11 반복해서 오가면 시간이 된다

진자 운동에 대하여

지난 시간에는 F = ma 에서 어떻게 운동을 정확하게 예측할 수 있는지에 대해 이야기했습니다. 그리고 사람이 정확히 풀 수 있는 문제도 별로 없어서 근사적이거나 컴퓨터로 푼다는 이야기도 했죠. 오늘은 사람이 풀 수 있는 몇 안되는 그 운동, 그러면서도 정말 중요한 운동에 대해 이야기 나눠봅니다. (이번 시간까지만 약간 수학적입니다. 미리 죄송합니다, 꾸벅)

이름하여, 진자 운동 입니다!

<그림> 단진자 운동, 출처: 나무위키

옛날 괘종시계가 집에 있으시면 볼 수 있는데요. 줄에 추를 달고 흔들어주면 왔다 갔다 계속 하죠? 이러한 것을 진자라고 합니다. 이렇게 반복해서 왔다 갔다 하는 운동을 진동이라고 하구요. 그런데 잘 보고 있으면... 앗, 레드썬..?? 이 아니라, ( 앗, 죄송합니다) 왔다 갔다 하는 시간이 일정하지 않나요? 만약 그렇다면... 오, 이걸 시계로 쓸 수 있지 않을까요? (갈릴레오가 이야기한 진자의 등시성 입니다)

전에 「샛 글」에서 시간에 대해 이야기 하면서 다루기도 했죠. 결국 위치가 같은 곳을 반복하는 것으로 시간을 정량화(숫자로 다루기)를 할 수 있다는 것인데요, 사실상 모든 시간 기준은 이런 방식 입니다.

그런데 그 시간이 몇 초인지를 정해야 하잖아요. 그걸 모르면 눈금은 있는데, 그 눈금이 몇 m인지 몰라서 못 재는 것과 다를바 없으니까요. 그래서 몇 초마다 반복하는지 알아야 하는데, 그러기 위해서는 F = ma를 풀어야 한다는 것이죠.

자세히 푸는 방법은 다른 문헌을 보셨으면 하는데요, 다만 대략의 아이디어는 이렇습니다. F = ma를 정리하면 아래와 같이 되는데요.

θ¨= -lg​θ

여기서 θ는 진자의 각도, θ¨는 시간의 두 번 미분 을 나타냅니다. 두 번 미분한 것이 원래의 것과 같은 형태여야 한다는 것인데, 그런 함수 중 대표주자는? 여러분이 잘 아시는 바로, sin 함수인거죠. sin 함수는 반복해서 한 주기를 지나면 같은 위치가 되잖아요? 보이는 현상과도 같네요. 이것을 풀면 주기는 아래와 같게 되는 것이죠.

T[주기]= 2π √(l/g)

이렇게 진자의 길이만 알면 몇 초마다 반복하는지 알게되어 시간의 눈금에 숫자를 붙일 수 있게 되는 것이죠. 그런데 이상하지 않나요? 애초에 시간에 대해서 풀었어야 한다면 시간 단위가 있었다는 것인데, 그것을 뉴턴의 방정식을 풀어야 눈금이 생긴다니...

여하튼, 동양처럼 대~충 몇 시진, 이렇게는 하루를 기준으로 시간을 나누어 매길 수 있겠지만, 0.1초 이런 것은 바로 저런 진자 같은 것을 풀어서 얻을 수 있다는 것입니다. 이것이 근대 서양의 엄밀한 시간 기준과 관념을 확보해 주는 것이지요.

또 대표적인 잔동은 단순 조화 진동이라고 불리우는 용수철 진자가 있습니다.

<그림> 용수철 진자, 출처: Wikipedia

용수철에 추를 달고 당겼다가 놓으면?역시 반복하서 왔다 갔다 합니다. 이것도 거의 같은 방식으로 풀 수 있는 것이죠. 그리고 이 용수철 진자는 현대 과학이나 기술에서도 엄청 많이 가져다가 씁니다. 대표적인 것이 휴대폰이나 라디오가 전파를 잡는 것인데요, 용수철을 손으로 계속 흔드는데 공기 마찰까지 있는 모형으로 안테나가 전파를 수신하는 것을 풀어내는 것이죠. 그 외에도 분자의 진동도 이것으로 해석하구요, 여하튼 떨고 있는 대부분은 이것으로 합니다. 엄청나죠?

풀이는 진자와 같은데요,힘이 -kx로 주어집니다. 용수철은 많이 당기면 더 쎄게 힘을 주죠? 그리고 k는 얼마나 강한 용수철인가를 나타냅니다.

F=-kx = ma = m(d²/dt ²)x

이렇게 되죠? 마찬가지로 두 번 미분해서 같은 형태이니 x에 sin 함수로 넣는 거죠. 그러면 또 반복되는 것이 표현됩니다. 해는 아래와 같구요, 그냥 x를 sin 함수로 넣고 숫자 맞춘겁니다. 별거 아니죠? ^^;; (이것이 인간이 풀 수 있는 두 번째 물리 문제...)

x(t)=Asin(ωt+ϕ), ω=√(k/m)

위에서 말씀 드렸듯, 반복되는 운동을 나타낼 수 있다는 것은 정밀한 시간을 가지게 되는 것입니다. 정밀과학에 필수지요. 그리고 반복되는 운동을 잘 기술할 수 있다는 것은 증기기관과 같은 내연기관의 분석에도 중요한 부분이겠죠? 로봇의 제어는 당연하구요. 휴대폰 전파도 마찬가지라고 이야기 했구요. 그렇다면 '이렇게 위대하기만 한 것인가'에 대해서는 나중에 다른 시간에 이야기를 더 깊게 나눴으면 하구요, 오늘 이야기는 여기까지 입니다~