수학적으로 같은 것
닮음과 합동이라는 개념으로 문제를 풀어간 탈레스의 아이디어
[문제] 크기가 다른 두 개의 정사각형이 있습니다. 다음 그림에서 파란색 삼각형과 초록색 정사각형의 넓이의 비는 얼마일까요?
고대 그리스 수학인 유클리드 기하학의 시작은 닮음과 합동을 이해하고 활용하는 것에서 출발했습니다. 최초의 수학자 탈레스는 젊은 시절 장사를 하며 이집트를 왕래하며 실용적인 수학 지식을 많이 습득했다고 합니다. 이집트에는 웅장하고 거대한 피라미드가 있는데, 당시 사람들에게 피라미드는 위대한 건축물을 넘어 경배의 대상이기도 했던 거 같습니다. 피라미드의 높이는 150m 정도 된다고 합니다. 아랫면의 한쪽 길이는 200m가 넘고요. 탈레스가 살았던 2,600년 전 사람들의 눈에 피라미드는 정말 거대하고 위대한 건축물로 여겨졌을 거 같은데요, 당시 이집트 사람들도 피라미드의 높이를 정확하게 계산하지 못하고 있었다고 합니다. 아랫면의 길이는 줄자로 잴 수 있어도 높이는 잴 수가 없었던 거죠. 그런데, 탈레스는 이집트에서 닮음과 비례를 이용하여 피라미드의 높이를 정확하게 계산했다고 합니다. 추상화하는 수학의 힘이 느껴지는 이야기죠.
앞에서 주어진 이 문제 해결의 아이디어를 활용하여 2,300년 전 유클리드는 피타고라스의 정리를 증명했습니다. 닮음과 합동이라는 탈레스의 아이디어로 피타고라스의 정리를 증명한 것입니다. 닮음과 합동이라는 개념이 고대 그리스 수학인 유클리드 기하학의 가장 중요한 핵심 아이디어입니다.
문제를 풀어보겠습니다. 문제를 해결하기 위해 주어진 삼각형과 똑같은(합동) 다음과 같은 삼각형을 하나 생각해보겠습니다.
빨간색으로 그려진 삼각형은 파란 삼각형을 시계방향으로 90° 회전하여 얻은 삼각형입니다. 따라서 두 삼각형은 같은 것입니다. 합동이죠. 이것은 수학적으로 같은 것을 의미합니다.
이제 초록색 정사각형과 빨간 삼각형의 넓이를 비교해볼까요? 이 둘을 따로 떼어 그려보면 밑변이 같고 높이가 같은 두 삼각형을 생각할 수 있습니다. 넓이가 같은 두 삼각형이죠.
이렇게 보면 빨간 삼각형의 넓이는 작은 정사각형 넓이의 1/2입니다. 따라서 초록색 사각형과 파란색 삼각형의 넓이의 비는 2 : 1입니다.
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박종하
mathian@daum.net
