지식 NO, 아이디어 YES
지식이 필요 없는 문제, 아이디어를 찾아서 풀어보세요
[문제] 노란색으로 표시된 부분의 넓이가 6이고 다음과 같이 길이가 주어졌을 때, 초록색으로 칠한 부분의 넓이는 어떻게 될까요? (힌트, 필요한 수학 지식은 없습니다. 아이디어가 필요합니다)
수학자들은 수학 문제를 푸는 것을 시를 쓰는 것에 가끔 비유하더군요. 문제를 해결하기 위해 이렇게 저렇게 아이디어를 생각하는 것을 자신의 생각을 표현하기 위해 이런저런 아이디어를 떠올리는 시인의 모습으로 비유합니다. 문제를 한번 즐겨보면 좋겠습니다. 풀지 못해도 좋습니다. 문제 해결의 아이디어를 보고 “재미있네” “신기하네”라고 하는 것만으로도 충분합니다. 가끔은 “놀라운데”라는 감탄을 하게 된다면 그것만 한 경험이 또 어디 있습니까?
문제를 한번 풀어보겠습니다. 먼저 주어진 문제의 도형에 다음과 같이 선을 하나 그어볼까요?
이렇게 선을 그어보면 우리가 구하려고 하는 초록색의 부분은 A와 B로 나눠서 생각할 수 있습니다. B인 부분은 밑변이 8이고 높이가 5인 직각삼각형이므로 넓이가 1/2 × 8 × 5 = 20입니다. 여기에서 중요한 것은 “A부분을 어떻게 해석하느냐?”입니다.
노란색으로 칠한 부분과 A부분을 떼어서 생각해보면 다음과 같이 생각할 수 있습니다. 다음 그림에서 S와 S’ 부분의 넓이는 같습니다.
왜냐하면, 삼각형 CAD와 삼각형 CBD는 밑변이 같고 높이가 같기 때문에 두 삼각형의 넓이는 같습니다. 그런데, S와 S’는 두 삼각형에서 겹치는 부분을 제외한 나머지 부분입니다. 따라서 S와 S’의 넓이는 같습니다.
이것을 문제의 상황에 적용하면 주어진 문제에서 A라고 말한 부분의 넓이는 6이라는 겁니다. 따라서 초록색으로 칠한 부분의 넓이는 A + B = 6 + 20 = 26입니다.
이런 문제를 풀기 위해서는 특별한 지식이 필요하지 않습니다. 하지만, 문제 해결을 위한 아이디어가 쉽지는 않죠. 그래서 이런 문제는 고등학생이 못 풀기도 하지만 초등학생은 푸는 경우가 많습니다. 학생 입장에서는 수학 지식을 쌓으며 선행학습을 많이 하는 것보다는 이런 문제 해결의 아이디어를 많이 경험하는 것이 어려운 문제의 해결에 더 도움이 됩니다. 생각을 키우고 다양한 시각을 갖게 하니까요. 꼭 시험이나 입시를 위해 대비한다는 생각보다는 경험하며 재미있게 즐기고 그런 과정에서 자연스럽게 아이디어가 많아지고 다양한 시각을 갖게 되는 것 아닐까요? 재미있어야 능동적으로 자주 하게 되고 더 잘하게 되는 것이겠죠.
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박종하
mathian@daum.net
