글로벌 최소 분산 포트폴리오, GMV

횡적 리스크 모델 시리즈 #2.

# MVO의 한계

MVO의 이론적 고상함은 가혹한 현실 앞에 속절없이 무너졌다. MVO 모델의 입력 변수로 들어가야 할 수익률과 변동성, 그리고 상관계수를 정확히 알 수 없다는 점, 그리고 입력 변수의 조그만 변화에도 MVO 모델이 매우 민감하게 반응한다는 점은 실무적으로 MVO 모델의 사용을 불가능하게 만들었다. 투자자들은 시간이 지남에 따라 이러한 한계점을 인식하게 되었고, 이에 대한 새로운 대안으로써 순수하게 리스크 기반의 포트폴리오 기법들을 사용하는 방향으로 선로를 틀었다. 특히나 2008년 글로벌 금융 위기 이후 이러한 경향은 보다 강해졌다.

# GMV

글로벌 최소 분산(GMV; Global Minimum Variance)은 투자자의 위험 성향이 아주 강한 경우의 MVO이다. 이러한 상황에서 투자자는 수익의 최대화보다 위험의 최소화를 우선순위로 두게 되며, 이에 따른 최적화는 가장 낮은 변동성의 포트폴리오를 구성할 수 있도록 가중치의 해를 찾는다. 또한 이후 모델링을 통해서도 살펴보겠지만 투자자가 단순히 모든 자산군들의 기대 수익률을 동일하다고 가정하였을 경우에도 이때의 최적해는 GMV가 된다.

결국 GMV는 투자자의 위험 회피 성향이 매우 강하거나, 혹은 개별 자산들의 성과 기대에 대한 차이가 없을 때의 최적 접근법이 된다. 이것이 말이 되는 이유는 개별 자산들의 수익률을 동일하다고 가정한다면 이는 결국 변동성이 높은 자산은 낮은 샤프 비율을 보일 것이기 때문이다. 물론 이것은 효율적 시장의 가정과는 상반되는 이야기지만, 실제로 변동성이 높은 자산의 샤프 비율이 낮다는 실증적 증거들이 종종 존재한다. 이른바 로우볼(Low-Vol) 팩터이다.

# GMV의 수학적 모델링

실무적으로 많은 경우, 투자자들은 자산 수익률에 대한 뷰를 직접적으로 제시하는 것을 선호하는 편은 아니다. 대신에, 그들은 기대 수익률에 대해서는 단순한 가정만을 상정해놓고, 위험의 예측에 보다 집중하는 경향이 있다. 가장 단순한 케이스의 경우, 포트폴리오 매니저는 모든 자산들의 초과 수익률 기댓값을 알려지지 않은 특정 상수(c)로 가정할 수 있다. 이때 원래의 MVO 모델은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

결국 MVO는 포트폴리오의 변동성을 최소화시킬 수 있는 가중치 값을 찾게 되며, 이때의 가중치의 해는 다음과 같다.

이처럼 모든 자산들의 기대수익률이 같다고 가정한다면, 각 자산의 샤프 비율은 자산별 변동성에 반비례하게 되고 따라서 최적 포트폴리오의 샤프 비율은 아래처럼 표현할 수 있다.

GMV 모델은 오직 공분산 행렬만은 입력 변수로 삼고 있기에, 이러한 공분산 행렬의 안정성을 제고하기 위해 일반적으로 다변량 GARCH 모형 같은 통계적 기법들이 사용되고 있다. 또한 미래의 실현 변동성을 예측하기 위해 옵션 시장의 내재 변동성 같은 도구들이 사용되기도 한다.

# 폭락장에 강한 모델, 그렇다고 최적은 아니야

매우 단순한 가정들을 가지고 있음에도 불구하고, GMV의 성과는 종종 다른 방법론들의 성과보다 더 나은 모습을 보인다. 특히나 위험 자산의 가격이 폭락했던 2008년과 2011년 같은 때는 GMV 모델이 빛을 발했던 시기였다. 하지만 GMV 모델이 때때로 다른 방법론들보다 아웃퍼폼 했음에도 불구하고, 이것의 성과는 보다 장기적인 관점에서 보면 리스크 버짓팅(Risk Budgeting) 모델들보다 나쁠 수밖에 없는데, 그 이유는 시장이 좋을 때 GMV가 위험 추구를 통한 수익 창출을 제대로 하지 못하는 매우 보수적인 모델이기 때문이다. 가장 위험을 회피하는 모델이라고 가장 최적의 모델은 아닌 것이다.