3. 가르기와 나눗셈
나누어 먹을까?
1. 똑같이 가르기
아이들에게 처음 나누기를 가르치다 보면 가끔 계산에서 혼돈을 겪는 경우가 있다. 나누기에서 중요한 것은 나누어지는 값과 나누는 값을 서로 바꾸어 써버리는 경우라든지(예를 들면 18÷3을 3÷18을 적는다.) 혹은 몫과 나머지를 구하긴 했지만 그 두 값을 어떻게 써야 하는지 까먹어버리는 친구들이 있다. 아무래 저학년이라 조금 실수가 귀여울 수 있다. 하지만 나누기에서 중요한 몫과 나머지는 혼돈하지 않도록 지도해야 한다.
이제 3학년이 되면 나눗셈을 시작하는데 이때부터 아이들의 연산적 사고가 성장되는 것을 몸소 느끼게 된다. 나눗셈의 사고라는 것은 곱셈에 연산을 거꾸로 하여 나눗셈을 계산하는 방식 혹은 나눗셈으로만 기억하여 연산을 하는 방식이 있다. 곱셈을 반대로 하여 나눗셈을 계산하는 것은 학생들이 연산을 생각하는 기본적이며 가장 기초적인 방식으로 실제로 문제를 해결하는 좋은 수단이다. 이러한 곱셈의 반대로 하기가 나눗셈을 계산할 수 있다 하지만 어디까지나 기초적인 방식이다. 나눗셈은 사실 가르기에서부터 시작한다
앞서 설명한 것처럼 합치기와 가르기는 곱셈과 나눗셈의 기초가 되는 기초 수준이다. 합치기에서 같은 수를 반복하여 합치는 것이 곱셈이라고 한다면 나눗셈은 똑같은 수를 가르는 일을 반복한다는 의미와 같다. 이때 똑같은 수로 가른다고 하면 그 같은 수를 '나누는 수'라고 하고, 나누어진 묶음을 몫이라고 한다. (조금 더 심화된 과정에서는 같은 수로 나누고 남은 수를 '나머지'라고 한다.)
가르기에서 서로 다른 숫자로 가르 길을 한다면 빼기를 연산할 수 있다. 만약 빼기의 연산에서 같은 수로 같은 일을 반복하여 실행할 수 있다면 이것은 나누기를 연산할 수 있게 되었다는 것이다.
예를 들어 15개 바둑알을 두고 세 개씩 가르는 일을 반복해서 한다면 세 개의 바둑알을 묶은 다섯 개의 그룹으로 나오게 된다. 세 개의 바둑알은 15개의 바둑알을 '나누는 수'가 되고 다섯 개 바둑알 묶음은 '몫'이 라고 할 수 있다.
이처럼 나눗셈에서 가르기를 가르기에서 나눗셈의 원리를 이해하게 된다면 보다 더 효율적이고, 원리를 이해하는 나눗셈 연산을 할 수 있게 된다.
2. 곱셈은 더하고, 나눗셈은 빼고
위에서 언급한 바와 같이 곱셈은 같은 수의 덧셈의 횟수이다. 같은 수를 반복하여 더 하는 것을 좀 더 쉬운 방법으로 계산하기 위하여 사용되는 것이 바로 곱하기다. 나누기 역시 같은 수를 여러 번 가르는 것을 의미한다. 똑같은 수로 빼낸다는 것은 똑같은 수로 나누어 준다는 것과 같은 의미를 가지고 있다.
나누기 의미 또한 이러하다. 나누기가 가지고 있는 기본적인 의미는 '나눈다' 즉 가지고 있는 것을 똑같이 '나누어 낸다'라는 의미에서부터 시작하기 때문에 연산에 가장 중요한 것을 것은 빼기라고 할 수 있다. 빼기에서 시작된 나누기는 계산이 오히려 더하기보다 더 쉬울 수도 있고 같은 수를 반복해서 연산하다 보면 숫자의 개념을 훨씬 더 잘 이해할 수도 있다.
3. 그래서 몇 명이야?
우리 아이가 어느새 덧셈과 뺄셈을 그리고 곱셈을 지나 나눗셈을 하게 될 시기가 온다면 아이들에게 직접 나누기를 하여 나누어 준다는 의미를 상기시키는 것도 좋다. 가지고 있는 것을 욕심내고 다 가지는 것보다 나누어 가지는 것으로 느끼는 감정을 이해시킬 수 있는 방법이 될 수 있다는 생각도 해 본다. 내가 가진 것이 많아 다른 사람에게 나누어 줄 수 있을 때 몇 명에게 나누어 줄 수 있을까? 혹은 청소를 하면서 찾은 연필과 지우개를 모아 친구들에게 나누어 주면 몇 명에게 똑같이 나누어 줄 수 있을까? 와 같은 질문으로 아이의 나눗셈에 대한 실생활 예시를 통해 친숙한 수학으로 자리 잡을 수 있으면 더 좋은 교육이 될 수 있을 것이다.
그리고 위에 예시를 든 연필과 지우개의 나눗셈은 5학년에서 배우게 되는 최대공약수의 기본이 되는 이론이다. 단순한 나눗셈 계산에서부터 최대공약수를 이끌어내는 것이 초등 수학의 단계적 교육방법이 된다.
4. 나눗셈은 왜 앞에서부터 해야 해?
조금 어려운 고민이 생긴다. '20÷4=5'와 '72÷9=8'처럼 곱셈구구에서 자주 보던 구구단을 이용해서 풀 수 있는 문제에서 조금 난이도를 올려 '612÷3'을 계산하게 된다면 어떠한 방법으로 계산을 하는 걸까?
여기서 612를 나누어서 계산한다.
612=600+12로 나누어 준다.
그러면 600에 3등분 즉 200, 거기에 12의 3등분인 4까지 더하면 된다.
답은 204이다.
여기서 우리는 나눗셈의 세로셈은 곱셈의 세로셈과 다르게 백의 자리부터 나눈다는 것을 발견하게 된다. 생각해 보면 곱셈에서는 일의 자리에서 셈을 한 뒤 올림을 올려주거나 올림이 없을 땐 그냥 곱셈을 했다. 하지만 나누기는 세로셈으로 하면 반드시 가장 높은 자리에서 먼저 나누기를 해서 그 남은 것을 아랫 자리로 넘겨서 계산하게 된다는 것이다.
예를 들면
532÷4의 답을 구하는 경우엔 500을 4로 나누어야 하는데, 한눈에 그 값이 들어오지 않는다. 대신 500에서 4등분 할 수 있는 100씩 나눌 수 있음을 알고 있다. 그리고 남은 130을 4로 나눈다. 130 역시 한눈에 나누어지지 않는다. 30씩 나누고 10이 남는데, 마지막으로 남은 12를 4로 나누어 3씩 나누어진다는 계산을 한다.
100+30+3=133이 몫이 된다.
따라서 나누기는 가지고 있는 수를 나누어 주는 것에 그 목적이 있으니 큰 수를 나누고 남은 수를 작은 수와 더 하여 나누어주는 일을 반복하는 것이다. 그러니 나누기는 앞에서부터 나누는 것처럼 이해되는 것이다.
5. 나눗셈의 정확성을 어떻게 높이나요?
언제나 나누기를 하면서 바둑알처럼 교구를 사용하여 나누기를 공부할 수는 없는 일이다. 때가 되면 손을 쓰던 버릇도 서서히 고쳐지기 마련이기 때문에 계산을 하는 것은 반듯이 종이에 쓰면서 연습하는 것이 중요하다. 내가 쓰는 숫자를 눈으로 보고 그 수에 내가 나누기를 해야 하는 수가 몇 번이 들어가는지 구체적으로 확인하는 것이 중요한 과정이다.
아이가 이미 고학년이 되었는데 나누기가 약한 것 같다는 전화를 받은 적이 있다. 나는 그러면 학원에서는 학생의 학교 진도를 맞춰 진도를 나갈 수 없다고 말씀을 드린다. 단순히 계산에 어려움을 겪는 것에서 끝나는 것이 아니라 사칙 연산 전반에 걸쳐 어려움을 느낄 가능성이 있기 때문이다.
만약 그런 상황이라면 때 늦은 후회만 하지 말고, 알게 된 그 시간부터 천천히 저학년에서 풀던 문제집을 다시 풀어 보게 하는 것이 중요하다. 물론 학교에서 수업을 따라가지 못한다는 어려움이 있겠지만 꾸준히면 한다면 늦게 발견하였다 해도 중학교 진학 전에 사칙 연산에 대한 이해가 자리 잡을 수 있다.
수학엔 지름길이나 편법이 통하지 않는다. 과거의 지식이 현재를 다시 현재 배우는 과정이 미래에 연결되는 방식의 과목이기 때문에 늦었다고 생각하는 것이 아니라 그 부분을 못했기 때문에 지금이라도 그 부분을 만들어서 그 다음을 쌓아 올려야겠다는 생각을 하는 것이 좋다.
