09 운동은 순간의 연속이다.

쪼개고 이어서 보는 법: 미분과 과학

저번 시간에는 만유인력의 법칙에 대해 이야기를 나누었습니다. 그리고 이번 시간에는 구체적인 운동의 예를 이야기 할 차례인데요. 아... 그러려고 하다보니 넘어야 할 산이 하나 있었습니다. 힘 → 가속도 → 속도 → 위치 의 이어짐으로 예측을 정확히 하려면, 가속도에서 속도의 변화가 어떻게 나타나는지를 엄밀히 알아야 하지 않겠습니까.

이것이 생각보다 녹녹치 않습니다. '엥, 가속도가 있으면 그냥 속도가 빨라지는거 아녀?'라고 가볍게 말씀 하실 수 있습니다만, 그 빨라지는 것을 '어떻게' 나타내냐는 것이죠. 너무 익숙할 원운동을 일단 볼까요?

<그림> 원운동의 속도 변화, 출처: Wikipedia

원운동은 사실은 속도가 계속 변하는 운동입니다. 방향이 계속 바뀌잖아요. 매 순간 계속 줄이 가운데로 당기니, 나가려든 방향이 꺾여서 원 안으로 들어옵니다. 이게 그 다음 순간에는 다른 방향으로 가던 공을 또 당기는데, 심지어 가운데쪽 방향도 다르죠? 항상 가운데 방향으로 당기는데, 공의 위치가 비뀌니까요.

속도도, 힘에 의한 가속도도 순간 순간 계속 바뀝니다. 이걸 어떻게 한단 말입니까! 정확하게 표현해야 계산하여 예측을 할텐데 말이죠.

여기서 뉴턴의 천재성이 또 나타납니다. 여러분이 그렇게 지겨워하셨을지도 모르는 바로 그... '미분'을 발명한 것입니다! 미분은 매우 작은 변화를 나타냅니다. 이것이 왜 필요했을까요? 시시각각 순간순간 변하고 있는 속도의 변화를 표현해야 했기 때문입니다. 위의 원운동만 보더라도 힘 때문에 속도가 순간 순간 변하잖아요.

힘 때문에 생긴다는 가속도는 속도의 시간에 따른 변화이니, 가속도(a) = 속도(v) / 시간(t) 겠죠? 10초 동안 속도가 100m/s 만큼 변했으면 1초마다는 10m/s 씩 변한 거죠, 그래서 가속도는 10m/s²이겠죠. 그런데 이건 평균적으로 그렇다는 것이고, 매 순간은 어떻게 해야 할까요? 그 순간을 나타낼 수 있어야 하지 않겠습니까? 그래서 변하는 시간을 매우 짧게 만드는 방법을 고안한 것입니다! 아이디어는 단순하죠. 10초는 길다! 1초는 어떤가. 그것도 긴가? 그럼 0.1초?➡0.01초?➡0.001초?➡……… 에잇 언제까지?그래 0이 될때까지 가자!!

그것을 표현하면 Δt→0 이 되는 거죠. 그래서

a = Δv / Δt

라고 하고는 Δt→0 로 보내버리는 겁니다. 그러면 그 순간이 되겠죠! 이게 미분입니다. 결국 그 순간의 속도의 변화를 알고 싶어서 표현한 것인 거죠. 표기법은 간단하게 아래와 같이 합니다.

a = dv / dt

많이 보시던 것이죠?

이것이 왜 엄청난 것이냐고요? 이렇게 매 순간마다 변화를 나타낼 수 있으면 모든 운동의 변화를 모든 순간에 알아낼 수 있잖아요! 10초 단위로만 생각하면 1초뒤는 모르는 거고, 1초 단위로 생각하면 0.1초 뒤는 모르는 거고, 0.1초 단위로 생각하면 ……… 결국 완벽하게 다 알려면 연속적으로 모든 순간에, 모든 위치에서 알아야 하는 것이죠! 그것을 가능하게 해 준 것이 미분인 것입니다.

이것이 보다 획기적이었던 것은, 뉴턴 이전까지는 제논의 역설 때문에 저러한 연속적인 운동은 다룰 수 없다고 생각했다는 것입니다. 제논의 역설은 아킬레스가 거북이를 못 따라 잡는다는 건데요. '거북이가 100m 앞에 있다고 하면, 아킬레스가 100m 따라가는 동안 10m 도망가고, 10m 따라가면 그 동안 1m 도망가고, 1m 따라가면 0.1m ……… 그래서 못따라잡는다!' 는 이야기입니다. 뭔 소리야, 라고 생각하시겠지만, 논리적으로 이걸 반박을 못했습니다. 당연히 시간이 지나면 현실에서는 거북이는 따라잡히죠?

이 역설이 말하고 싶은 것은, '못 따라잡는다'가 아니구요, 따라 잡는 그 순간을 알 수 없다는 겁니다. 운동을 모두 알려면 위에서 이야기했듯 모든 순간을 연속적으로 알아야 하는데, 그 순간은 논리적으로 접근불가 라는 것이죠. 그렇다면 뉴턴은 어떻게 한 것일까요? 어떻게 하지 않았습니다. 데카르트부터 갈릴레와 뉴턴까지, '논리적으로 어쨋든 사람에게 필요하면 그냥 한다'는 르네상스의 정신으로 그냥 밀어 붙인거죠. 이것이 고대와 다른 근대의 정신이기도 하구요. (하지만 현대에 오면 다시 말썽을 일으킵니다. 제논의 역설은 불확정성의 원리로 부활해 버립니다. 이 이야기는 저~ 뒤에 할 예정이에요.)

그리하여 이제 힘만 알면 연속적인 속도의 변화도 알수 있는 수학적 방법까지 손에 넣었습니다. 완벽하군요! 다음 시간에는 정말로 운동의 예들을 이야기 하겠습니다~