10 드디어 운동을 푸는 이야기 입니다만...
F = ma를 통한 운동 예측하기
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Nov 12. 2021
지난 시간에 드디어 미분까지 이야기했습니다. 연속적인 운동을 다루기 위한 놀라운 발명품이었죠. 논리적 완결성보다도 인간의 유용성이 우선이라는 정신의 결과물이라는 이야기도 하였습니다.
이번 시간에는 드디어 운동을 실제로 다뤄보려 합니다. 보통 교과서에서는 단위 나오고 바로 나오는 그 운동의 풀이들, 거기까지 오려고 저는 이리 오래 걸렸습니다. 그 운동을 그렇게 다루는 것이 왜 놀라운 것인지, 당대의 다른 영역과 어떻게 소통한 결과인지, 현재에는 어떤 영향을 미치는지를 같이 이야기 나누기를 원했기 때문이죠.
자, 이제 들어가볼까요? 이번 시간은 약간 수학적 입니다. 관심이 크게 없으시면 스킵...(물론 저는 마음이 아프겠죠...ㅠㅠ) 물론 진짜 방정식을 풀지는 않습니다. 이 글의 범위를 벗어나니, 수식 풀이에 관심 있으신 분들은 다른 좋은 글과 책을 보시면 좋겠습니다.
일단 시작은 역시 뉴턴의 법칙입니다. (제 2법칙)
F = ma = m(d/dt)v = m(d²/dt²)x
앗, 마지막은 뭐냐구요? 속도가 위치의 시간에 대한 변화니까 그것도 미분 관계거든요. 그래서 가속도는 위치의 시간에 대한 두 번 미분인 것이고, 그걸 제곱처럼 표현합니다.
이것 역시 방정식입니다. 힘이 원인이니 주어지겠죠? 질량도 우리가 다루는 물체의 속성이니 주어집니다. 시간은 독립변수이니, 우리가 구하려는 것은? 네, 첫 글에서 말씀 드렸 듯, 위치 입니다! 그것도 시간에 따른 위치, 즉 x=x(t) 인 것이죠. 그래서 우리는 이 방정식을 교재에서 열심히 풀었던 것이죠.
그런데 이것이 미분으로 이루어진 방정식이잖아요? 그래서 미분방정식이라고 부릅니다. 그러먼 이것은 어떻게 풀까요? 그냥 방정식은 x만 남기고 다 우변으로 옮겨서 풀었는데... 미분방정식을 푸는 방법은 여러가지가 있습니다. 그 중에 제일 먼저 떠오르는 것은 역시 적분 이군요. (그 외에 여러 변환의 활용도 있습니다)
미분이 변하는 것을 쪼개서 그 양을 이야기해 준다면, 적분은 그 쪼개진 양을 다 더해서 전체 양을 구하는 것이라고 보시면 됩니다. 그러면
F = ma = m(d/dt)v
에서 오른쪽이 미분이니까 적분을 하면 되겠군요. 이것의 의미도 잘 생각해보시면, '매 순간 가속도가 생기는데, 그것에 의해 잘게 쪼개진 속도의 변화를 다 더하면 전체 속도의 상태이다.'라는 것입니다. 이런 말을 식으로 하면 적분이 되는 것이죠. 그러면 위치는요? v = (d/dt)x 이니, 구한 속도를 한 번 더 적분하면 되죠. 그리하면 x = x(t)를 알게되어 미션 컴플리트!가 됩니다.
이 때 제일 쉬운 예가 공을 그냥 놓으면 떨어지는 자유낙하인데요, 이건 힘이 일정하여 가속도가 상수죠? 그래서 그것을 적분하면(면적을 구한다고도 배우시죠) 속도와 위치가 나오는 거죠.
<그림> 등가속도운동 시간그래프, 출처:http://file1.megastudy.net