 자리 수)
(세 자리 수)÷(한 자리 수)
곱셈이 여러 번 더하는 것을 간단히 나타내는 방법이라면 나눗셈은 무엇일까요? 조금 감이 오지 않나요? 그렇습니다, 흔히 말 그대로 ‘나눈다’라는 의미로 보면 큰 덩어리를 몇 개로 나눈다는 걸로만 생각하기 쉽지만 다른 방법으로도 생각할 수 있습니다. 20÷5를 예로 들어 생각해 봅시다. 말로 풀어서 말하자면 ‘20을 5묶음으로 나눈 것’으로 말할 수 있고, 그러면 한 묶음에 4개씩 들어가게 되지요. 그림으로 표현하자면 다음과 같습니다.
이 모습은 익숙하지요? 색깔이 다른 5개의 그룹에 포함된 동그라미의 갯수가 같도록 20개의 동그라미를 묶어보았습니다. 5개의 그룹으로 나누어보니 한 그룹에 4개씩 동그라미가 들어갔지요? 이를 수와 연산 기호를 사용한 식으로 나타낸 것이 20÷5=4입니다.
그런데 다른 방법으로 접근해보면 이렇게도 볼 수 있습니다. 아래의 그림을 봅시다.
마찬가지로 20개의 동그라미를 5묶음으로 나누려고 합니다. 같은 크기의 그룹으로 나누어야하니 한 그룹당 한 개의 동그라미씩 차례대로 넣어봅시다.20개의 동그라미에서 각각의 묶음에 똑같이 하나씩 이동시켜 보는 것이지요. 왼쪽부터 차례대로 1그룹, 2그룹, 3그룹, 4그룹, 5그룹이라고 이름을 붙여주었을 때, 동그라미에 각 그룹의 이름을 적어주고 옮기는 겁니다. 먼저 하나씩 주면 어떻게 될까요? 그룹이 모두 5개니까 하나씩 주면 남아있는 동그라미의 갯수는 20-5라고 쓸 수 있겠지요? 그런데 아직 많이 남았네요. 그러면 하나씩 더 줍시다. 바로 윗 칸의 동그라미도 1부터 5까지 번호를 붙여주고 보내주는 겁니다. 그러면 20-5-5가 되네요. 아직도 많이 남았죠? 계속해서 반복해 봅시다. 20-5-5-5-5=0. 5씩 4번을 뺐더니 더 이상 남은 게 없네요. 동그라미 한 개씩을 4번 반복하여 보내줬기 때문에 각각의 묶음을 보면 모두 4개씩 똑같이 가지고 있지요? 이렇게 나눗셈은 뺄셈의 반복으로도 설명할 수 있습니다. 조금 정리하여 표현하자면, 몇 번 포함하고 있냐고도 말할 수가 있습니다.
그런데 덧셈과 뺄셈은 반대 관계였지요? 크기로만 본다면 5를 4번 빼는 것과 5를 4번 더하는 것은 같은 크기가 되지요. 5+5+5+5=20이고, 20-5-5-5-5=0이잖아요. 그런데 덧셈을 반복하는 건 무엇이었나요? 앞서 보았듯 곱셈의 기본 의미가 같은 수를 여러 번 더하는 것이었습니다. 그래서 덧셈과 뺄셈이 반대 관계였듯, 곱셈과 나눗셈도 반대 관계로 생각할 수 있는 것입니다. 실제로 나눗셈 계산을 할 때는 이렇게 여러번 빼는 것을 반복하기엔 너무나 시간이 오래 걸리기 때문에 곱셈을 활용하여 반대 계산을 하는 것이지요. 여기까지가 3학년때 배운 곱셈과 나눗셈의 기본 원리였습니다.
곱셈과 나눗셈이라는 연산이 가장 기초적인 사칙 연산 중 하나이면서도 학생들이 그 의미를 정확히 이해하지 못하고 사용하는 것이기도 합니다. 이러한 개념이 처음 시작되는 초등학교 과정부터 정확히 이해하고, 그로부터 나아가야 앞으로 자연수의 연산 외에 다른 수 체계나 기호의 연산에서도 확장시켜 활용할 수 있을 것입니다. 이번에는 기본적인 곱셈과 나눗셈의 정의에 대해 알아보았고, 다음부터는 더 큰 수들에 있어서는 어떻게 이러한 연산을 적용시킬 수 있는지에 대해 살펴보도록 하겠습니다.
