E. 측정 - 양의 측정 - 각도
3-1-2. 평면도형, 4-1-2. 각도
이제 수와 연산 영역을 마무리하고 두 번째 영역인 측정 영역에 대해 살펴보도록 합시다. 측정한다는 건 무
엇을 한다는 것인가요? 무언가를 잰다는 뜻이지요? 키를 재기도 하고, 몸무게를 재기도 하고, 달리기를 할 때 걸린 시간을 재기도 하지요. 이렇게 잰다는 것이 수학과 무슨 관련이 있을까요? 이런 상황을 생각해보면 이해하기 쉬울 겁니다. 가영이와 나영이 두 학생이 있다고 생각해 봅시다. 두 명이 등을 맞대고 키를 재보니 가영이가 더 키가 컸습니다. 여기까지는 눈으로만 보고 확인할 수 있지요. 그런데 얼만큼 더 큰가요? 손가락 한 마디만큼? 하지만 손가락은 각자 길이가 다 다르잖아요. 이런 상황에서 여러분은 보통 어떻게 말하나요? 아마 대부분의 학생이 ‘가영이가 나영이보다 5cm 더 커.’ 같은 식으로 표현할 겁니다. 실제로 존재하는 키의 차이를 숫자로 표현한 것이지요. 이렇게 측정이라는 것은 단위를 이용하여 양을 숫자로 표현하는 것을 말합니다. 방금처럼 키와 같은 길이를 숫자로 표현할 수도 있고, 몸무게와 같은 무게를, 혹은 시간이나 부피도 숫자로 표현할 수 있지요. 그렇기 때문에 수학에서 이러한 측정에 대해서도 함께 공부하는 것입니다.
그 중에서도 이번 4학년에 여러분이 배울 측정에 대한 내용은 ‘각도’에 대한 것입니다. 아마 들어본 듯 들어보지 않은 듯 헷갈릴 학생들도 있을텐데요, 바로 전 3학년때 배운 ‘각’에 대해서는 어느정도 알고 있지요? 이러한 각의 크기를 표현하는 것이 각도입니다. 길이를 표현하는 단위로 mm/cm/m 등이 있었고, 시간을 표현할 땐 시/분/초, 무게를 표현할 때 g/kg을 썼던 것처럼 각의 크기를 표현할 때 쓰는 단위라고 말할 수 있지요. 지금까지는 길이와 시간, 무게처럼 실생활에서 많이 사용하는 속성들을 측정하고 수를 활용해 표현해 봤다면, 이제부터는 수학에서 다루는 도형들의 속성을 나타낼 때 쓸 수 있는 것들에 대해서도 조금씩 살펴볼 차례입니다. 그 첫번째가 이번에 다룰 각도가 되겠는데요, 이 각도에 대해 생각하기 전에 먼저 3학년 때 배웠었던 ‘각’에 대해 돌아보도록 합시다.
3-1-2. 평면도형
각과 직각 알아보기
직각삼각형, 직사각형 알아보기
도형 하면 여러분들은 어떤 것들이 떠오르나요? 삼각형, 사각형, 원, 오각형 등등 여러가지 이름들이 생각나지요? 그런데 여러분들이 잘 떠올리지 못하는 도형이 하나 있습니다. 3학년 때 배운 ‘각’이 바로 그것이지요. 아무래도 도형 하면 떠오르는 닫힌 모습이 아니라 한 쪽이 열려있어서 그럴텐데요, 이 또한 도형 중 하나입니다. 말로 조금 더 정리하여 말해 볼까요?
‘각’이란 한 점에서 그은 두 반직선으로 이루어진 도형입니다. 아래의 그림과 같은 모양인데요, 우리가 일반적으로 보는 삼각형과 같은 도형처럼 오른쪽 부분이 선으로 막혀 있지 않지만 이러한 각도 도형 중 하나입니다. 삼각형은 세 선분으로 둘러싸인 모양이었고, 사각형은 네 선분으로 둘러싸인 모양이었던것처럼 각은 한 점에서 그은 두 반직선으로 이루어진 모양에 이름을 붙였다고 생각하면 됩니다.
삼각형 하면 여러분은 어떤 모양의 삼각형이 떠오르나요? 비슷하게 생겼을지는 몰라도 모두가 완전히 똑같은 모양의 삼각형을 떠올리지는 않았겠지요? 세 선분으로 이루어진 삼각형이 다양한 형태가 있는 것처럼 각의 경우에도 한 점에서 시작한 두 반직선이라는 조건만 맞는다면 여러가지 모양의 각이 나올 수 있습니다. 위의 왼쪽 각처럼 뾰족한 모양도 있고, 오른쪽의 각처럼 반듯반듯한 모양도 있지요. 그 밖에도 여러 모양의 각이 있을 수 있는데, 그 중에서도 오른쪽 그림처럼 선 왼쪽의 빨간색 부분과 오른쪽의 파란색 부분의 벌어진 정도가 같아진 경우에는 특별히 ‘직각’이라는 이름을 따로 붙여주었습니다. 이 이름이 뭔가 익숙하지요? 우리가 아는 ‘직각삼각형’과 ‘직사각형’의 ‘직각’, ‘직’이 의미하는 것이 이 ‘직각’을 가지고 있다는 뜻이기도 합니다.
이렇게 3학년 1학기의 평면도형 단원에서는 흔히 아는 삼각형이나 사각형 같은 도형 외에도 ‘각’이라는 도형에 대해 처음 알아보았고, 그 중에서도 조금 특별한 ‘직각’도 따로 알아보았습니다. 그리고 이러한 직각이 포함된 다른 삼각형과 사각형에 대해서도 정리해보았지요. 그런데 이렇게 직각은 설명했지만, 왼쪽의 각은 어떻게 설명할 수 있을까요? 왼쪽 각을 보지 못한 친구에게 어떻게 설명해줘야 왼쪽 모양을 정확히 이해하고 직접 그리게 할 수 있을까요? 이 질문을 해결하기 위한 방법을 생각하면서 4학년 내용을 시작해보도록 합시다.
4-1-2. 각도
각의 크기 비교하기
각도를 알고 각도기로 각도 재기
크기가 주어진 각 그리기
예각과 둔각 구별하기
각도 어림하기
각도의 합과 차 구하기
삼각형의 세 각의 합 이해하기
사각형의 네 각의 합 이해하기
앞서 3학년 때 배웠던 내용을 다시 돌아보았듯이, ‘각’은 한 점에서 그은 두 반직선으로 이루어진 도형입니다. 그런데 이렇게 그은 각이 모두 똑같이 생겼나요? 여러 각들을 겹쳐서 보면 모양이 다르다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그런데 무엇이 다른가요? 각을 이루고 있는 선은 반직선이기 때문에 길이가 정해져 있지 않습니다. 우리가 그리기 쉽게 일부만 표시한 것 뿐이지요. 그렇기 때문에 길이로는 여러 각들을 비교할 수가 없습니다. 그렇다면 남은 것은 무엇일까요? 두 반직선이 얼마나 벌어져 있는지가 다르지요. 이렇게 각에서는 얼마나 벌어져있냐에 따라 모양이 결정됩니다.
그런데 앞서 가영이와 나영이의 키를 비교했을 때를 다시 생각해 봅시다. 두 명이 키를 재어보니 가영이가 나영이보다 키가 더 컸습니다. 그런데 다영이가 와서 나영이랑 키를 재어보니 다영이도 나영이보다 키가 더 크다고 해 봅시다. 그렇다면 가영이와 다영이 중에선 누가 더 클까요? 가영이? 다영이? 그렇습니다, 이것만으로는 알 수가 없습니다. 그렇다면 가영이가 나영이보다 5cm 더 크고, 다영이는 나영이보다 8cm 더 크다면 어떤가요? 이번에는 알 수가 있지요? 다영이가 가영이보다도 더 크다는 걸 알 수 있습니다. 직접 가영이와 다영이의 키를 비교하지 않아도 되지요. 이번에는 얼마나 더 큰지를 숫자로 바꾸어 표현했기 때문에 가능했던 건데요, 각에서도 마찬가지입니다. 키에서 길이를 숫자로 표현했듯, 각에서도 벌어진 정도를 숫자로 표현하면 이렇게 직접 모든 것을 대어 비교하지 않아도 알 수가 있게 됩니다. 이렇게 각이 벌어진 정도를 ‘각도’라고 합니다.
다시 한번 키를 비교했던 이야기를 가져와 봅시다. 키를 비교할 때 ‘cm’라는 단위를 썼었지요? 마찬가지로 각도 또한 표현하는 단위가 있습니다. 각도에서는 완전히 펼쳐진 직선을 180º라고 쓰고, 180’도’라고 읽기로 서로 약속했습니다. 그럼 이걸 절반으로 나눴던 직각은 어떻게 쓰고 읽어야 할까요? 네, 180의 절반이니까 90º라고 쓰고 90도라고 읽습니다. 이런 식으로 각의 벌어진 정도를 표현할 수 있게 된 것입니다. 그런데 180º를 표현하려면 직선을 그리고, 90º를 표현하려면 직각을 그리면 되지만 60º나 50º, 15º 같은 다른 각도를 표현하려면 쉽지가 않겠지요? 그래서 우리는 이런 다양한 각도를 측정하고 그릴 수 있도록 미리 표시해둔 도구를 사용합니다. 길이를 재고 원하는 길이만큼 그릴 땐 자를 사용했듯, 각도를 재고 원하는 크기의 각을 그릴 때는 ‘각도기’를 사용합니다. 이러한 각도기를 사용하는 방법은 이제 학교에서 천천히 배울테니, 지금은 왜 각도라는 것이 필요했는지, 어떻게 정했는지에 조금 더 집중해서 생각해보면 나중에 잊지 않고 활용할 수 있을 것입니다.
이렇게 여러 가지 각이 벌어진 정도를 표현하기 위해 도입한 단위가 각도입니다. 그 중에서도 조금 더 특별한 경우에 이름을 붙여준 것이 ‘직각’이었고, 이를 각도로 표현하면 90º였구요. 그렇다면 다른 각도의 경우는 어떨까요? 직각처럼 굉장히 특별한 경우가 아니기에 모든 각에 이름이 붙지는 않지만, 대략적인 크기에 따라 각을 나누어서 말하기도 합니다. 그럼 어떤 크기를 기준으로 나누면 좋을까요? 이미 우리는 특별한 각 하나를 배웠지요? 그렇습니다, 직각을 기준으로 그보다 더 작은 각들과 더 큰 각들로 나누어서 구분합니다. 0º보다는 크고 90º보다는 작은 각을 ‘예각’, 90º보다는 크고 180º보다는 작은 각을 ‘둔각’이라는 종류로 나누어서 부르는 거지요.
이렇게 큰 범위의 각들에 이름까지 붙여주었습니다. 이제 우리가 아는 각의 이름이 세 가지가 되었지요. 예각, 직각, 둔각이 바로 그것입니다. 그럼 이런 식으로 이름을 다 붙여주면 될 텐데, 왜 º(도)라는 단위를 사용해서 숫자로 나타내려고 할까요? 물론 수많은 각들에 모두 이름을 붙이고 외우는 게 쉽지 않은 일인것도 맞지만, 숫자로 나타내었을 때의 장점 또한 큰 도움이 되기 때문입니다. 어떤 장점이 있을까요?
이번에도 길이를 바탕으로 한번 생각해 봅시다. 연필 두 자루가 있는데요, 길이를 각각 재어보니 A연필은 6cm이고 B연필은 5cm입니다. 그렇다면 두 연필을 한 줄로 길게 두면 전체 길이는 몇 cm가 되나요? 아마 많은 학생들이 깊게 생각하지 않고 바로 대답할 수 있었을 겁니다. 11cm가 되지요. 그런데 A연필과 B연필의 길이는 각각 자를 이용해서 측정했을 때에야 알 수 있었는데, 어떻게 두 연필을 한 줄로 길게 두었을 때의 전체 길이는 바로 알 수가 있었나요? 그렇습니다, 길이를 나타낸 숫자를 더해서 측정하지 않고도 바로 계산할 수가 있었지요. 각도 또한 마찬가지입니다. 같은 규칙의 숫자를 표현하여 나타내었기 때문에 각도 또한 이런 식의 덧셈 계산을 바로 할 수 있습니다. 뺄셈도 마찬가지이구요.
그럼 각도의 덧셈과 뺄셈은 무슨 의미일까요? 각도는 앞서 ‘각이 벌어진 정도’라고 간단히 정리하였지요? 그럼 각 두 개를 더한다는 것은 숫자가 커진다는 것이고, 그것은 더 많이 벌어진 것이라고 말할 수 있겠지요. 뺄셈은 반대로 숫자가 작아지니 더 적게 벌어진 것이라 말 할 수 있구요. 덧셈은 아마 많은 학생들이 바로 이해할 수 있을 텐데 뺄셈은 헷갈리는 경우가 많을 것 같은데요, 우리가 이미 잘 알고 있는 길이를 이용해보면 A연필과 B연필 중 어떤 연필이 얼마나 더 긴지를 생각해보면 됩니다. 무엇이 얼마나 더 긴가요? 어떻게 그걸 바로 알 수가 있었지요? 두 연필의 끝을 겹치고 같은 방향으로 놓은 후 차이를 직접 잴 수도 있지만, 숫자의 뺄셈으로도 쉽게 계산할 수가 있습니다. 각도에서도 마찬가지이지요.
이렇게 각이 벌어진 정도를 각도로 나타내면 덧셈과 뺄셈 같은 계산도 가능하게 되고, 이를 바탕으로 도형들에서 또다른 특징들을 찾아내고 표현할 수가 있게 됩니다. 그 중 한 가지를 먼저 살펴봅시다. 우리에게 가장 친숙한 도형 중 하나인 삼각형입니다. 삼각형은 이름 그대로 각을 세 개 가지고 있지요? 그렇다면 그 세 각의 크기를 더하면 어떻게 될까요? 사각형의 경우에는요? 여러분이 직접 다양한 모양의 삼각형과 사각형을 그려보고, 각의 크기를 측정하여 더해보면 놀라운 결과를 볼 수 있을 것입니다. 어떤 결과냐구요? 그건 여러분이 직접 해 보았을 때를 위해 남겨두도록 하겠습니다. 물론 결과도 중요하지만, 지금 여러분들에게 말해주고 싶은 것은 이렇게 각을 각도를 활용하여 표현함으로써 도형의 새로운 성질을 찾아내고 활용할 수 있다는 점이거든요. 꼭 한 번, 아니 여러 번 다양한 모양의 삼각형과 사각형을 그려보고 측정해보도록 하세요. 그럼 수업 시간에 선생님께서 해주시는 말에 더 귀기울여 듣게 될 거에요.
이렇게 각도를 활용하면 여러 도형의 새로운 특징들을 알 수가 있게 되는데요, 그래서 이 다음에 내용이 연결되는 단원들은 모두 도형 단원입니다. 그 중에서도 여러분에게 익숙한 종이 위의 그림들, 평면도형에 대해 각도를 적용해 볼 예정인데요, 이러한 평면도형들은 4학년 과정에서 모두 배우게 됩니다. 그래서 다음 차례로 하나씩 더 자세히 다룰 예정이니, 바로 아래에서는 자세한 내용보다는 각도와 어떻게 연결되는지 위주로 생각해보았으면 좋겠습니다.
