수포아줌마의 수포탈출기-9
중1 수학부터 시작하는
아들의 수학 문제집 가운데 <유리수의 계산>이라는 부분을 보면서 모든 계산이 사실은 덧셈을 의미하는 거 같다는 생각이 계속해서 들었고 지난 7회에서는 그것에 대하여 나름대로 정리를 했다. 7회 마지막 부분을 분수란 도대체 무슨 수일까라는 의문으로 끝을 냈는데, 오늘은 그것에 대한 나름의 정리를 해 보려고 한다.
초등수학에서 분수를 세 가지 종류로 가르치는데 진분수 가분수 대분수가 바로 그것이다. 가분수(假分數)나 대분수(帶分數)는 자연수 부분과 진분수로 나눌 수 있다. 그러니 내가 생각하기로는 가장 분수(分數)라는 이름이 걸맞은 분수는 진분수(眞分數)라고 할 수 있다. 진분수의 진(眞)은 한자로 참 진이니 진분수야 말로 참으로 분수라는 뜻인 것도 같다.
수직선 상에서 오른쪽에 위치할수록 큰 수이고, 왼쪽에 위치할수록 작은 수이다.진분수는 분자가 분모보다 작은 분수인데 이것은 내가 생각하기로는 수직선에서 0과 1 사이에 존재하는 수라는 뜻이다. 물론 가분수나 대분수에도 모두 자연수를 앞세우면 진분수가 있다. 내가 수포의 늪을 탈출하려고 수를 살펴보니 이 수가 참으로 신기한 수였다. 분수를 더하거나 빼거나 할 때는 별로 신기한 느낌이 들지 않다가 분수를 곱하면서부터 이 수의 성질이 독특하다는 것을 조금씩 눈치채게 된다.
분수와 자연수의 곱에서부터 생각해 보자.
분수와 자연수의 곱은 덧셈으로 쉽게 바꿔서 생각해 볼 수 있다.분수와 자연수의 곱은 쉽게 이해가 간다. 그동안 배워온 덧셈의 원리와 일치하는 것이다.
그런데 자연수와 분수의 곱을 살펴보면 이야기는 조금 달라진다.
자연수와 분수의 곱은 교환법칙을 사용하지 않으면 덧셈식으로 바꾸기가 망설여진다
위의 식은 덧셈식으로 바꾸기 위해서는 자연수와 분수의 위치를 바꿔서 생각해야지 쉽게 이해가 되지 2를 앞세워 생각해보면 내 능력으로는 덧셈식으로 바꿀 수가 없다. 분명 초등수학인데도 말이다.
자연수와 분수의 곱은 교환법칙이란 편법을 이용하지 않는 한 덧셈식으로 바꾸기가 어렵다.분명 양수인데 곱하면 곱할수록 수가 0에 가까워지는 것이다. 곱셈이란 덧셈을 여러 번 하는 것인데, '분명 0이 아닌 수인데 여러 번 더하는데 수가 점점 작아지더라' 이런 신기한 계산이 있을까?
진분수를 곱하면 더 작은 진분수가 된다.사실 분수를 더하면 수는 점점 오른쪽으로 자리를 옮긴다. 그런데 분명 덧셈을 여러 번 하는 것이 곱셈이라 배웠는데, 분수는 곱하면 수가 왼쪽으로 자리를 옮긴다. 즉 작아지는 것이다.
혹시 분수의 곱셈은 덧셈이 아닌가? 이런 의문을 풀어보려고 인터넷에 <분수의 곱셈> 이렇게 검색을 해보니, 곱셈을 하는 방법만 알려준다. 분자는 분자끼리 곱하고 분모는 분모끼리 곱하면 답이 나온다. 뭐 다 이런 식이다. 내가 원하는 것은 이런 것이 아닌데……. 내가 원하는 것을 궁금해하는 사람은 없나?
이렇게 생각하다 갑자기 학교에 다닐 때 수학 선생님께서 알려준 항등원이 떠올랐다. 그래! 덧셈의 항등원은 0이고 곱셈의 항등원은 1이었지. 그리고 항등원이라고 인터넷에 쳐보았다.
항등원(恒等元, Identity element)은 군론 등의 대수학에서 다루는 기본적인 개념으로, 집합의 어떤 원소와 연산을 취해도, 자기 자신이 되는 원소를 말한다.
군론 같은 말이 뭔지는 모르겠지만 위의 내용에 곱셈의 항등원은 1이라고 말해준다. 1은 바로 곱셈의 기준이 되는 원소 같으니, 곱셈을 할 때 1을 기점으로 뭔가 변화가 일어날 거 같다는 생각이 들었다. 예를 들면 덧셈으로의 변환이 힘들거나 하는.
내가 좋아하는 럭키 세븐 7단 구구단을 예로 들어보면,
7×2=14
7×1=7
7×0.5=3.5
7×0.1=0.7
⋮
7×0=0
7×-1=-7
곱셈에서는 1을 기점으로 수직선에서 왼쪽에 해당하는 수를 곱하면 원래의 수보다 작은 수가 나오는 것이다. 분수는 1보다 작은 수이니 당연하게 원래의 수보다 작은 수가 연산의 결과로 나오게 된다.
다시 생각해보니 분수랑 당초 나눗셈이고 나눗셈이란 뺄셈과 함께하니 분수를 곱하면 원래의 수보다 작은 수가 나오는 것은 당연하다는 생각도 든다.
0과 1사이에 있는 이 분수는 본래 나눗셈의 성격도 함께 가지고 있는 수이므로 곱하면 부호가 바뀌지는 않지만 0에 가까워지게 하는 것같다는 것이 내가 정리할 수 있는 한계이다.
내가 이해하는 범위에서 정리하고 있는 나의 생각이 수학적으로 타당한지 그것은 아직 모르지만, 어쨌든 나의 생각을 멋지게 수식으로 정리해 보고 싶다는 그런 맘은 든다.
언감생심이지만 내가 희망은 버리지 않으면 절망으로 바뀌는 일은 없으니 계속 수학을 생각하며 밥도 하고 청소도 할 생각이다. 언젠가 나의 이런 행동의 결과로 그 날을 수도 있겠지 하는 마음으로 말이다.
