현대대수학 속 Baby Monster
벱몬도 수학이야~~~
이번에 노래 만들다가 알게된건데,
현대대수학의 Group theory에도
베이비몬스터가 숨어있다는 사실을 아시나요..?
깊게 얘기하자면 한도 끝도 없는 얘기지만..
혹시나 관심있을 수학 전공자들을 위해 적어봅니다.
학부시절 Simple group을 아마 배우셨을겁니다.
Trivial subgroup과 자기 자신을 제외하고 다른 normal subgroup을 갖지 않는…약간 소수와 합성수할 때의 소수같은 느낌의 그 그룹이요!
이러한 Simple group중 유한군을 모두 찾아내고자 하는 Classification of Finite Simple groups의 과정은 현대대수학의 중요한 테마가 아닐 수 없는데요,
학부 수준에서는 Z_p(순환군)나 A_n(n>=5, 교대군) 정도만을 아마 다루셨을 겁니다. (저도 대학원을 아직 안가서 이 이상은 모르구요..ㅎㅎ)
그런데 사실 이외에도 두 종류의 그룹이 있습니다.
하나는 Groups of Lie Type(리형군)이라고 해서 smooth manifold를 갖는 Lie Group(리군)에 Finite field의 연산을 어떻게 잘 적용해서 유한군으로 만든 애들이고(smooth manifold가 뭔지는 저도 모르겠지만 Lie group의 예시는 일단 대충 학부때 배운거 중에 좀 특이한 애들 생각하시면 됩니다. 3차원 회전군이나 GL(n,R) 행렬 그룹 같은 거…), 마지막 하나가 진짜 이상한 예외만 모아놓은 Sporadic group이에요.
이 Sporadic group은 (isomorphic한건 당연히 하나로 치고) 세상에 오직 26개만 존재합니다. (Tits group이라는 애가 리형군으로 보기 좀 애매해서 얘 포함 27개로 보는 경우도 있다고는 합니다.) 이 26개가 또 두 종류로 나뉘어서, 20개는 Happy family라는 이름으로, 나머지 6개는 Pariah Group(이름이 파리아인 이유? 인도의 불가촉천민 파리아처럼 배척된 자라는 뜻)로 분류가 된다고 하네요~
그 중 Happy Family에서 서열 2위 정도 먹는 놈이 바로바로
베이비몬스터 그룹입니다~~~서열1위인 Monster Group의 부분군이라서 베이비몬스터래요ㅋㅋㅋ
특징은 사진처럼 원소의 개수가 어마무지하게 많고(참고로 monster group은 8.08*10^53 정도…) 3-transposition 구조이고, 몬스터 그룹의 stabilizer subgroup이라고 합니다..ㅎㅎ 뭐 그렇다네요;
재밌는 점은 이러한 내용들이 어디 변방의 수학 소수민족 얘기가 아니라 1998년 수학자 Richard Borcherd에게 필즈상을 안겨준 ‘몬스터 문샤인’ 이론과 맞닿아있다는 점입니다. 지금도 관련 분야의 연구가 굉장히 활발하게 진행되고 있기도 합니다. 몬스터 그룹의 의미를 분석하기 위해서는 무려 196884차원 공간에서의 수학적 변환을 상정해야한다고 하는데, 진짜 다시 한 번 필즈상은 아무나 타는 게 아니구나 싶네요~
혹시나 또 언젠가 베이비몬스터의 ‘Moonshine’이라는 노래가 나올지도 모를일입니다…ㅎㅎㅎ 혹시나 나온다면 고개를 들어 현대대수학을 바라봐주시길 바라며, 아무도 안 읽을 것 같은 장황한 글을 마쳐봅니다.
(글 내용은 딱히 논문 안펴고 위키피디아와 챗지피티를 여기저기 뒤적이며 제 뇌피셜로 적었으므로, 틀린 부분 많을겁니다.. 읽다가 뭔가 오류를 발견하신 전문가분이 계시다면 언제든 편하게 말씀해주세요! 영광입니다.)
