3-2-5. 분수
분수의 필요성과 개념
대분수와 가분수 알아보기
분수의 크기 비교하기
3학년 1학기에는 분수에 대해 처음 배우면서 0보다 크고 1보다 작은 수를 표현하기 위해 사용한다고 이야기를 했습니다. 그럼 여기서 자연스럽게 나와야 할 질문들이 있지요. 0보다 크고 1보다 작은 수는 이제 분수를 사용해서 표현할 수가 있는데, 그럼 1보다 크고 2보다 작은 수는요? 2보다 크고 3보다 작은 수는? 3보다 크고 4보다 작은 수도 있겠지요? 이런 식으로 끝도 없이 자연수 사이의 수들에 대해 생각해볼 수 있습니다. 이러한 숫자는 어떻게 표현할까요? 마찬가지로 분수를 사용해서 표현할 수 있습니다. 이해하기 힘든 어려운 방식이 아니라 너무나 자연스러운 방법으로요.
먼저, 앞에서 알아봤던 분수 중 5/8에 대해 다시 생각해봅시다. 5/8는 0보다는 크고 1보다는 작은 수이지요. 조금 바꾸어서 말하면 5/8는 0보다 5/8만큼 더 큰 수라고 말해도 되겠지요? 아무것도 없는 것보다는 자기 자신만큼 더 큰 수일 테니까요. 그렇다면 1보다 크고 2보다 작은 수 중 1보다 5/8만큼 더 큰 수는 어떻게 쓸 수 있을까요? 어렵지 않습니다. 그냥 5/8 옆에 1을 써 주면 됩니다.
이렇게요. 그럼 1보다 5/8만큼 더 큰 수라는 의미가 됩니다. 엄청나게 새롭거나 생각하지도 못한 방법이 아니지요? 누구든지 보고 이해를 할 수 있도록 많은 사람들이 약속해서 정한 방법입니다. 수학에 대해 연구하는 사람 중 일부러 ‘한 번 보고는 이해하지 못하도록 어렵게 만들어야지~’ 라고 생각하는 사람은 없어요. 오히려 반대로 모두가 이미 알고 있는 것들을 활용해서 조금이나마 더 쉽게 이해할 수 있도록 고민하고 있지요. 이렇게 자연수 오른쪽에 분수를 바로 이어서 쓰는 표현 방법은 왼쪽의 자연수보다 오른쪽의 분수만큼 더 큰 수를 나타낼 때 쓰는 방법이고, 이러한 분수의 모양을 ‘대분수’라고 합니다. 이 때 대는 큰 대大가 아니라 허리띠 할때 말하는 띠 대帶라는 한자를 씁니다. 허리띠처럼 분수의 옆에 자연수가 붙어있다고 생각하면 헷갈리지 않겠지요?
이렇게 대분수를 활용하여 0보다 크고 1보다 작은 수 뿐만이 아니라 수많은 자연수 사이의 숫자들을 표현할 수가 있게 되었습니다. 그런데 이런 수들을 표현하는 또다른 방법이 하나 더 있습니다. 마찬가지로 분수를 활용하는 방법인데요, 분수의 처음 뜻으로 돌아가 생각해보면 이해가 쉽습니다. 마찬가지로 5/8을 통해 생각해봅시다. 5/8의 뜻이 무엇이었나요? ‘팔 분의 오’라고 읽었고, 생략된 내용까지 모두 살려 읽는다면 ‘1을 똑같은 크기의 8조각으로 나눈 것 중 5조각’ 이라고 설명할 수 있었죠. 그렇다면 여기서, 5조각이 아니라 8조각이면 어떻게 될까요? 8/8이라고 쓰고, 그 뜻은 ‘1을 똑같은 크기의 8조각으로 나눈 것 중 8조각’이 되겠지요. 그렇다면 나눈 것 모두를 의미하는 것이니 그냥 1과 크기가 당연히 같겠지요?
이렇게 쓸 수 있는 것입니다. 분수의 모양이 뭔가 특이하지요? 분모와 분자가 똑같은데요, 이런 경우에는 모두 1과 같은 크기를 의미합니다. 1을 2조각으로 나눈 것 중 2조각이나, 3조각으로 나눈 것 중 3조각이나, 4조각으로 나눈 것 중 4조각 등등 어떤 경우에도 나눈 조각 수 모두를 센다면 처음 1과 같아질 테니까요. 그렇다면 그보다 큰 9/8라는 분수를 생각해 봅시다. 앞에서 복습한 대로 똑같이 해 본다면 ‘팔 분의 구’ 라고 읽고 ‘1을 똑같은 크기의 8조각으로 나눈 것 중 9조각’ 이라는 뜻이라는 걸 알 수 있겠지요. 그런데 1을 8조각으로 나눴는데 9조각이나 된다면? 1보다 더 큰 수를 의미한다는 걸 알 수 있겠지요? 조금 더 나아간다면 1보다 1/8만큼 큰 수라는 것도 이해할 수 있을 거에요. 앞에서 우리가 다시 정리했던 대분수로 표현한다면 1과 1/8이라고 쓸 수 있는데, 이는 9/8과 같은 크기의 수를 표현하는 다른 방법이 되는 거에요. 이렇게 분모보다 분자가 더 큰 분수를 ‘가분수’라고 부르고, 대분수와 마찬가지로 0과 1사이 말고도 다른 많은 자연수들 사이의 수를 표현하는 또다른 방법으로 활용하고 있습니다. 아래와 같이 모양이 다르지만 크기는 같기 때문에 아래와 같이 등호(같다는 의미의 기호인 =)를 사용해서 표현할 수 있찌요.
그렇다면 이러한 대분수와 가분수의 크기 비교는 어떻게 하는게 좋을까요? 여기에서도 여러분이 이전에 배웠던 자연수의 크기 비교를 활용할 수 있습니다. 29와 31 중 어떤 수가 더 큰지 다들 바로 찾을 수 있지요? 가장 큰 자리인 2와 3을 비교해보면 다음 자리수와 관계없이 바로 31이 더 크다는 사실을 알 수가 있습니다. 분수에서도 마찬가지입니다. 대분수는 자연수와 분수가 붙어있는 모양인데, 둘 중 더 큰 쪽은 자연수이지요. 그렇기 때문에 자연수끼리 먼저 비교해보고, 같은 자연수라면 분수까지 비교해서 대소를 알 수 있습니다. 가분수의 경우엔 자연수가 없으니 바로 분수끼리 비교해보면 확인할 수가 있겠지요.
이렇게 3학년 때에는 자연수 사이의 수들의 크기를 표현하기 위해 분수라는 개념을 처음 배웠고, 다양한 표현법에 대해 익히고 크기를 비교해 보았습니다. 자연수와 마찬가지로 분수 또한 ‘수’를 표현하는 하나의 방법이었습니다. 그렇다면 자연수로 했던 많은 계산들 또한 분수에서도 가능하지 않을까요? 피자 1판과 2판이 있다면 모두 합쳐 3판이 있었던 것처럼, 피자 2조각과 3조각이 있다면 모두 합쳐 5조각이 있다고 다들 바로 말할 수 있잖아요. 4학년에서는 이렇게 3학년 때 배웠던 분수를 활용해 수의 계산을 향해 나아가게 됩니다. 이제 본격적으로 4학년 내용에 대해 차근차근 알아보도록 합시다.
