몬티홀 문제
직관의 배신
몬티홀 문제를 예로 들어보자. (실제 미국에서 TV 프로그램으로 방영된 적이 있는 것으로 이 쇼의 사회자 이름을 따서 '몬티홀 문제'라고 부른다.
당신 앞에 번호 1, 2, 3이 써진 세 개의 문이 있다. 셋 중 하나는 멋진 자동차가 있어 그것을 선택하면 당신은 그 차를 가질 수 있다. 하지만 나머지 두 개의 문에는 염소가 있어 그것을 선택하면 당신은 자동차를 가지는 것에 실패했다는 의미이다. 세 개의 문들 중에 하나를 골랐다면 당신이 고르지 않은 두 개의 문에 둘 중 적어도 하나는 염소가 있을 것이다. 나는 그것 중에 하나를 열어 당신에게 확인시켜 주어 확인되지 않은 문을 두 개로 줄여 줄 것이다. 자, 지금 당신 앞에는 두 개의 문이 남았다. 당신이 처음 선택한 문과 남은 하나의 문. 나는 당신에게 한 번의 기회를 더 준다. 이제 당신은 처음 선택을 유지할 수도 바꿀 수도 있다. 이것이 마지막 선택이다. 당신의 선택은 무엇인가?
이 선택에서 자동차를 받을 수 있는 확률은 무엇일까? 두 개의 문 가운데 하나를 택하는 것이므로 1/2이라고 생각한다면, 당신은 이번 선택에서 전전두 피질의 사고 능력을 활용했다기보다 직관과 느낌에 의존해 선택한 것이다. 마치, 주사위를 던지면 '1의 눈이 나오거나 1의 눈이 나오지 않거나 두 가지 중 하나이니까 1의 눈이 나올 확률은 1/2이다.'라고 말하는 것처럼 잘못된 말이다. 특히 우리나라에서는 '경우'와 '경우의 수', 그리고 '확률'이라는 말을 부정확하게 쓰고 있어서 더욱 문제다. 경우의 수가 2라고 해서 각각 경우의 확률이 1/2인 것이 아니라는 것은 자명한 사실이다. '경우의 수'라는 말이 자주 등장하는 월드컵 조별 예선을 가정해 보자. 우리나라 팀과 경쟁 국가 팀이 각각 다른 팀과 예선리그 마지막 경기를 남기고 있다고 할 때, 우리나라 팀의 경기 결과는 승, 무, 패, 세 가지이고 다른 경기를 하는 경쟁 국가 또한 그러하므로 3X3=9 가지의 '경우의 수'가 나온다.(골 득실 차 등은 고려하지 않는 것으로 하자.) 여기서 우리 팀이 승리하고 경쟁 팀이 패했을 경우에 우리가 16강에 진출한다고 하면 경우의 수는 한 가지이므로 '16강에 진출할 확률은 1/9이다.'라고 하면 바보 같은 말이 된다. 예선리그 마지막 경기 후 나올 수 있는 경우의 수가 9인 것도 맞고 그중에 우리 팀이 16강 진출할 경우의 수가 1인 것은 맞지만, 상대 팀과의 실력 차이에 따라 달라지기 때문이다. 우리가 비교적 쉬운 팀을 만나고 상대는 버거운 팀을 만나면 우리 팀의 진출 확률은 올라가고, 반대의 경우는 낮아질 것이기 때문이다.
그러면 다시 몬티홀 문제로 돌아와서 결론부터 말하면, 당신이 자동차를 받을 확률은 처음 선택한 문을 그대로 유지하면 1/3이고 선택을 바꿔서 다른 문을 선택하면 2/3이다. 일반적 직관에 반하는 이것을 설명하기 위해 A, B, C의 세 가지 다른 설명을 해보면 다음과 같다.
A : 당신의 첫 선택이 당첨일 확률은 1/3이다. 그래서 유지해도 1/3이다. 그렇다면 남은 확률은 2/3이고 그 확률은 당신이 선택하지 않은 그 문이 당첨일 확률이다.
B : 당신이 두 번째 기회에서 문을 바꾼다고 가정하자. 그렇다면 당신이 처음 선택에서 당첨을 택했으면 당첨이 아닌 것으로 옮긴 것이고, 처음 선택에서 당첨이 아닌 것을 택했으면 당첨으로 옮긴 것이다. 즉, 당신이 처음 선택에서 당첨이 아닌 것을 고를 확률 2/3가 당신이 당첨일 확률이다.
C : 하나하나 짚어보다. 만약 3번 문 뒤에 자동차가 있고, 1번과 2번에는 염소가 있다고 가정하자.
C-1 : 당신이 1번을 택했으면, 사회자는 2번 문을 열어 보이고 남은 1번과 3번 중에서 다시 선택할 수 있는 기회를 줄 것이다. 그대로 있으면 꽝, 바꾸면 당첨.
C-2 : 당신이 2번을 택했으면, 사회자는 1번 문을 열어 보이고 남은 2번과 3번 중에서 다시 선택할 수 있는 기회를 줄 것이다. 그대로 있으면 꽝, 바꾸면 당첨.
C-3 : 당신이 3번을 택했으면, 사회자는 1번과 2번 중 하나를 열어 보이고 남은 것과 3번 중에서 다시 선택할 수 있는 기회를 줄 것이다. 그대로 있으면 당첨, 바꾸면 꽝.
설명을 읽어도 확률이 1/2이라는 주장을 철회하지 않는 사람이 많다. '이랬다 저랬다 하면 복 나갈 것 같다.' 거나, '초지일관하는 태도가 운을 부를 것이다.'라든가 합리적이지 않은 주장을 하면서이다. 또는 설명을 이해했지만, '바꾼다고 확률이 100%인 것은 아니지 않으냐?' 하며, '당첨되지 않더라도 초심을 유지하는 사람으로 보이고 싶다. 선택을 바꿔서 꽝이 되면 망신이다.'라고 생각하는 사람도 있다. 결국 이성적이고 합리적 판단을 관장하는 전전두 피질을 사용하기보다 직관과 느낌으로 선택하겠다는 것이다. 그렇다면 이런 성향은 왜 생길까?
