수학, 음악이 되다

수학을 공부하면 좋은 이유(05)

모든 학문의 기초가 되는 수학

수학은 모든 학문의 기초가 된다는 말은 익히 들어서 잘 알고 있지만 과연 그런지에 대해서는 의아해하는 분들이 많습니다. 지난번에는 수학이 미술에 미치는 영향을 간단하게 설명을 했는데요, 이번에는 수학이 음악에 미치는 영향을 알아보겠습니다.

음악은 음악을 하는 사람과 듣은 이로 하여금 마음을 움직이고 감동을 주고 치유하는 힘까지도 가지고 있습니다. 그러한 음악이 수학과 관계가 있다면 정말 의아해하실 분들이 많을 것 같아요.

그러나 모든 음악은 공기의 진동을 통해 우리 귀에 전달되는 파동으로 이루어져 있다는 것을 이해하면 수학적인 관계가 있다는 것을 알 수 있습니다.

      

피타고라스

수학자 피타고라스, 음악의 수학적 발견

음악의 음률에서 수학의 관계를 처음으로 밝혀낸 학자가 바로 피타고라스입니다. 그는 모든 만물은 수로써 이루어졌다고 주장하였는데 그중 하나가 바로 음악입니다. 피타고라스는 하프를 직접 연주하면서 가장 아름다운 소리를 내는 화음의 경우에 간단한 정수비를 이루고 있다는 것을 발견했습니다. 현의 길이와 진동 수간의 비밀이 풀린 셈이죠.

한 옥타브의 정수비는 1:2의 비율, 완전 5도의 정수비는 2:3의 비율을 이루고 있습니다. 이러한 발견으로 오늘날의 실용음악이라든가 음향학의 발전의 초석이 되었습니다. 게다가 진동과 파장을 연구하게 되어 사물에 미치는 영향을 연구하는 과학자들이 많아지고 있고 비약적 발전을 이루어 왔습니다.

현의 길이와 진동수의 비로 이루어진 건반과 기타

진동수는 현의 길이가 짧을수록 높아집니다. 한 옥타브와 완전 5도를 기준으로 하여 현의 길이를 계산할 수 있는데 도(C1)에서 일정 비를 곱하여 다음 음정의 현의 길이를 구할 수 있습니다.

기타 또는 피아노 건반을 보더라도 높은음으로 갈수록 현의 길이가  짧아지는 이유가 있는 것이죠. 그리고 그것도 수학적인 계산법에 의해 길이가 결정된다는 것입니다.

모든 음에는 일정한 비율이 숨어있는데 그 비율만큼 소리가 높아지고 낮아지는 것입니다.

화음과 진동수의 관계

도, 미, 솔을 으뜸화음이라고 합니다. 파, 라, 도는 버금딸림화음이라고 하고 솔, 시, 레는 딸림화음이라고 합니다. 각각의 세 음을 한 번에 내면 화음이 이루어지고 듣기에 좋은 조화가 일어나죠. 그런데 그러한 화음 안에 진동수의 비율이 모두 정확하게 4:5:6의 정수비로 이루어져 있답니다. 이것이 피타고라스의 순정률입니다. 신기하죠~^^

서양음악의 발달

그러나 순정률은 음과 음 사이의 진동수가 약간의 간격이 생겨서 음이 일정하지 않다는 어려움이 있었습니다. 이를 보완하기 위해 평균율이 발달되었습니다. 이것은 수학의 등비수열이라고 할 수 있는데 음과 다음 음 사이에는 1.06이라는 일정한 비율로 이루어지게 하는 것입니다. 이것이 오늘까지 피아노 등의 악기에 보편적으로 사용되는 음률입니다. 17세기 거장 메르센, 바하 이후의 서양음악이 모두 이 음률을 따르고 있습니다. 정말 멋지죠~??

자연의 모든 법칙을 밝혀내고자 연구하는 학문이 수학이라고 할 수 있습니다. 그러한 수학의 발달로 음악도 발전하고 더불어 진동과 음향의 관심으로 이어져 과학이 발전하고 있으니까요. 수학을 이해하면 음악도 이해가 더 빠르고, 원리를 이해함으로 더 아름다운 음악이 우리 곁에 다가오게 되는 것 같습니다. 아름다운 화음의 법칙을 발견하고 그 후로 지금까지 인류가 사용하고 발전시키고 있으니까요.~

수학은 참 아름다운 학문 같습니다.