5-1-2. 약수와 배수
곱셈과 나눗셈을 매개로 한 두 수 사이의 관계
약수와 배수의 의미를 알고 구하기
약수와 배수의 관계 이해하기
공약수, 최대공약수, 공배수, 최소공배수의 의미 알고 구하기
이제 자리수가 무엇인지 확인하고 이를 더 넓게 확장하면서, 얼마나 큰 수이던 간에 자리수를 바탕으로 표현하고 비교할 수 있게 되었습니다. 각각의 수가 만들어지는 과정과 읽는 방법, 비교하는 법까지 확인하였으니 이제는 이러한 수들 사이의 관계에 대해서 하나씩 배워볼 차례입니다.
먼저 배수부터 봅니다. 여러분도 평소에 몇 배라는 말을 많이들 듣고 써 보았을 것입니다. ‘이 과자 가격이 저것의 두 배야’ 같은 말로도요. 여기서 ‘두 배’라는 건 어떤 의미였나요? 수학 시간처럼 풀어서 말한다면 ‘곱하기 2’ 라는 뜻이었지요? 배수의 ‘배’가 여러분이 평소에 쓰는 이 뜻과 같습니다. 몇 배가 되는 수라는 뜻이지요. 그런데 아까 전 과자 가격에 대한 이야기에서, 과자 하나의 가격만 가지고는 몇 배인지 말할 수 있나요? 비교할 만한 다른 과자의 가격이 있어야 몇 배인지 말할 수 있겠지요? 앞서 수들의 관계에 대해 공부한다는 말이 이런 뜻입니다.
배수가 곱하기에 대한 이야기라고 말했는데요, 곱하기가 나왔으면 짝궁처럼 나오는 계산 방법이 하나 있지요? 네, 나누기입니다. 어떤 수를 곱했을 때 나오는 수를 ‘배수’라고 한다면, 어떤 수를 나누어 떨어지는 수는 ‘약수’라고 합니다. 예를 들어, 2에 3을 곱하면 6이 되기 때문에 6은 2의 배수라고 말할 수 있고, 3의 배수라고 말할 수도 있습니다. 반면에 6을 2로 나누면 3으로 나누어 떨어지고, 3으로 나누면 2로 나누어 떨어지기 때문에 2는 6의 약수라고 말할 수 있고, 3 또한 6의 약수가 됩니다. 덧셈과 뺄셈을 했을 때와 비슷하게 곱셈과 나눗셈도 서로 반대 계산이었기 때문에 배수와 약수 또한 연관이 됩니다.
그렇다면 공약수와 공배수는 무엇일까요? 약수와 배수 앞에 ‘공’이라는 글자가 붙었는데요, 여기서의 ‘공’은 ‘공통’과 같은 뜻이라고 생각하면 됩니다. 그렇다면 공배수를 풀어서 말한다면 어떻게 말할 수 있을까요? 공통된 배수라는 뜻이겠지요? 그런데 하나만 있을 때는 공통되었다는 말을 쓰지 않죠? 그래서 공배수를 말할 땐 숫자 두 개가 필요합니다. ‘3과 5의 공배수’처럼요. 그럼 3의 배수를 찾고, 5의 배수를 찾은 후, 공통된 숫자를 찾으면 그것이 공배수가 됩니다. 3의 배수는 3, 6, 9, 12, 15, 18…로 이어지겠고 5의 배수는 5, 10, 15, 20…으로 이어지지요. 그럼 같은 숫자가 15가 있지요? 3과 5의 공배수는 15가 되는 것입니다. 물론 그것 말고도 끝도 없이 더 있을텐데, 이렇게 공배수 중에서도 가장 작은 공배수를 특별히 ‘최소공배수’ 라고 부릅니다. 수를 세다보면 끝도 없이 나오기 때문에 가장 큰 공배수는 찾을 수가 없어서 가장 작은 공배수를 따로 이름을 붙여준 것이라고 생각해도 되겠습니다.
반대로 생각해보면 공약수도 무엇인지 알 수 있겠지요? 공통된 약수를 찾는 건데, 약수의 경우 어떤 수이든지 간에 1을 약수로 가지게 됩니다. 그래서 가장 작은 공약수를 찾는 건 의미가 없지요. 그래서 가장 큰 공약수에 따로 이름을 붙여 ‘최대공약수’라고 부르는 것입니다. 그런데 왜 최소공배수와 최대공약수만 따로 이름까지 붙여주는지 궁금한 학생들도 있을 것입니다. 5학년이 되어 조금 더 자세히 살펴볼 내용이지만, 미리 간단하게만 말하자면 이를 활용하여 다른 유용한 숫자들을 쉽게 구할 수 있기 때문입니다.
예를 들어 12와 20의 공약수를 구한다고 생각해 봅시다. 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이고 20의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20이니까 공통되는 약수는 1, 2, 4 세 개가 되겠네요. 그 중 최대공약수는 4가 될거구요. 이렇게 작은 숫자의 경우에는 약수를 모두 구해서 공약수를 골라낼 수 있지만 숫자가 커질수록 점점 힘들어집니다. 168과 260의 공약수를 이렇게 하나씩 모두 구할 수 있을까요? 25664과 76193의 공약수는요? 이런 경우는 앞서처럼 모든 약수들을 구하는 것이 아니라 두 수의 최대공약수를 구한 다음 그 수의 약수를 구하면 모든 공약수를 구할 수 있습니다. 앞서 직접 찾아본 12와 20의 최대공약수는 4였지요? 4의 약수를 구하면 1, 2, 4가 나오는데 이건 앞서 하나씩 확인해본 12와 20의 공약수와 같지요. 이런 식으로 최대공약수를 활용할 수 있기 때문에 따로 이름까지 붙여준 것입니다.
이렇게 두 수의 관계에 대한 내용 중 가장 기본적인 약수와 배수에 대해 간단히 살펴보았습니다. 지금까지 배운 수의 체계와는 달리 곱셈과 나눗셈의 계산까지 필요한 내용이었는데요, 그래서 그런지 헷갈려 하는 학생도 많은 내용입니다. 언제나 그렇듯이 계산 하나 하나에 집착하기보다는 무슨 뜻이고 왜 이렇게 쓰는지에 대해서 생각해본다면 조금 더 쉽게 이해할 수 있을 것입니다. 여전히 헷갈리는 학생은 천천히 다시 읽어 보고, 실제로 약수와 배수를 찾아보면서 비교해본다면 큰 도움이 될 것입니다. 너무 급하게 하지 않아도 됩니다. 5학년이 되어 본격적으로 공부할 내용이니 지금은 이런 관계가 있구나 정도만 생각해 주세요.
여기까지가 초등학교 교육과정 핵심 개념 중 '수의 체계'에 대해 초등학교 과정에서 배우는 과정을 정리한 내용입니다. 이제는 우리가 너무나 익숙하게 받아들이는 자리수의 개념이 초등 과정에서 얼마나 중요하게 다루고 있는지를 생각하는 기회가 되었으면 합니다. 이 다음으로는 핵심 개념 '수의 연산'으로 넘어갑니다. 이번에도 너무나 친숙한 연산인 곱셈과 나눗셈을 중심으로 다룰 예정인데, 익숙해서 설명하기도 힘든 이러한 연산이 학생들에게 어떻게 도입되는지에 초점을 맞추어주셨으면 합니다.
