항진 문장 vs. 모순 문장

명제 논리 #10

항진 문장

진리입니다만 항상 그럴까요?

항진 문장tautology이란 모든 해석 아래에서 참인 문장을 말합니다. 어떻게 해석하든 참이라는 것이죠. 이를 논리적 참logical truth이라 부르기도 해요.

모순율Law of Non-Contradiction이라 불리는 ~(p&~p)는 대표적인 항진 문장이죠. "존재하면서 존재하지 않을 순 없다" 같은 문장이 여기에 해당하죠.

혹은 "모든 것은 존재하거나 존재하지 않는다"는 배중률Law of Excluded Middle 형태로 나타낼 수도 있겠습니다.

두 문장은 드 모르간 법칙에 따라 논리적 동치이기도 하죠

모순 문장

모순 문장contradiction은 반대로 모든 해석 아래에서 거짓인 문장이에요. 어떤 방식으로 해석하더라도 거짓인 문장.

"나는 존재하면서 존재하지 않는다"와 같은 문장(p&~p)이나 "밤이 오면 밤이 오지 않고, 밤이 오지 않으면 밤이 온다"와 같은 문장(p⟺~p)가 여기에 해당하겠죠.

최소 하나의 해석 아래에서 참이 되는 문장을 더러 논리적으로 일관되다logically consistent고 말합니다. 자연히 그 어떤 해석 아래에서도 참이 되지 않는(=모든 해석 아래에서 거짓이 되는) 모순 문장은 논리적 일관성을 결여한 것이겠죠. 그래서 모순 문장을 논리적으로 비일관되다고 말하기도 합니다.

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항진 문장과 모순 문장의 성격을 고려할 때 아래 4가지가 모두 성립합니다.

[1] ψ가 φ의 귀결이다 ≡ φ→ψ는 항진 문장이다

φ⊨ψ라는 건 φ가 참일 땐 반드시 ψ이라는 거죠. 전건이 참일 때 후건이 반드시 참이라면 조건문도 참입니다. 전건이 거짓일 때는 말할 것도 없고요.

반대로 φ→ψ가 어떤 해석에 따르더라도 참이 된다는 건 φ가 거짓이 되는 해석밖에 없거나 φ를 참으로 보는 해석 하에서는 ψ 역시 참일 거란 의미죠. (φ를 참으로 보되 ψ를 거짓으로 보는 해석은 없을 겁니다.) 그럼 ψ는 φ의 귀결이겠죠.

[2] ψ와 φ가 논리적으로 동치다 ≡ ψ⟺φ가 항진 문장이다

ψ와 φ가 모든 해석 아래에서 같은 진리값을 갖는다면 이 둘을 쌍조건문 연결사로 이어 만든 문장은 항진 문장일 겁니다. 쌍조건문은 애초에 그 구성 문장들이 진리값이 같을 때 참이 되는 문장이니까요.

또 쌍조건문 ψ⟺φ가 특정한 해석이 아니라 모든 해석에서 참이 된다는 건 이를 구성하는 두 문장이 모든 해석에서 같은 진리값을 갖는다는 걸을 의미할 겁니다.

[3] ψ가 항진 문장이다 ≡ ψ는 임의의 문장 φ의 귀결이다

한편 항진 문장은 가능한 모든 문장의 귀결입니다. 왜냐하면 그 모든 문장들이 (참일 땐 물론이거니와) 어떤 진리값을 갖든 항진 문장은 항진 문장이기에 참일 테니까요.

그런가 하면 아무 문장이나 ψ를 함축할 수 있다는 건 곧 ψ가 그 임의의 문장에 대한 해석에 영향을 받지 않고 항상 참으로 남는다는 걸 의미하겠죠?

[4] φ가 모순 문장이다 ≡ 임의의 문장 ψ가 φ의 귀결이다

모순 문장은 모든 가능한 문장을 함축합니다. 거짓 문장으로부터는 그 어떤 문장이라도 귀결될 수 있는 거죠. 모순 문장을 참으로 보는 해석은 0개죠? 문장 ψ가 정확히 어떤 문장 일지는 몰라도 적어도 0개의 해석 아래에선 참일 겁니다.

ψ가 거짓일 때조차 다른 문장 φ의 귀결이라면 φ를 참으로 보는 해석은 존재하지 말아야 해요. 모든 해석 아래에서 거짓이어야 한다는, 그러니까 모순 문장이어야 한다는 것이죠.

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