주어진 각의 3 등분각 작도
재미 삼아
인터넷을 돌아다니다가 '3대 작도 불능 문제'라는 문구를 보고 호기심이 생겨 클릭했습니다.
주어진 각을 3 등분각으로 나누는 문제였고, 제한사항은 눈금 없는 자와 컴퍼스 만으로 90도 각을 30도로 3 등분하라는 것이었습니다. 그리고 그 문제는 '작도가 불가능하다'라고 증명이 되었다고 합니다.
증명되었다고 하니 뭐.... 더 살펴볼 것도 없는데, 그런데 '정사각형만 만들면 되지 않나?' 생각이 들었고, 안 되는 이유가 뭘지 궁금해서 시도만이라도 함 해보자 싶었습니다.
자제한 조건을 훑어보니 '눈금자, 직각자'를 사용하면 안 된답니다. 그래서 정사각형 만들기가 좀 번거롭지만, 컴퍼스, 직선자 만으로도 만들 수 있습니다. 원을 중첩시키면, 일정 간격도 만들 수 있으니까 눈금자도 굳이 없어도 됩니다.
혹 그 외에 이해 못 한 조건이 있지 않을까? 살짝 걱정되긴 하는데,,,, 뭐! 상관없죠. 휴식 삼아해 보는 거니까.
참고로 난 중2 때 무서운 수학 선생님을 만나는 바람에 ㅋ, 일찌감치 수포자가 되었습니다. 왜 그렇게 화를 잘 내고, 걸핏하면 매를 들던지.... 좀 억울하게 몇 번 맞고 나니, '걍~ 수학은 몸으로 때우자' 싶었던 겁니다. 아직 원망이 조금 남았긴 하지만 그보다 그리 쉽게 포기해 버린 그 어린 녀석이 더 불쌍합니다. 확실히 수학은 어렸을 때 기초를 다져놔야 하는데.... 쩝.
그래서 꼰대 심정으로 내 아이들에게 했던 잔소리는 '수학과 기하학은 모든 학문의 중심에 있단다'였습니다.
아무튼, 단지 직선과 원 만으로 90도 각을 3개의 30도 각으로 분할하는 것은 어렵지 않게 풀었습니다.
혼선이 몇 번 있긴 했지만, 생각했던 대로 작도가 되었고 단지 기하학 원리 만으로 이래저래 짜 맞춘 겁니다. 이걸 무슨 필즈상이나 또는 수학자들에게 어떤 인정받기를 바라는 그런 터무니없는 생각 같은 건 전혀 없습니다.
먼저, 풀어 본 완성 이미지입니다.
독자도 재미 삼아 한번, 어떤 과정으로 90도가 30도로 분할되는지 앞서 살펴보면 어떨까 싶습니다.
그런데 하고 보니 디자인 작업에 쓸모가 상당히 많겠다 싶었습니다.
과정을 보이도록 하겠습니다.
과정 1]
수직선을 긋고 한 점을 찍어 컴퍼스로 원을 그리면 두 교차점이 생깁니다.
과정 2]
상단 교차점을 중심으로 같은 크기의 원을 그리고 확인할 것은 좌-우에 만들어진 두 개의 교차점입니다.
과정 3]
이제 좌 우의 두 교차점을 연결하고 나면 '두 원의 중첩에 의한 직각'이 만들어집니다.
과정 4]
그다음, 수직-수평의 교차점을 중심으로 하는 원을 그려줍니다.
과정 5]
빨간색 원의 상단 교차점을 중심 하는 원을 그려 수평선을 그리고, 이어서 원둘레를 외접하는 수직선을 그으면,,,, '정사각형' 하나가 만들어집니다.
다 된 거나 다름없습니다.
과정 6]
(필요 없는 원들을 지웠습니다.)
빨간색 원의 반지름 길이의 정사각형이 만들어졌습니다.
이어서, 정사각형 안에 두 대각선을 그리면 교차점이 잡히고, 그 점을 중심으로 수직-수평선을 그립니다.
[여기서, 한 점만으로 어떻게 수직수평선을 그을 수 있느냐?라고 물으신다면, 처음에 겹친 두 원으로 직각을 만든 걸 다시 보면 될 겁니다.]
마지막으로 '정사각형 중심을 잇는 수직-수평선'에서 '원의 곡선이 교차하는 두 점'을 찾고, 원의 중심점과 직선 연결하면 끝입니다.
과정 7]
이렇게 눈금자 직각자 각도기 없이 자와 컴퍼스 만으로 세 개의 30도 각을 만들었습니다. ㅎㅎㅎ
인상
그거 아실까요?
위의 직선과 곡선의 두 교차점이 또한 '황금비율과 분할 원리에 있다는 것'입니다.
그래서인지 칸딘스키의 추상 작품이 떠올랐습니다.
Wassily Kandinsky 'Delicate Tension', 1923구성이 구조적으로 분명 닮아 있습니다.
기하학은 미술에 원근법을 선물해서 평면에 공간을 그릴 수 있게 했고, 또한 그 기하학적 컴포지션 자체에 있는 아름다움은 '순수 추상 미술'이라는 한 장르로 나타난 것입니다.
물질계의 시작인 점의 0차원에서 근원한 1차원 선 과 2차원 면의 생동을 보는 눈이 기하학이고 그에 있는 창작 원리를 칸딘스키의 작품에서 볼 수 있습니다.
또한 그 원리에 의해 기술문명의 발전과정에서 사진기가 개발되었고 사진은 영상으로, 영상은 이제 가상현실로 성장했습니다.
그리고 2년 후~
무심하게 유튜브 짤을 돌려 보는데, 헉! 하는 일이 생겼습니다.
"주어진 임의의 각"
즉, '직각이 아닌'이라는 말이 있고 없고의 차이는 컸습니다.
ㅎㅎㅎㅎ
놀란 맘에 다시 해 봤습니다. 그런데 또 되었습니다.
'되는데 왜 안 된다고 하지?'
알고 보니, 수학의 미시세계에서는 안 되는 게 맞습니다. 다만, 가시계의 기하학적 원리에서는 감지 못할 미세한 차이이다 보니 되는 거랑 진배없는 거였습니다.
