블랙-리터만 모형, BL
횡적 리스크 모델 시리즈 #7.
# 블랙-리터만 모형
블랙-리터만 프레임워크는 1990년에 피셔 블랙(Fischer Black)과 로버트 리터만(Robert Litterman)에 의해 처음 제시되었다. 피셔 블랙, 그렇다. 블랙-숄즈 옵션 공식의 창시자인 바로 그 블랙이다. 이 새로운 기법이 제시된 이유는 MVO가 입력 변수로 받아야 하는 미래의 수익률을 예측하는 것이 매우 어렵기 때문이다.
블랙-리터만 모델은 베이지안 통계에 기반하여 시장으로부터의 정보와 예상 수익률에 대한 투자자의 뷰를 결합하여 사용한다. 시장 정보와 투자자 뷰의 결합은 새로운 수익률과 공분산 추정치를 만들어내고 이는 다시 MVO 프로세스의 입력변수로 사용된다. 이러한 추정치는 보다 견고하고 안정적인 포트폴리오 가중치의 산출로 이어진다.
# 블랙-리터만 모형의 전개과정
블랙-리터만 모형을 사용하기 위한 첫 번째 과정은 현재의 시장 포트폴리오 가중치로부터 시장에 내재되어 있는 기대수익률을 역산해내는 것이다. 이것은 리버스 엔지니어링(Reverse Engineering)이며, 옵션 시장에서 내재변동성을 추출해내는 것과 같은 개념이다. 이 과정은 기대 수익률에 대한 시장의 사전 분포를 알아내기 위함이다.
만약 시장에 내재된 사전 분포가 산출되었다면, 이제 투자자는 자산별 절대적, 상대적 성과에 대한 뷰를 구체화해야 한다. 이는 시장 포트폴리오를 기반으로 투자자의 뷰가 가미해진 액티브 포트폴리오를 구성하기 위함이다. 이후 기대 수익률에 대한 시장의 사전 분포(Prior Distribution)와 투자자의 뷰가 준비되었다면, 블랙-리터만 모형은 이를 베이지안 프레임워크(Bayesian Framework)에 따라 결합하여 마침내 포트폴리오 수익률에 대한 사후 분포(Posterior Distribution)를 산출하게 된다. 만약 투자자의 뷰가 존재하지 않는다면, 블랙-리터만 기법은 단순히 CAPM 논리의 시장 포트폴리오로 환원된다.
베이지안 프레임워크와 사전, 사후 분포 (출처: Hudson & Thames)투자자의 뷰가 가미됨으로 인해, 블랙-리터만 프레임워크 하의 최적 포트폴리오는 시장 포트폴리오와 투자자 뷰의 결합을 반영해낸다. 여기서 블랙-리터만 모델을 사용하는 투자자는 시장 포트폴리오와 투자자의 뷰 사이의 상대적 가중치를 결정하는 패러미터를 설정해야 한다. 전통적인 MVO 기법보다 BL 기법은 포트폴리오의 가중치에 대해 보다 안정적인 결과를 산출하는데, 그 이유는 사후 기대수익률이 사전 시장 수익률에 어느 정도 고정되어 있기 때문이다.
블랙-리터만 모형은 크게 두 가지 관점에서 매우 유연한 프레임워크라고 볼 수 있다. 첫 번째는 이것이 투자자로 하여금 사전 정보에 대한 상대적 불확실성을 구체화시킬 수 있도록 자유도를 준다는 점이다. 그리고 두 번째는 이것이 MVO뿐만 아니라 다른 기법들을 시장 포트폴리오로 받아들일 수 있다는 점이다. 다시 말해, 블랙-리터만 프레임워크는 보다 일반적인 시나리오들에서 범용적으로 사용될 수 있다. 예를 들어, 기대수익률에 대한 사전 분포는 반드시 CAPM 논리를 따라야 할 필요는 없으며, 앞서 다루었던 최대분산 포트폴리오나 리스크 패리티 포트폴리오가 그 기반이 될 수도 있다. 모형에 들어가는 투자자의 뷰는 꼭 정성적이거나 재량적일 필요는 없으며, 가치평가 모형에 기반한 예측치나 모멘텀 지표에 기반하여 정량적으로 결정되기도 한다.
# BL의 수학적 모델링
블랙-리터만 기법은 크게 네 가지 스텝을 거쳐 완성된다.
1) 사전 분포 정의
가장 처음 해야 할 일은 시장으로부터 내재된 시장 포트폴리오의 가중치를 추정해내는 것이다.
블랙-리터만 모형은 수익률 r이 정규분포를 따른다고 가정하며, 이때의 평균은 Π, 공분산 행렬은 τΣ이다. 여기서 스케일링 패러미터 τ는 투자자 뷰에 대한 시장 정보의 상대적 불확실성을 의미한다.
2) 수익률에 대한 투자자의 뷰 설정
블랙-리터만 프레임워크 하에서, 투자자의 뷰 또한 정규 분포를 따른다고 가정한다. 예를 들어, 만약 아래와 같은 뷰를 설정한다면, 이는 첫 번째 자산의 수익률이 두 번째 자산의 수익률보다 평균 3% 상회한다는 것을 의미하며 이에 대한 표준편차는 1%라는 것을 의미한다.
이를 일반화시키면, 수익률에 대한 투자자의 뷰는 다음과 같이 정리할 수 있다. 포트폴리오에는 N 개의 자산이 존재한다.
여기서 pi는 qi는 i번째 뷰에 대한 베이스 케이스 시나리오를 의미하며, ωi는 이에 대한 불확실성의 정도를 결정한다. 만약 k개의 독립적인 시장 전망이 있다고 한다면, 아래와 같은 행렬을 통해 표현할 수 있다. P는 각각의 뷰를 나타내고 있는 k x N 행렬이며, q는 베이스 케이스 시나리오인 k x 1 열 벡터, Ω는 각각의 뷰에 대한 불확실성을 나타내고 있는 k x k 대각 행렬이다.
시장 수익률이 r이라고 할 때 투자자 뷰를 나타내는 베이스 케이스 시나리오의 조건부 벡터 q는 다음과 같이 다변량 정규 분포를 따르게 된다.
3) 투자자 뷰에 기반한 사후 수익률 분포 결정
시장으로부터의 사전 수익률 및 투자자의 뷰가 주어진다면, 이제 우리는 이를 결합한 새로운 수익률 분포를 만들어낼 수 있으며 이 또한 다변량 정규 분포를 따르게 된다. 투자자 뷰를 조건부로 하는 사후 기대수익률 분포를 계산하기 위해서는 이것의 평균과 공분산을 필요로 하는데, 이는 아래와 같은 공식을 사용해 쉽게 계산해낼 수 있다.
4) 블랙리터만 최적 포트폴리오 산출
1번부터 3번까지의 과정을 거쳤다면 블랙리터만 모형에 의한 최적 포트폴리오를 구하는 것은 상대적으로 쉽다. 우리가 해야 할 것은 단지 위의 과정을 통해 얻게 된 기대수익률 및 공분산 행렬을 전통적인 MVO 과정의 입력변수로 집어넣는 것이다. 이제 MVO는 블랙리터만 모형에 기반한 포트폴리오의 자산별 가중치를 결과로 제시하게 될 것이다.
