달의 공전주기를 계산해 볼까?
고전역학 - 미래는 예측 가능하다 (5)
달의 궤도 운동
갈릴레이와 뉴턴에 의해 발전된 고전역학의 원래 목적은 별의 운동을 설명하려는 것이었다. 왜 지구는 태양을 중심으로 원운동을 하는가. 달은 왜 지구 주위를 돌고 그 주기는 왜 한 달인가. 이제 우리는 달이 지구 주위를 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간을 계산할 수 있다. 중력에 의한 원운동 방정식을 이미 유도해 놓았기 때문이다.
달과 인공위성은 지구 주위를 도는 메커니즘이 다르지 않다. 단지 지구로부터의 거리만 다를 뿐이고 달이 완전한 원운동을 한다고 가정을 해야 할 뿐이다. 앞서 유도한 방정식을 다시 쓰면 다음과 같다.
F (구심력) = m r ω²
F (지구의 인력) = G m M / r²
m r ω² = G m M / r²
ω² = G M / r³ --------------------------- (1)
여기서, v = r ω 이므로, ω = v / r,
v² / r² = G M / r³
v = √(G M / r) ------------------------ (2)
이렇게 유도된 식 (2)로부터 우리는 원운동 하는 인공위성의 접선 방향 속도를 구했다. 이번에는 달의 경우 접선속도를 구해보자. 지구 중심으로부터 달의 중심까지의 평균 거리는 384,400 km로 알려져 있다. 여기서 평균 거리라고 한 이유는 지구 주위를 도는 달의 궤도가 완벽한 원이 아니라 약간 찌그러진 타원이기 때문이다. 타원 궤도에 대해서는 케플러의 법칙 등을 적용하여 정확한 주기를 구할 수 있으나, 여기서는 정원이라고 가정하고 달의 공전 주기를 구해보자. 사실 달 궤도의 이심률은 0.0549로 단축의 길이가 장축의 길이에 비해 0.15% 정도 짧다. 달의 타원 궤도에 대한 공전 주기는 이미 과학자들이 예전에 계산을 해 놓았다. 우리는 우리가 유도한 방정식으로 계산한 달의 공전 주기가 실제와 얼마나 차이나는 지만 확인해 보면 된다. 이 글의 목적은 물리학을 즐기는 것이므로, 정확한 달의 공전주기를 구하는 것은 의미가 없다. 단지 우리가 유도한 원운동방정식이 어떻게 쓰일 수 있는지 확인할 수 있으면 된다.
달의 선속도는 식 (2)에 만유인력 상수 G = 6.67259 x 10^-11 N m² / kg², 지구의 질량 M = 5.9736 x 10^24 kg, 지구 중심에서 달 중심까지의 거리 r = 384,400 x 10³ m = 3.844 x 10^8 m 를 각각 대입하면 된다.
v = √(6.67259 x 5.9736 / 3.844 x 10^(-11+24-8))
= √(10.369 x 10^5)
= √(1.0369 x 10^6) (제곱근 계산을 쉽게 하기 위해 10^6 으로 만들어 줌)
= 1.01828 x 10^6 (m/s)
= 1.01828 (km/s)
달은 1초에 약 1 km 를 움직이는 매우 빠른 속도로 운동하고 있다. 엄청난 빠른 속도지만 지구로부터의 거리가 워낙 멀어서 거의 정지해 있는 것처럼 보이는 것이다.
다음은 공전 주기를 구할 차례다. 공전 주기는 각속도와 관련이 있다. 원운동을 할 때, 각속도를 알면 원을 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간을 계산할 수 있다. 그러므로, 달이 움직이는 각속도를 알면 공전 주기를 구할 수 있다. 달의 각속도는 식 (1)로부터 구할 수 있다. 식 (1)에 만유인력 상수 G, 지구의 질량 M, 지구 중심에서 달 중심까지의 거리 r 을 각각 대입하면 된다.
ω² = (6.67259 x 5.9736 / 3.844³) x 10^(-11+24-24)
= 0.701746801 x 10^-11
= 7.01746801 x 10^-12 (제곱근 계산을 쉽게 하기 위해 10^-12 로 만들어 줌)
ω = 2.649050398 x 10^-6 (rad / s)
계산 결과, 달은 1초에 2.649050398 x 10^-6 rad의 각도만큼 회전한다. 1초는 1 / (3600 x 24) 일이므로 달은 하루에 228,877.9544 x 10^-6 = 0.229 rad 만큼 지구 주위를 회전한다. 1바퀴는 2π rad 이므로, 다음 식으로 공전 일수 D를 계산할 수 있다.
D x 0.229 = 2π
D = 2 x 3.14 / 0.229
= 27.42 (day)
지구에서 달을 바라볼 때, 실제로 달이 한 점에서 출발하여 다시 그 자리로 돌아오는 데 걸리는 일수는 27.3217 일이다. 우리가 계산한 값과 약 0.1일 (2.4 시간) 정도 차이가 나는데, 그 이유는 앞서 얘기했듯이 달이 타원 궤도를 돌기 때문이다. 타원 궤도식에 의한 계산은 조금 복잡하므로 여기서는 생략하기로 한다.
