쌍조건문

명제 논리 #5

화실표를 이렇게 양방향으로 그리면 쌍조건문(!)

쌍조건문biconditional p⟺q는 말 그대로 두 조건문을 (연언 연결사로) 합친 문장입니다. 조건문 p→q와 또 다른 조건문 q→p를요. 그래서 p⟺q의 진리값은 (p→q)&(p→q)와 같습니다. 이때 p와 q는 양방향으로 전건-후건의 관계를 가져요. 전건이 곧 후건이 되고, 후건이 곧 전건이 되는 전후일체의 경지 경우죠.

쌍조건문에 대해서는 교환 법칙이 성립합니다

그럼 이 쌍조건문은 어떻게 읽을까요? "if p, then q, and if q, then p"라고 읽어도 물론 틀린 건 아닙니다. 하지만 보통은 "p if and only if q"라고 읽어요. 줄여서 "p iff q"라고 쓰기도 합니다. 오타 아니에요.

Iff definition and meaning | Collins English Dictionary

조건문 연결사에 대응하는 if는 아시겠죠? "수색대가 24시간 내 귀환하지 않는 경우에는 구조대를 파견한다"는 조건문 p→q에서 "~하는 경우에는(=~하면)"에 해당하죠. 그래서 이 조건문이 참이라면 "수색대가 24시간 내 귀환하지 않는다"는 문장 p가 참일 때 "구조대를 파견한다"는 문장 q도 참이어야만 합니다. 수색대가 만 하루가 지나도 돌아오지 않으면 (다른 걸 따져보지 않고) 반드시 구조대를 파견한다는 거죠.

그럼 only if는요? "오직 ~하는 경우에만" 정도가 될 거예요. 따라서 "only if p, then q"은 "오직 수색대가 24시간 내 귀환하지 않는 경우에만 구조대를 파견한다"는 의미가 됩니다. 수색대가 구조를 요청하는 등 다른 경우에는 (가령 구조대마저 위험에 빠질 수 있다는 이유로?) 과감히 버린다는 구조대를 파견하지 않는다는 거겠죠. 그런데 만약 이 부대에서 구조대를 파견했다면 그건 무얼 의미할까요? 수색대가 24시간이 지났음에도 돌아오지 않았다는 걸 의미하겠죠? 그게 아니면 구조대를 파견할 일이 없을 테니까요. 그래서 "only if p, then q"는 "if q, then p"와 의미가 같습니다. "구조대를 파견한다면 수색대가 24시간 내 귀환하지 않은 것이다." 이거죠. 때문에 "only if p, then q"는 q→p로 표현할 수 있어요.

쌍조건문을 칭하는 "p if and only if q"라는 표현은 사실 (p→q)&(q→p)를 정직하게 읽은 "if p, then q, and if q then p"라는 표현과 다르지 않습니다. 그저 좀 짧을 뿐이죠. 이걸 한국어로 옮길 땐 흔히 "그 경우에, 그리고 오직 그 경우에"라고 길게 쓰지만요.

물론 현실에서는 구조대를 반드시 파견하거나 결코 파견하지 않는 경우란 없겠죠

쌍조건문 p⟺q는 오직 p와 q가 같은 진리값을 가질 때만 참이 됩니다. 그렇지 않을 땐 거짓이에요. 그래서 p⟺q를 읽을 땐 좀 더 자연스럽게 "p와 q는 진리값이 같다" 혹은 "p와 q는 둘 다 참이거나 둘 다 거짓이다" 정도로 옮겨도 될 것 같습니다. p⟺q가 참이라면 "수색대가 24시간 내 귀환하지 않는다"는 문장과 "구조대를 파견한다"는 문장이 동시에 참이거나, 아니면 동시에 거짓일 거란 얘기죠. 수색대가 24시간 내 귀환하지 않았는데도 구조대를 파견하지 않는다거나 수색대가 24시간 내 귀환을 했음에도 구조대를 파견하는 일은 없을 겁니다.

가령 수색대가 오랫동안 돌아오지 않는다고 하더라도 구조대원 절반 이상이 부상을 입은 경우에는 절대 구조대를 파견하지 않기로 했다면? 그럼 p⟺q는 거짓입니다. 당장 p→q가 거짓이니까요. 연언지가 거짓이니 (p→q)&(q→p)도 거짓이겠죠. 반대로 수색대가 SOS 신호를 보낼 땐 24시간이 경과하지 않았더라도 구조대를 반드시 파견한다는 규정이 있다면요? 그럼 q→p가 거짓입니다. 구조대 파견이 곧 수색대가 24시간 내 복귀 실패를 의미하진 않을 테니까요. 이때도 p⟺q는 거짓이 돼요.

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[참고] 필요조건 vs. 충분조건

필요조건 vs. 충분조건